第01讲++集合与常用逻辑用语+讲义-2027届高三数学一轮复习

第01讲集合与常用逻辑用语第一部分考情解码·命题预警在天津高考中，集合与常用逻辑用语是必考内容，一般设置1~2道题目，分值5~10分，题型以单选题为主，难度较低，属于基础送分题。主要考查集合的交、并、补运算，以及充分条件、必要条件的判断。考点要求考查形式2025年2024年2023年集合的概念与表示单选题1题1题1题集合间的基本关系单选题———集合的基本运算单选题1题1题1题常用逻辑用语单选题1题1题1题天津卷中集合专题为热点内容，主要考查数集的基本运算，题目稳定，难度较低，分值5分。考生备考时应重点掌握集合的基本运算规则和表示方法，并通过大量练习提高解题速度和准确率。知识梳理·体系建构知识点一集合的含义与表示1.集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2.元素与集合的关系：若a是集合A的元素，记作．若a不是集合A的元素，记作．3.集合中元素的特征：（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是否属于该集合。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中不能出现相同的元素。（3）无序性：集合中的元素没有先后顺序，即{1,2}与{2,1}表示同一个集合。4.常用数集及其记法：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号R列举{0,1,2,3}5.集合的表示法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，用逗号隔开，并用花括号"{}"括起来。（2）描述法：用集合中元素的共同特征表示集合，形式为{x|x具有的性质}。（3）图示法：用数轴或韦恩（Venn）图来表示集合。6.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。题型1元素与集合的关系（基础）【例1-1】(多选)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则元素4与集合 A、B的关系为（）A．4∈AB．4∉AC．4∈BD．4∉B【变式训练1-1】下列关系中，正确的个数为（）①0∈N；②√2∈Q；③π∈R；④0∉Z；⑤{0}∈NA．1B．2C．3D．4【变式训练1-2】设集合A＝{x|x²－3x＋2＝0}，则下列关系正确的是（）A．1∉AB．2∈AC．{1}∈AD．{1,2}∈A题型2集合含有参数问题（中档）【例2-1】（2023.和平三模）设全集，集合，，CU(A∪B)=（B．C． D．【变式训练2-1】（人教2019A版·必修一·练习1.2）判断下列两个集合之间的关系：（1），；（2）是4与10的公倍数}，.【例2-2】（2024.天津七中．高一10月月考）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3【变式训练2-2】已知集合A＝{m²-2m,m}，若3∈A，则m的值为（）A．-1B．1C．3D．-1或3【方法技巧】判断元素与集合关系，关键是判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征。若元素在集合中，则用"∈"；反之用"∉"。【易错分析】利用集合相等或元素关系求参数时，求出参数后要代入验证是否满足互异性，避免出现重复元素。知识点二集合间的基本关系基本关系文字语言符号语言图形语言子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个真子集，有．个非空真子集（2）子集关系的传递性，即.题型3集合间的基本关系（中档）【例3-1】已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥-1D．a≤-1【变式训练3-1】已知集合A＝{x|x-1|≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．(-∞,-1]B．(-∞,-1)C．(3,+∞)D．[3,+∞)【例3-2】已知集合A＝{1,2,3}，则集合A的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【变式训练3-2】已知集合A＝{x|x²-5x+6＝0}，则A的真子集个数为（）A．3B．5C．7D．15【变式训练3-2】已知集合A＝{x∈Z|-2≤x<2}，则A的非空真子集个数为（）A．2B．3C．14D．15【方法技巧】（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处的取值情况。

（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用。知识点三集合的基本运算运算文字语言符号表示Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合题型4集合的交、并、补运算（中档·核心）【例4-1】（2025·天津·高考真题）已知集合，则CU(A∪B)

=A． B． C． D．【变式训练4-1】（2024·天津·高考真题）集合，，则（

） B． C． D．【变式训练4-1】(2022·天津·高考真题）设全集，集合，则A∩(CUB)=（A． B． C． D．【例4-2】【设全集U＝{x∈N|x≤5}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则A∩(CUA．{1,2}B．{1,2,3}C．{3}D．{1,2,5}【变式训练4-2】已知集合A＝{x|x²-2x-3≤0}，B＝{x|y＝ln(x-1)}，则A∩B＝（）A．(1,3]B．[1,3]C．(-1,+∞)D．(-1,3]【变式训练4-2】若集合A＝{x|-1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(CRA．{x|x≥-1}B．{x|x≥1}C．{x|x>-1}D．{x|-1≤x<1}【方法技巧】进行集合运算时，先明确集合元素类型（点集、数集等）并化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。数集运算时常用数轴辅助，列举型集合可直接观察。题型5Venn图的应用（中档）【例5-1】（25高三·天津河北·质检）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【变式训练5-1】（23高三下·天津第二十中学·期中）已知全集，集合1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【变式训练5-1】(23高三上·实验中学·9月统练）设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（

