3.1++导数的概念及其意义、导数的运算+课件-2027届高三数学一轮复习

第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念及其意义、导数的运算2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解导数的概念,理解导数的几何意义,掌握基本初等函数的导数.2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.202320242025

新课标Ⅰ卷T13全国一卷T12

新课标Ⅱ卷T16

必备知识回顾

知识梳理f'(x0)

斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

.

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=__f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=____f(x)=sinxf'(x)=__________f(x)=cosxf'(x)=____________f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=__________f(x)=exf'(x)=__f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

0αxα-1cos

x-sin

xaxln

aex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)

5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.yu'·ux'1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.2.曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上.3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率.

(

)(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cosx.(

)(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).

(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是该曲线的切线.(

)基础检测√×××

y'=3xe-3xln

3-3x+1e-3x

2e关键能力提升

C

A

ABD

1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用导数的运算法则求导.2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时可进行换元.4.对解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数的求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.规律总结

AB

考点3

导数的几何意义命题角度1

求切线方程【例3】

(1)(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11改编)若函数f(x)=xlnx+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为____________.【解析】

因为f(x)=xln

x+2xf'(1),所以f'(x)=ln

x+1+2f'(1).令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,则f(x)=xln

x-2x,f(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.y=-x-1

B

D(2)(2025·湖南郴州三模)已知函数f(x)=x2+2alnx,若函数f(x)在区间(1,2)的图象上存在两条斜率之积为-4的切线,则实数a的取值范围为

(

)A.(-2,1) B.(-2,-1)C.(-2,0) D.(-3,-2)D

B

ex-y-1=0或x-y=0(写出其中一条即可)方法二

由曲线y=ex与直线y=x+1相切知,曲线y=ex-1与直线y=x相切.由曲线y=ln

x与直线y=x-1相切知,曲线y=ln

x+1与直线y=x相切,则直线y=x为曲线y=ex-1与y=ln

x+1的一条公切线.1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的不同.过某点的切点坐标未知,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.2.公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线,利用两切线重合列方程组求解.规律总结

A

-2

C

本题通过切线斜率考查导数的几何意义,判断选项C,D是否正确的关键是根据tan

xi=xi(i=1,2,3)构造tan

x=x,通过转化思想和数形结合思想分析,将计算问题转化为图象问题,减少计算量,体现新高考的变化趋势.创新解读高考真题教材典题1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

(

)A.1.(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,求a的值.考教衔接

A高考真题教材典题2.(一题多解)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=__.2.(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T5)求曲线y=在点M(π,0)处的切线方程.4

课时作业171.(5分)(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为

(

)A.y=2x+1 B.y=3x+1C.y=2x D.y=3x解析:由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.故选B.基础巩固B

A

B

B

B

A7.(5分)函数f(x)=2+lnx的图象与函数g(x)=ex的图象的公切线的斜率为

(

)A.1 B.±eC.1或e D.1或e2C

8.(5分)若曲线y=(x-a)ex有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(-∞,0]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪[4,+∞)A

ABD

BC

BC

12.(5分)(2026·浙江宁波模拟)已知函数f(x)=x(ex+a)+2的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,则a