3.2.1+导数与函数的单调性+课件-2027届高三数学一轮复习

第三章导数及其应用第二讲导数在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[16]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点函数的单调性1．设函数y＝f(x)在某个区间内________，若f′(x)______0，则f(x)在这个区间为增函数，若f′(x)______0，则f(x)在这个区间为减函数．2．求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)确定f(x)的__________；(2)求导数f′(x)；(3)令f′(x)______0(或f′(x)______0)，解出相应的x的范围；(4)当___________时，f(x)在相应区间上是增函数，当____________时，f(x)在相应区间上是减函数．可导><定义域><f′(x)>0f′(x)<0归

纳

拓

展1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(

)(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×题组二走进教材2．(选择性必修2P97T1改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)C．(1,4) D．(0,3)[答案]

B[解析]

由题意，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，得x>2，故函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(2，＋∞)．3．(多选题)(选择性必修2P89T3改编)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述一定正确的是(

)A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e)[答案]

CD[解析]

由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在

(－∞，c)上单调递增，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，C正确，A错误；当x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c<d<e，所以f(c)>f(d)>f(e)，D正确；又因为只知道函数f(x)在(a，c)上单调递增，在(c，e)上单调递减，无法判断f(a)，f(b)与f(e)的大小关系，B不一定正确．题组三走向考场4．(2026·广东深圳期末)已知函数f(x)＝x－sinx，则不等式f(x2＋4x)＋f(3)<0的解集为(

)A．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)B．(－3，－1)[答案]

B[解析]

因为f(－x)＝－x－sin(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)＝x－sinx为奇函数，所以f(x2＋4x)<－f(3)＝f(－3)，因为f′(x)＝1－cosx≥0，且不恒等于0，所以函数f(x)＝x－sinx在定义域上为增函数，故x2＋4x<－3，故解集为(－3，－1)．故选B.5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(

)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2[答案]

C考点突破·互动探究函数的单调性考向1不含参数的函数的单调性——自主练透1．函数f(x)＝(x＋1)e－x＋x2－1的单调递减区间为(

)A．(－ln2,0) B．(－∞，－ln2)C．(－ln2，＋∞) D．(0，＋∞)[答案]

A2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋x＋c，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为________.3．函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为________.名师点拨：确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．考向2含参数的函数的单调性——师生共研已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．[解析]

g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若a>ln2，则当x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；②若a＝ln2，则g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增；③若a<ln2，则当x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，当x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．名师点拨：1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【变式训练】(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝a(x2－lnx)＋(1－2a2)x(a≥0)，求函数y＝f(x)的单调区间．令f′(x)>0，解得x>a，令f′(x)<0，解得0<x<a，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)，综上可知，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，

＋∞)．考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题——多维探究角度1比较大小A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[答案]

C名师点拨：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．角度2解不等式[答案]

B名师点拨：利用导数解不等式的方法利用导数解不等式，其关键是构造函数，把解不等式问题转化为利用导数判断函数单调性问题，解不等式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”．角度3已知函数的单调性求参数取值范围若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(

)A．(－∞，－2]

B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[分析]

利用函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．[答案]

D[引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝____________；(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是____________；(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是____________；(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是_________；(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是____________.名师点拨：已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法1．利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．2．转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式训练】A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a[答案]

D2．(角度2)(2025·南充模拟)设函数f(x)＝sinx＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(3－2x)<0的x的取值范围是(

)A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，3)[答案]

C[解析]

f(x)＝sinx＋ex－e－x－x，∴f(－x)＝－sinx＋e－x－ex＋x＝

－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，又f′(x)＝cosx＋ex＋e－x－1≥cosx＋2－1＝1＋cosx≥0，则f(x)在R上单调递增，又f(x)＋f(3－2x)<0，∴f(x)<－f(3－2x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)<f(2x－3)，又f(x)在R上单调递增，∴x<2x－3，∴x>3，故满足f(x)＋f(3－2x)<0的x的取值范围是(3，＋∞)．[答案]

