黑龙江省哈尔滨德强学校2024届高三上学期开学考试数学试题

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校高三（上）开学数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（）A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0 B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0 C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0 D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞02．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U（A⋃B）＝（）A．U B．{1，2，4，5} C．{3} D．∅3．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．ca＞cb C．logac＜logbc D．logca＜logcb4．（5分）已知正项等比数列{an}，若a3a5＝64，a5+2a6＝8，则a2＝（）A．16 B．32 C．48 D．645．（5分）“cosθ＝0”是“函数f（x）＝sin（x+θ）+cosx为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c8．（5分）若，则a的取值范围为（）A．（0，e2] B． C． D．二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（5分）已知函数，则下列结论正确的为（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于对称 C．f（x）的最小值为﹣1 D．f（x）在区间上单调递增（多选）10．（5分）已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（）A．当n＝4时， B．当n＝6时， C． D．（多选）11．（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则当x∈[0，2π]时，函数f（x）一定有（）A．三个不同零点 B．在[0，π]上单调递增 C．极大值，且极大值为 D．一条切线为y＝x（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax+，（a＜0），其中Ai（xi，yi），i＝0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线A0A3为函数f（x）在点A0处的切线，则（）A．函数f（x）的图象关于中心对称 B．函数f（x）的极大值有可能小于零 C．对任意的x1＞x0＞0，直线A0A3的斜率恒大于直线A0A1的斜率 D．若A1，A2，A3三点共线，则x1+x2＝2x0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个定义域为R且图象不经过第二象限的幂函数f（x）＝．14．（5分）设tan（α﹣）＝，则tan（α+）＝．15．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（1﹣2x）＝f（1+2x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若将方程实数解的个数记为an，则＝．16．（5分）已知函数，若曲线y＝f（x）的一条切线为直线l：4x﹣y+3＝0，则的最小值为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．（10分）已知函数（ω＞0，m∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．条件①：函数f（x）的最小正周期为π；条件②：函数f（x）的图象经过点；条件③：函数f（x）的最大值为．（1）求f（x）的解析式及最小值；（2）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由的图像向左平移个单位长度得到的．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）图像的对称轴中心，与y轴距离最近的对称轴的方程；（2）若f（x）图像相邻两个对称中心之间的距离大于且ω＞2，求f（x）在上的值域．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），数列{Sn}的前n项积为Tn，且满足Sn+Tn＝Sn•Tn（n∈N*）．（1）求证：为等差数列；（2）记，求数列{bn}的前2023项的和M．21．（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为X．（1）当n＝6时，求P（X≤2）；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有．根据该不等式可以对事件“|Y﹣E（Y）|＜a”的概率作出下限估计．为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值．22．（12分）已知关于x的方程ax﹣lnx＝0有两个不相等的正实根x1和x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）设k为常数，当a变化时，若x1kx2有最小值ee，求常数k的值．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（）A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0 B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0 C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0 D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0【考点】特称命题的否定．【答案】D【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0．故选：D．2．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U（A⋃B）＝（）A．U B．{1，2，4，5} C．{3} D．∅【考点】补集及其运算．【答案】D【分析】由补集的定义求出∁UA，∁UB，再由交集的定义即可求解．