2026年湖南高考数学真题试卷及答案

2026年湖南高考数学练习题试卷及答案一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{1+x}\sqrt{1x}$，则$f(x)$的定义域是（）

A.$(1,0)$

B.$[0,1]$

C.$(1,1)$

D.$(0,1)$

答案：C

2.若$a\sin\alpha+b\cos\alpha=0$（$a\neq0$，$b\neq0$），则$\tan\alpha$等于（）

A.$\frac{a}{b}$

B.$\frac{b}{a}$

C.$\frac{b}{a}$

D.$\frac{a}{b}$

答案：C

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=100$，$a_5=12$，则该数列的首项$a_1$等于（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：A

4.设函数$f(x)=\log_2(x^22x+3)$，则$f(x)$的单调递增区间是（）

A.$(\infty,1)$

B.$(1,+\infty)$

C.$(\infty,2)$

D.$(2,+\infty)$

答案：B

5.在三角形$ABC$中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，且$a^2+b^2=3c^2$，则$\cosA$的值为（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C.$\frac{1}{\sqrt{3}}$

D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：B

二、填空题（每题5分，共30分）

6.设函数$f(x)=x^33x^2+x+1$，求$f(x)$的极值点。

答案：$x=1$（极大值点），$x=\frac{2}{3}$（极小值点）

7.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=100$，$a_5=12$，求该数列的通项公式。

答案：$a_n=2n+2$

8.在三角形$ABC$中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，且$a^2+b^2=3c^2$，求$\cosB$的值。

答案：$\cosB=\frac{1}{2}$

9.若函数$f(x)=x^22x+3$在区间$(1,2)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。

答案：$a\in(\infty,1)$

10.设函数$f(x)=\log_2(x^22x+3)$，求不等式$f(x)>1$的解集。

答案：$x\in(\infty,0)\cup(2,+\infty)$

三、解答题（共70分）

11.（本题满分15分）已知函数$f(x)=x^33x^2+x+1$，求$f(x)$的单调区间。

解：首先求导数$f'(x)=3x^26x+1$，然后求出$f'(x)=0$的解$x=\frac{2\pm\sqrt{2}}{3}$。根据导数的正负性，可得$f(x)$在$(\infty,\frac{2\sqrt{2}}{3})$和$(\frac{2+\sqrt{2}}{3},+\infty)$上单调递增，在$(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2+\sqrt{2}}{3})$上单调递减。

12.（本题满分15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=100$，$a_5=12$，求该数列的通项公式。

解：由$S_{10}=100$和$a_5=12$，可以列出方程组$\begin{cases}10a_1+45d=100\\a_1+4d=12\end{cases}$，解得$a_1=2$，$d=2$。因此，该数列的通项公式为$a_n=2n+2$。

13.（本题满分15分）在三角形$ABC$中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，且$a^2+b^2=3c^2$，求$\sinA$的值。

解：由余弦定理可知$\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}$，代入$a^2+b^2=3c^2$，得$\cosA=\frac{1}{2}$。因此，$\sinA=\sqrt{1\cos^2A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

14.（本题满分15分）若函数$f(x)=\log_2(x^22x+3)$在区间$(1,2)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。

解：求导数$f'(x)=\frac{2x2}{\ln2(x^22x+3)}$，由于$f(x)$在$(1,2)$上单调递增，所以$f'(x)>0$。解不等式$2x2>0$和$x^22x+3>0$，得$x>1$。因此，$a$的取值范围为$a\in(\infty,1)$。

15.（本题满分10分）设函数$f(x)=\log_2(