(0,1)名师讲坛·素养提升一、构造法在导数中的应用在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及f(x)与f′(x)的一些关系式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题．题型一利用导数的运算法则构造函数角度1利用f(x)与ex构造已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(

)A．f(2)>e2f(0)，f(2025)>e2025f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2025)>e2025f(0)C．f(2)>e2f(0)，f(2025)<e2025f(0)D．f(2)<e2f(0)，f(2025)<e2025f(0)[答案]

D角度2利用f(x)与xn构造已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________.[答案]

(－1,0)∪(0,1)角度3利用f(x)与sinx，cosx构造[答案]

CD名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见结构1．对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．2．对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.3．对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．5．对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x)．6．对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x)．7．对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x)．8．出现f′(x)sinx＋f(x)cosx构造函数F(x)＝f(x)sinx.【变式训练】1．(角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cosx<0，则不等式f(x)<sinx的解集为________.[答案]

(0，＋∞)[解析]

令φ(x)＝f(x)－sinx，所以当x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cosx<0，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，所以φ(x)为R上的奇函数，所以φ(x)在(－∞，0]上单调递减，故φ(x)在R上单调递减且φ(0)＝0，不等式f(x)<sinx可化为f(x)－sinx<0，即φ(x)<0，即φ(x)<φ(0)，故x>0，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．[答案]

c<a<b[答案]

a<b<c题型二通过变量构造具体函数1．(多选题)(2026·广东深圳模拟)若0<x1<x2<1，则(

)[答案]

ACA．ey－x>1 B．ey－x<1C．ey－x－1>1 D．ey－x－1<1[答案]

A名师点拨：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解．【变式训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(

)A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0[答案]

A[解析]

原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确；因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确．题型三通过数值构造具体函数[答案]

c<a<b[答案]

b<c<a名师点拨：当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．【变式训练】实数e3,3π，π3的大小关系为____________.[答案]

e3<π3<3π二、泰勒展开式1．泰勒公式2．常见的泰勒展开式在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：3．泰勒公式的价值泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较大小．A．c>b>a B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b[答案]

A【变式训练】A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．c<a<b[答案]

B提能训练练案[16]A组基础巩固一、单选题1．函数f(x)＝xlnx＋1的单调递减区间是(

)[答案]

C2．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(

)A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增[答案]

D[解析]

因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．3．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)[答案]

D[解析]

根据导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以只有D选项符合．4．已知函数f(x)＝x＋cosx，则下列选项正确的是(

)A．f(2)<f(π)<f(e) B．f(π)<f(e)<f(2)C．f(e)<f(2)<f(π) D．f(2)<f(e)<f(π)[答案]

D[解析]

f′(x)＝1－sinx，当x∈R时，f′(x)＝1－sinx≥0，且不恒为0，所以f(x)是增函数，因为2<e<π，所以f(2)<f(e)<f(π)．A．1 B．2C．3 D．4[答案]

B[答案]

C7．(2026·陕西榆林期末)已知函数f(x)＝ex－e－x－2sinx，若f(aex)＋f(1－x)>0恒成立，则a的取值范围是(

)[答案]

C8．(2025·湖南娄底期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(1)＝3，则不等式exf(x)>ex＋2e的解集为(

)A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，1)[答案]

B[解析]

设g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，因为f(x)＋f′(x)>1，所以f(x)＋f′(x)－1>0，又ex>0，所以g′(x)>0恒成立，所以y＝g(x)在定义域R上单调递增．故原不等式可转化为exf(x)－ex>2e，又f(1)＝3，所以g(1)＝ef(1)－e＝2e，所以g(x)>g(1)，所以x>1，故不等式exf(x)>ex＋2e的解集为(1，＋∞)．故选B.二、多选题[答案]

ACA．f(x)＝ex B．f(x)＝x2C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx[答案]

ACD11．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(

)[答案]

BD[解析]

由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的图象如图所示：f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；B表示(x1－x