山东省济南市市中区2024-2025学年七下期末考试数学试题（解析版）

山东省济南市市中区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.平行四边形C.正五边形 D.正六边形【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，多边形的性质，掌握相关定义是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；故选：D．2.我国科研团队于今年研发的全球首例128比特光量子芯片登上《自然》封面．芯片每个组件定位精度达到0.000000002米．数据0.000000002用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.000000002用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可．【详解】解：数据0.000000002用科学记数法表示为，故选：A．3.如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：∵米，米，∴，即，∴，∴、间的距离可能是米，故选：．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．【详解】A、，故选项正确，符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项错误，不符合题意；故选：A5.下列判断正确的是（

）A.掷一次骰子，向上一面的点数是6属于必然事件B.“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题C.检测某城市的空气质量应采用全面调查方式D.甲乙两个芭蕾舞团女演员身高方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐【答案】D【解析】【分析】本题考查了方差、全面调查、命题、必然事件等内容，方差越小的波动程度越小，正确的命题是真命题，据此相关内容进行逐项分析，即可作答．【详解】A、掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，故该选项不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C、检测某城市的空气质量应采用抽样调查方式，故该选项不符合题意；D、，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐，故该选项符合题意．故选：D．6.若4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（）A.11 B.21 C.﹣19 D.21或﹣19【答案】D【解析】【详解】∵4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，∴k-1=±2×2×5,解之得：k=21或k=-19.故选：D.7.如图所示，直线，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出．【详解】解：，，，直线，．故选：C．8.数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点和点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（）A. B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由基本尺规作图-作垂直平分线得到是线段的垂直平分线，再由画弧作两条线段相等得到，在中，由勾股定理求出长，再由画弧得到，由数轴上的点表示无理数即可得到答案．【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，在中，，，，则由勾股定理可得，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，，故选：C．【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂直平分线、作两条线段相等，涉及勾股定理及数轴上的点表示无理数，熟记基本尺规作图、勾股定理求线段长是解决问题的关键．9.赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，找出图形中的全等图形是解题关键．根据正方形的性质，先证明，再根据四个全等的直角三角形，证明出，从而推出，设，则，，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：正方形，，正方形，，，M是的中点，，在和中，，，，，由题意可知，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，解得：，故选：C．10.如图（1），长方形中，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（）①；②；③当t=3时，为等腰三角形；④当时，A.①③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时，找到点位置计算面积即可判断的值．【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为，．，．则，当点从点到点时，所用时间为：，，故①正确；点运动完整个过程需要时间为：，即，故②错误；当时，，又四边形是长方形，∴，，，，，，是等腰三角形，故③正确；当时，点运动的路程为：，此时，面积为：，故④错误．正确的结论有①③．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案．）11.计算___．【答案】【解析】【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：原式故答案为：12.如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是____．【答案】．【解析】【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案．【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，故转动一次，指针落在白色区域的概率为．故答案为．【点睛】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键．13.如图，切于两点，是的直径，若，则的度数是______．【答案】##42度【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质定理、圆的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．首先根据切线的性质定理可得，再结合易得，进而求得的值，然后由求解即可．【详解】解：∵切于两点，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝_____．【答案】4.5．【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据三角形的面积公式求出DE．【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，由勾股定理，得BC═12，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，×AC×CD+×AB×DE＝×AC×BC，即×9×DE+×15×DE＝×9×12，解得：DE＝4.5．故答案：4.5．【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．15.一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________．【答案】【解析】【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解．【详解】解：把代入，得，设当时，与之间的函数表达式为，把，分别代入，得，解得：，∴与之间的函数表达式为故答案为：．【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．16.如图，在等腰中，，若点D是边上一点，E是的中点，C关于直线对称的点为，交于点F．（1）若，则______度（用含的代数式表示）；（2）若，则______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据题意可得，再由折叠的性质可得，从而得到，即可求解；（2）过点E作的中点G，连接，并延长交于点H，根据三角形中位线定理可得到是等腰直角三角形，从而得到，由（1）得：，由折叠的性质得：，从而得到，可设，则，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，设交于点N，过点N作于点M，可得，，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：（1）∵，，∴，∵C关于直线对称的点为，∴，∴，∴，在等腰中，，∴，∴；故答案为：；（2）如图，过点E作的中点G，连接，并延长交于点H，∵E是的中点，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，由（1）得：，由折叠的性质得：，∵，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，设交于点N，过点N作于点M，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠问题，中位线定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，图形的折叠问题，中位线定理是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，然后计算加减即可求解．【详解】解：．18.先化简再求值：．其中．．【答案】；【解析】【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．【详解】解：，把，代入得：原式．【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．19.已知：如图，在四边形中，点在直线上，连接，若，．求证：．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键．根据题意得到，得到，由此两直线平行，内错角相等即可求证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．20.从2名男生和2名女生中，随机抽取2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛志愿者．（1）抽取1名，恰好是女生的概率是________；（2）抽取2名，求恰好是1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】解：抽取1名，恰好是女生的概率是，故答案为：；【小问2详解】设2名男生分别记为，，2名女生分别记为，，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果有，，，，，，，，共8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为．【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为、、．（1）若与关于x轴成轴对称，作出；（2）若P为y轴上一点，使得周长最小，在图中作出点P；（3）计算的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）5【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可作出；（2）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时周长最小（3）利用割补法求解即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，点P即为所求．【小问3详解】【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P．22.如图，，点在的延长线上，连结．（1）求证：．（2）当时，请直接写出的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是本题的关键．（1）由“”可证，可得；（2）由全等三角形的性质可得，根据，可得，进而根据三角形内角和定理可得．【小问1详解】证明：∵，，在和中，∴，∴．【小问2详解】解：由（1）可知，，∴．，，，．23.如图，在ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．【答案】（1）见解析（2）64°【解析】【分析】（1）由题意易得AB=CD，AB/CD，进而可证△AFE≌△DFC，则有CD=AE，即可求证；（2）由（1）及BC＝2AE，可得AF=AE，则∠AFE=∠E=32°，然后根据三角形外角的性质可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，∴∠E=∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△AFE和△DFC中，，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD=AE，∴AB=AE；小问2详解】解：由（1）可得AF=DF，BC=AD，∴BC=2AF，∵BC=2AE，∴AE=AF，∵∠E=32°，∴∠AFE=∠E=32°，∴∠DAB=2∠E=64°．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．24.某日上午，小慧和小聪同时骑自行车从不同的地点出发前往某风景区游览（如图1）．小慧从地出发，小聪从地出发，地距离地1000米．小聪的行程分为三段，中间休息了一次，其中小聪第一段的骑行速度比第二段快20米／分，第二段的骑行速度与小慧速度相同且比第三段快50米／分．小慧和小聪的行程相关信息如表所示；离地的距离（米）与小慧、小聪骑行时间（分）的函数关系如图2所示．

