2.2函数的单调性与最值课件-2027届高三数学一轮总复习

第二讲函数的单调性与最值知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一函数的单调性1．单调函数的定义

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上____________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上____________单调递增单调递减

单调递增单调递减图象描述自左向右看图象是_________自左向右看图象是_________增(减)函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数上升的下降的2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的__________.单调性单调区间知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的__________M为函数y＝f(x)的__________最大值最小值归

纳

拓

展4．复合函数的单调性：同增异减．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(

)(2)函数f(x)在(－1,＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－1,＋∞)．(

)(4)对于任意两个函数值f(x1)、f(x2)，当f(x1)>f(x2)时都有x1>x2，则y＝f(x)为增函数．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×[解析]

(1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在(－1，＋∞)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是(－1，＋∞)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．如图．当f(x1)>f(x2)时都有x1>x2，但y＝f(x)不是增函数．题组二走进教材2．(必修1习题3.2T1改编)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(

)A．[－1，2]∪[4，5]B．[－1，2]和[4，5]C．[－3，－1]∪[2，4]D．[－3，－1]和[2，4][答案]

B[解析]

由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B．3．(必修1习题3.2T7改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f(x)min＝________.4．(必修1习题3.2T2改编)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.[答案]

[－1，1)题组三走向考场5．下列函数中，在区间(0,＋∞)上单调递增的是(

)[答案]

C考点突破·互动探究函数的单调性考向1函数单调性的判断与证明——自主练透1．(多选题)下列说法中，正确的是(

)[答案]

ABC[解析]

任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1<x2，因为x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2.因为x2>x1≥2，所以x1x2>4，所以m≤4，即实数m的取值范围为(－∞，4]．名师点拨：确定函数单调性的四种方法1．定义法；2．导数法；3．图象法；4．性质法．考向2函数单调性的应用——多维探究角度1利用函数的单调性比较大小A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[答案]

A角度2利用单调性求最值函数f(x)＝3x＋log2(x＋2)在区间[－1，2]上的最大值为________.[答案]

11[解析]

由于y＝3x在R上是增函数，y＝log2(x＋2)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，故f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝32＋log24＝11.角度3利用单调性解不等式[答案]

D角度4利用单调性求参数的取值范围A．(－∞，0] B．[－1，0]C．[－1，1] D．[0，＋∞)[答案]

B[解析]

设u＝6－ax＋x2，名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．3．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f

”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．4．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．【变式训练】1．(角度1)(2026·湘潭统考)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且a＋b>0，则(

)A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)＋f(b)<f(－a)－f(－b)[答案]

A[解析]

因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a，又因为y＝f(x)在R上是增函数，所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)>f(－b)＋f(－a)．2．(角度2)(2026·江苏模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋3x＋b(b为常数)，则f(x)在[－3，－1]上的最大值为______.[答案]

－6[解析]

根据f(0)＝0求得b，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案．依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即当x≥0时，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1，3]上的最小值为f(1)＝4＋3－1＝6，所以f(x)在区间[－3，－1]上的最大值为－6.A．[0，2] B．[0，1]C．(－∞，2] D．(－∞，1][答案]

C[解析]

由题意可知当x≤0时，0<2x≤1，故f(x)＝1－2x<1；当x>0时，令f(x)＝log3(x＋1)≤1，即0<x＋1≤3，解得－1<x≤2，所以0<x≤2.综上，不等式f(x)≤1的解集为(－∞，2]．故选C．[答案]

D函数的最值——自主练透[答案]

(－∞，2]2．已知函数f(x)＝－2x2＋1，g(x)＝－x，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f(x)，g(x)}，则M(x)的最大值为______.名师讲坛·素养提升抽象函数的单调性问题[解析]

(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：对任意x1，x2∈R，不妨设x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，所以f(x)在R上是减函数．(3)由(2)知，所求函数在[－3，6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．因为f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[2f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.所以f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.所以不等式的解集为{x|0<x<4}．提能训练练案[7]一、单选题1．(2025·北京海淀三模)下列函数中，在(－∞，0)上是单调递增函数的是(

)[答案]

A2．函数f(x)＝|x|(x－1)的单调递减区间是(

)[答案]

BC．4 D．5[答案]

CA．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(0，1] D．[1，＋∞)[答案]

D[答案]

DA．y＝f(x)＋x是增函数

B．y＝f(x)＋x是减函数C．y＝f(x)是增函数

D．y＝f(x)是减函数[答案]

A7．(2025·江苏南通高三阶段练习)已知函数f(x)＝ln(x2－ax)在(1，2)内单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．a≥2 B．a≥1C．a≤2 D．a≤1[答案]

DA．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)[答案]

A[解析]

f(x)＝ex－e－x在(0,＋∞)上单调递增,且此时f(x)>0.f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增．c＝log20.9<0，又b＝log32，所以0<b<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)，故选A．二、多选题9．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(

)A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0[答案]

CD10．(2025·广东省名校联考改编)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论中不正确的是(

)D．y＝2－f(x)在R上为减函数[答案]

ABCA．在区间[－1，0]上单调递减B．单调递增区间为[－3，－1]C．最大值为2D．没有最小值[答案]

ABC三、填空题12．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上不具有单调性，则实数a的取值范围为________.[答案]

(1，2)[解析]

函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都分别具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上不具有单调性，只需1<a<2.[答案]

(－∞，1]∪[4，＋∞)[解析]

由已知可得f(x)的图象，增区间为(－∞，2)和(4，＋∞)，因此，a＋1≤2或a≥4.故a∈(－∞，1]∪[4，＋∞)．[答案]

1四、解答题(1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性；(2)求函数f(x)在[1，2]上的最值．[解析]

(1)解法一：任取x1，x2∈[1，2]，且x1<x2，∵x1，x2∈[1，2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，即f(x2)<f(x1)．∴f(x)在[1，2]上为减函数．[答案]

AC2．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(3－x)的单调递增区间是(

)A．(3，＋∞) B．(－1，1)