1.1++集合+课件-2027届高三数学一轮复习

集合落实主干知识1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性：

、

、

.(2)元素与集合的关系是

或

，用符号

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.(4)常见数集的记法确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号___N*(或N+)_________NZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作

(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作

(或B

A).(3)相等：若A⊆B，且

，则A=B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是

的子集，是

的真子集.A⊆BB⊆A任何集合任何非空集合A

B3.集合的基本运算

表示运算集合语言图形语言记法并集______________________交集______________________补集_____________________{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}A∪BA∩B∁UA1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.(

)(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.(

)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(

)自主诊断×××√2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则∁UA中元素的个数为A.0

B.3

C.5

D.8√解析因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，所以∁UA={2，4，6，7，8}，故∁UA中元素的个数为5.3.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN√解析由题意可得M∪N={x|x<2}，则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确；∁UM={x|x≥1}，则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误；M∩N={x|-1<x<1}，则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误；∁UN={x|x≤-1或x≥2}，则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误.4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a}，若M∩N=M，则实数a的取值范围是

.

(-∞，-1]解析

因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1.1.掌握有限集子集个数的结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.2.灵活应用两个常用性质(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).微点提醒3.牢记两个注意点(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.微点提醒返回探究核心题型例1

(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是A.M={3，-1}，P={(3，-1)}B.M={(3，1)}，P={(1，3)}C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}√题型一集合的含义与表示√√解析选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.(2)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8√解析由题意，若a2-2a+1=4，解得a=3或a=-1，若a-4=4，解得a=8，当a=-1时，A={-1，4，-5}满足题意；当a=3时，A={-1，4，-1}违背了集合中元素间的互异性；当a=8时，A={-1，4，49}满足题意，综上所述，a的值可能为-1，8.解决集合含义问题的关键点(1)确定集合中的代表元素.(2)确定元素的限制条件.(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.思维升华

1例2

(1)(2026·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是A.A=B

B.B⊆AC.A∩(∁UB)=∅ D.(∁UA)∩B=∅题型二

集合间的基本关系√解析因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，对A，当A为B的真子集时，不成立；对B，当A为B的真子集时，也不成立；对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立；对D，当A为B的真子集时，不成立.(2)已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆∁UB，则实数m的取值范围是

.

(-∞，2)∪(6，+∞)

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.思维升华跟踪训练2

(1)(2025·汕头模拟)若集合A={x|(m-2)x2+2mx-1=0}恰有两个子集，则实数m的值是A.-2或1 B.2或1C.-2 D.±2或1√

(2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为A.-2

B.-1

C.0

D.1√√√

√命题点1集合的运算题型三

集合的基本运算

(2)(2025·天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}C.{2，4} D.{4}√解析由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}，又集合U={1，2，3，4，5}，故∁U(A∪B)={4}.例4

(2026·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∪B=R，则实数a的取值范围为A.(1，+∞) B.[1，+∞)C.(-∞，1) D.(-∞，1]命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)√解析由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1}，∁RA={x|x≤-1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B=R，得a≥1.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.思维升华(链接教材，人教A版必修第一册P15阅读与思考)容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).命题点3集合的应用例5

某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为A.2

B.3

C.4

D.5√解析设集合A={x|x是参加足球队的学生}，集合B={x|x是参加排球队的学生}，集合C={x|x是参加游泳队的学生}，则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9.设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46，所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，即46=25+22+24-12-8-9+m，解得m=4，故三项都参加的有4人.在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.思维升华跟踪训练3

(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A∩B=A，则a的取值范围是A.[1，+∞) B.[2，+∞)C.(-∞，1] D.(-∞，2]√解析由A∩B=A知A⊆B，又A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，所以a≥2.(2)(多选)已知全集U=R，集合M={x|-3≤x<4}，N={x|x2-2x-8≤0}，则A.M∪N={x|-3≤x<4}B.M∩N={x|-2≤x<4}C.(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)D.M∩(∁UN)=(-3，-2)√√解析由x2-2x-8≤0，得-2≤x≤4，所以N={x|-2≤x≤4}，对于选项A，M∪N={x|-3≤x≤4}，故A错误；对于选项B，M∩N={x|-2≤x<4}，故B正确；对于选项C，由于∁UM=(-∞，-3)∪[4，+∞)，故(∁UM)∪N=(-∞，-3)∪[-2，+∞)，故C正确；对于选项D，由于∁UN=(-∞，-2)∪(4，+∞)，故M∩(∁UN)=[-3，-2)，故D错误.(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是

.

