2.9+函数模型及其应用+课件-2027届高三数学一轮复习

第二章函数第九讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[14]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越______越来越______相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增快慢y轴x轴3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归

纳

拓

展2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(

)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(

)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)当x非常大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

)A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x[答案]

D[解析]

根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快．3．(必修1P152例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(

)[答案]

B4．(必修1P161T8改编)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(

)A．26米

B．28米

C．31米

D．33米[答案]

C声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2[答案]

ACD考点突破·互动探究考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：函数模型及应用根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(

)A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒[答案]

ABC[解析]

从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．名师点拨：1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2已知函数模型的实际问题——师生共研附：ln2≈0.7，ln5≈1.6.A．148τ B．6.9τC．13.8τ D．6.72τ[答案]

B名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．【变式训练】A．0～20dB B．20～40dBC．40～60dB D．60～80dB[答案]

C考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数与分段函数模型(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析]

(1)由题意知，当0≤x≤8时，所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.角度2指数函数与对数函数模型A．1.5 B．1.8C．2.0 D．2.1[答案]

B名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．A．71 B．72C．73 D．74[答案]

D名师讲坛·素养提升(2026·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长．(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？[解析]

(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元．名师点拨：1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．【变式训练】(2025·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(

)A．10000 B．10480C．10816 D．10818[答案]

C提能训练练案[14]A组基础巩固一、单选题1．(2026·北京人大附中开学考)某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如表：表一：市场供给量表二：市场需求量单价/(元/kg)22.42.83.23.64供给量/t506070758090单价/(元/kg)43.42.92.62.32需求量/t506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(

)A．(2.3，2.6)内

B．(2.4，2.6)内C．(2.6，2.8)内

D．(2.8，2.9)内[答案]

C[解析]

当供给量和需求量均为50时，供给单价和需求单价相差为2；当供给量和需求量均为60时，供给单价和需求单价相差为1；当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差为0.2；当供给量和需求量均为75时，供给单价和需求单价相差为0.9；当供给量和需求量均为80时，供给单价和需求单价相差为1.6.当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小，所以市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(2.6，2.8)内．故选C．2．(2026·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(

)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[答案]D[解析]对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D．A．3

B．4

C．5

D．6[答案]

CA．890.23t

B．755.44t

C．244.69t

D．243.69t[答案]

B研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(

)A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1)C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l[答案]

D[解析]

由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过(0，W0)．函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5(l＋1)图象不过(0，W0)，不符合条件，故B、C错误；函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A错误；D选项：W＝W0·(0.5)l满足上述条件，故D正确．故选D．6．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(

)A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态[答案]

D[解析]

对于A选项，当T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987<lg104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP＝lg729∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D．7．(2026·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长．某公司现有新一代AI芯片A、B两套研发方案，若A设计方案中初始计算量为N1，每年增长50%；B设计方案中初始计算量为N2(N2＝3N1)，每年增长20%.如此预计至少几年后A设计方案计算量更高？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

)A．4 B．5C．6 D．7[答案]

BA．31

B．32

C．33

D．34[答案]

D二、多选题9．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有(

)A．调整后房地产业的利润有所下降B．调整后医疗器械的利润增长量最大C．调整后生物制药的利润增长率最高D．调整后金融产业的利润占比最低[答案]

BCD[解析]

利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．故选BCD．10．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2025年1月至2025年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(

)A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳[答案]

CD[解析]由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．11．(2026·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(

)A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[答案]

CD[解析]甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题12．调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换________元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________.[答案]

(1)13

(2)36[解析]

(1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．(2)设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.13．(2026·云南昆明模拟)根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为2m2，第5个月时，浮萍面积就会超过30m2，下列函数模型：①y＝at＋1(a>0)，②y＝bt2＋1(b>0)，③y＝ct(c>0，c≠1)，④y＝logd(t＋1)＋1(d>0，d≠1)中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是________(填写序号)，若浮萍蔓延到3m2，所经过的时间t＝________.[答案]

③

log23[解析]

y＝at＋1(a>0)为线性增长，y＝logd(t＋1)＋1(d>1)的增长速度会逐渐变慢，由图象可知，模型①④不符合，将t＝1，y＝2代入模型②③，得b＝1，c＝2，即模型②y＝t2＋1，模型③y＝2t，当t＝5时，模型②，y＝26<30不符合，当t＝5时，模型③，y＝25＝32>30，选模型③；由2t＝3，解得t＝log23.14．(2025·广东广州模拟预测)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10－18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过________天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108米/秒，lg2≈0.3，lg3≈0.48)[答案]

31四、解答题15．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为p(t)．[解析]

(1)由题知，当10≤t<20时，p(t)＝720，当2≤t<10时，可设p(t)＝720－k(12－t)2，又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，∴p(3)＝720－k(12－3)2＝396，解得k＝4.此时p(t)＝720－4×(12－t)2＝－4t2＋96t＋144，2≤t<10，∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(3)＝84，当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝48，综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元．家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%张先生居住区2025年比2024年食品支出下降7.5%，张先生家在2025年购买食品和2024年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2025年属于(

)A．贫困

B．温饱

C．小康

D．富裕[答案]

D2．(2025·湖北宜昌协作体期中)荀子《劝学