时间里程分段行程里程小慧不分段9600米小聪第一段1800米休息第二段2400米第三段4400米（1）分别求出小聪各段骑行速度（单位：米／分）．（2）求小聪休息时间（单位：分）．（3）在分钟时两人相遇，求的值．【答案】（1）小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分（2）5分钟（3）【解析】【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：（1）先求出小慧的速度，进而得到小聪第二段的速度，进而求出小聪第一段和第三段的速度即可；（2）先求出小聪运动的三段所用的时间，用总时间减去三段时间，进行计算即可；（3）根据相遇时小聪的路程加上1000米等于小慧的总路程，列出方程进行求解即可．【小问1详解】小慧的速度为（米／分），则小聪第二段的速度为160（米／分）小聪第一段的速度为（米／分），小聪第三段的速度为（米／分）答：小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分．【小问2详解】小聪第一段的时间为（分），小聪第二段的时间为（分）小聪第三段的时间为（分）则小聪休息时间为（分）答：小聪休息时间为5分钟．【小问3详解】由（2）可知，小聪骑完第二段的总时间为：，由题意，得：．25.数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____．【解决问题】（3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积．【知识迁移】（4）当时，则的值是_____．（直接写出结果）【答案】（1），，（2），（3）；（4）【解析】【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键．（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案；（2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案；（3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案；（4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可．【详解】解：（1）图1阴影的面积：；图2阴影的面积：；（2）图3阴影的面积：；（3）由题意可知，，∴，∴，∴，∴；（4）∵，，∴，∴，∴，∴，∴；26.如图1，把矩形放在平面直角坐标系中，边在轴上，边在轴上，连接，且，，过点作平分交于点．动点在线段上运动，过作交于，过作交于．（1）当时，求点坐标；（2）在（1）问的条件下，在线段上有一动点，轴上有一动点，连接、、，当周长最小时，求周长的最小值及此时点的坐标；（3）如图2，在（2）问的条件下，点是直线上的一个动点，问：在轴上是否存在点，使得是以为腰