281解析由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card(A)=203，card(B)=179，card(C)=165，card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，card(A∩B∩C)=90，因此card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=203+179+165-143-97-116+90=281.所以参加竞赛的学生总人数是281.

√题型四

集合的新定义问题√√

解析对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P.因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，故所有整数都属于数域P，又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P，所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D正确.此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.思维升华跟踪训练4

(多选)(2025·渭南模拟)定义集合A与B的运算：A·B={x|x∈R，且x∉(A∪B)}，A∘B={x|x∈R，且x∉(A∩B)}.已知A=(-1，4]，B=[0，7)，则A.A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)B.A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)C.A·(∁RB)=[4，7]D.(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)√√√解析∵A=(-1，4]，B=[0，7)，∴A∪B=(-1，7)，A∩B=[0，4]，∴A·B=(-∞，-1]∪[7，+∞)，A∘B=(-∞，0)∪(4，+∞)，选项A，B正确；∵∁RB=(-∞，0)∪[7，+∞)，∴A∪(∁RB)=(-∞，4]∪[7，+∞)，∴A·(∁RB)=(4，7)，选项C错误；∵∁RA=(-∞，-1]∪(4，+∞)，∴(∁RA)∩B=(4，7)，∴(∁RA)∘B=(-∞，4]∪[7，+∞)，选项D正确.返回课时精练一、单项选择题1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于A.{0，1，2} B.{1，2，8}C.{2，8} D.{0，1}√12345678910111213141516答案解析B={x|x3=x}={x|x(x2-1)=0}={0，-1，1}，故A∩B={0，1}.知识过关2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅12345678910111213141516√答案12345678910111213141516答案解析方法一

M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.方法二

集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为A.1

B.2

C.4

D.8√12345678910111213141516解析因为集合B={x|x(1-x)>0}={x|0<x<1}，且e>1，0<log0.20.3<1，20.2>1，可得A∩B={log0.20.3}，所以A∩B的子集的个数为2.答案4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于A.1

B.0

C.2

D.0或1√12345678910111213141516

答案

√12345678910111213141516答案解析若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.综上所述，a=1.6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为A.{2}

B.{3}C.{2，3}

D.[2，3]√12345678910111213141516解析由(x+2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，所以B={-2，-1，0，1}，又全集U={-2，-1，0，1，2，3}，A={1，2，3}，所以图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={2，3}.答案7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%

B.56%

C.46%

D.42%12345678910111213141516√答案12345678910111213141516答案解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%.8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为A.7

B.8

C.9

D.10√12345678910111213141516答案12345678910111213141516答案解析当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.二、多项选择题9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是A.A∩B=∅B.A⊆(A∪B)C.(∁UA)∪A=UD.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)12345678910111213141516√√答案√12345678910111213141516答案解析如图所示，A∩B≠∅，A选项错误；A⊆(A∪B)，(∁UA)∪A=U，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)，BCD选项正确.

12345678910111213141516√√答案√解析当A=∅时，Δ=p2-4<0，解得-2<p<2；当A≠∅，即p≤-2或p≥2时，此时方程x2+px+1=0的两个根x1，x2需满足小于等于0，则x1x2=1>0，x1+x2=-p<0，得p>0，∴p≥2，综上，p>-2.11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1<x≤3.2}，B={y|-10≤y≤m}，下列说法正确的是A.集合A={-1，0，1，2，3}B.集合A的非空真子集的个数是62C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞)D.若A∩B=∅，则m的取值范围是(-∞，-2)12345678910111213141516√√答案√12345678910111213141516答案解析当-1.1<x<-1时，y=[x]=-2，当-1≤x<0时，y=[x]=-1，当0≤x<1时，y=[x]=0，当1≤x<2时，y=[x]=1，当2≤x<3时，y=[x]=2，当3≤x≤3.2时，y=[x]=3，所以A={-2，-1，0，1，2，3}，集合A的非空真子集有26-2=62(个)，故A错误，B正确；12345678910111213141516答案

三、填空题12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则∁UA=

.

{x|4≤x≤5}12345678910111213141516解析根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5}.答案13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为

.

12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

14.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则(1)集合A2(6)中的元素个数为