） B． C． D．【方法技巧】Venn图是解决集合问题的直观工具，通过图形可以直观地表示集合之间的交、并、补关系。解题关键是正确分析阴影部分对应的集合运算。知识点四命题与常用逻辑用语1.命题及其关系命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。四种命题及其关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。原命题与逆否命题同真同假（等价关系）。2.充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。从集合角度理解：设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}：（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；（3）若B⫋A，则p是q的必要不充分条件；（4）若A＝B，则p是q的充要条件；（5）若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件。题型6充分条件、必要条件与充要条件（中档）【例6-1】（2023·天津·高考真题）已知a>0，则"a>1"是"a²>a"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式训练6-1】（2024·天津·模拟）设x∈R，则"x>1"是"x²>1"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式训练6-1】已知条件p：x<1，条件q：x²-x<0，则p是q的（）充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【例6-2】（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式训练6-2】（2022·天津·高考真题）“x为整数”是“2x+1为整数”的（

）条件充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【变式训练6-2】2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【方法技巧】判断充分条件与必要条件的方法：

（1）定义法：判断p⇒q和q⇒p是否成立。

（2）集合法：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B则p是q的充分条件；若B⊆A则p是q的必要条件。3.全称量词与存在量词全称量词："所有的""任意一个"等，用符号"∀"表示。含有全称量词的命题叫做全称命题。存在量词："存在一个""至少有一个"等，用符号"∃"表示。含有存在量词的命题叫做特称命题。命题的否定：（1）全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定为¬p：．（2）特称命题p：∃x∈M，p(x)的否定为¬p：．题型7全称量词与存在量词·命题否定（中档）【例7-1】命题"∀x>0，x²>0"的否定是（）A．∀x>0，x²≤0B．∃x>0，x²≤0C．∀x≤0，x²>0D．∃x≤0，x²>0【例7-2】命题"∃x∈R，x²-2x+1<0"的否定是（）A．∀x∈R，x²-2x+1≥0B．∀x∈R，x²-2x+1<0C．∃x∈R，x²-2x+1≥0D．∃x∈R，x²-2x+1>0【变式训练7-1】命题"∃x∈R，x+1≥0"的否定是（）A．∀x∈R，x+1<0B．∀x∈R，x+1≤0C．∃x∈R，x+1<0D．∃x∈R，x+1≤0【变式训练7-2】已知命题p：∀x>0，x+1/x≥2，则¬p为（）A．∃x≤0，x+1X<2B．∃x>0，x+1X<2C．∀x>0，x+1X>2D．∀x≤0，【方法技巧】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。注意：否定的对象是结论部分.第01讲集合与常用逻辑用语题型1元素与集合的关系【例1-1】已知集合A=1,2,3，B=2,3,4，则4∉A，4∈B。答案：BC【变式训练1-1】①0∈N（自然数集包含0），正确；②2∉Q（2③π∈R（π是实数），正确；④0∈Z（0是整数），错误；⑤0⊆N（集合与集合之间用包含符号），错误。正确个数为2。答案：B【变式训练1-2】解方程x2−3x+2=0，得x=1或x=2，即A=1,2，故答案：B题型2集合含有参数问题【变式训练2-1】(1)A=x|x=2k,k∈Z为偶数集，B=x|x=4k,k∈Z为4的倍数集，故B⫋A。(2)4与10的最小公倍数为20，A=x|x=20k,k∈Z，B=x|x=10k,k∈Z，故B⫋A。【例2-2】A=2,3，B⊆A。当m=0时，B=∅，满足B⊆A；当m≠0时，x=1m，令1m=2得m=2；令综上，m=0或2或3。答案：D【变式训练2-2】3∈A=m若m=3，则m2若m2−2m=3，解得m=−1或m=3（舍去），m=−1时答案：A题型3集合间的基本关系【例3-1】A=x|−1≤x≤2，B=x|x≤a，A⊆B，则a≥2。答案：A【变式训练3-1】由|x−1|≤2得−1≤x≤3，即A=−13，A⊆B=−∞答案：C【例3-2】集合A=1,2,3有3个元素，真子集个数为23答案：C【变式训练3-2】解方程x2−5x+6=0得A=2,3，有2个元素，真子集个数为答案：A【变式训练3-2】A=x∈Z|−2≤x<2=−2,−1,0,1，有4个元素，非空真子集个数为24答案：C题型4集合的交、并、补运算【例4-2】全集U=x∈N|x≤5=0,1,2,3,4,5，∁UB=0,1,2，答案：A【变式训练4-2】A:xB:x−1>0⇒x>1；A∩B=1答案：A【变式训练4-2】∁RB=1答案：A题型6充分条件、必要条件与充要条件【例6-1】a>1⇒a2>a；a答案：A【变式训练6-1】x>1⇒x2>1答案：A【变式训练6-1】q:x2−x<0⇒0<x<1，q⇒p答案：B【例6-2】a^3=b^3\iffa=b\iff3^a=