【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，∁UA＝{4，5}，B＝{3，4，5}，∁UB＝{1，2}，故（∁UA）∩（∁UB）＝∅．故选：D．3．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．ac＜bc B．ca＞cb C．logac＜logbc D．logca＜logcb【考点】等式与不等式的性质．【答案】D【分析】根据条件取a＝4，b＝2，c＝，可排除ABC，由函数y＝logcx的单调性判断logca和logcb的大小．【解答】解：由a＞b＞1，0＜c＜1，取a＝4，b＝2，c＝，可排除ABC；∵0＜c＜1，∴函数y＝logcx在（0，+∞）上单调递减，∴当a＞b＞0时，logca＜logcb，故D正确．故选：D．4．（5分）已知正项等比数列{an}，若a3a5＝64，a5+2a6＝8，则a2＝（）A．16 B．32 C．48 D．64【考点】等比数列的通项公式．【答案】B【分析】根据等比中项，先求出a4，然后根据a5+2a6＝8求出公比，最后求a2．【解答】解：根据等比中项，可得，又{an}是正项数列，故a4＝8（负值舍去），设等比数列{an}的公比为q，由a5+2a6＝8，可得，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故．故选：B．5．（5分）“cosθ＝0”是“函数f（x）＝sin（x+θ）+cosx为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数奇偶性的性质与判断；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】根据题意，分析“cosθ＝0”和“函数f（x）＝sin（x+θ）+cosx为偶函数”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，若cosθ＝0，则θ＝kπ+，k∈Z，故f（x）＝sin（x+kπ+）+cosx，当k为偶数时，f（x）＝2cosx，是偶函数，当k为奇数时，f（x）＝0，也是偶函数，故f（x）一定是偶函数，反之，若f（x）＝sin（x+θ）+cosx为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即sin（x+θ）+cosx＝sin（﹣x+θ）+cos（﹣x），变形可得：sinxcosθ+cosxsinθ+cosx＝﹣sinxcosθ+cosxsinθ+cosx，必有cosθ＝0；故“cosθ＝0”是“函数f（x）＝sin（x+θ）+cosx为偶函数”的充分必要条件．故选：C．6．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案．【解答】解：因为，所以＝＝．故选：A．7．（5分）已知，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】D【分析】构造函数f（x）＝，x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而可得a，b，c的大小．【解答】解：令f（x）＝，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，因为a＝＝＝f（4），b＝＝f（6），c＝＝f（7），f（4）＞f（6）＞f（7），所以a＞b＞c．故选：D．8．（5分）若，则a的取值范围为（）A．（0，e2] B． C． D．【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】A【分析】根据题意，设，然后构造f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），由导数研究函数f（t）的最小值，即可得到结果．【解答】解：不等式，即，所以．设，则，可知0＜x＜1时，t′（x）＜0，t（x）单调递减；x＞1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以t（x）≥t（1）＝e．令f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），则．当0＜a≤e时，f′（t）≥0，f（t）单调递增，则f（t）≥f（e）＝e﹣a+e2≥0，则a≤e+e2，故0＜a≤e满足条件；当a＞e时，则f（t）在（e，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调递增，则，设g（a）＝a﹣alna+e2（a＞e），则g′（a）＝﹣lna＜0，则g（a）在（e，+∞）单调递减，又g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥g（e2），则e＜a≤e2，综上所述，a的取值范围是（0，e2]．故选：A．二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）（多选）9．（5分）已知函数，则下列结论正确的为（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于对称 C．f（x）的最小值为﹣1 D．f（x）在区间上单调递增【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【答案】BC【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于函数，由于y＝sinx的最小值正周期为2π，函数y＝|cosx|的最小正周期为π，所以函数f（x）的最小正周期为2π，故A错误．由于f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+|cos（π﹣x）|＝sinx+|cosx|＝f（x），故f（x）的图象关于对称，故B正确．当|cosx|≥0，对于f（x）＝sinx+|cosx|，故当sinx最小且cosx＝0时，f（x）最小，故当x＝时，函数取得最小值﹣1，故C正确．在区间上，cosx≤0，x﹣∈[，]，f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣）不单调，故D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（）A．当n＝4时， B．当n＝6时， C． D．【考点】正弦定理．【答案】BD【分析】作图，解三角形求a，r，R关系，由此判断各选项．【解答】解：如图：O为正n边形外接圆的圆心，AB为正n边形的一个边，点D为边AB的中点，则，，所以，，，C错误；R+r＝•＝•＝，D正确；当n＝4时，，化简可得，A错误；当n＝6时，，化简可得，B正确；故选：BD．（多选）11．（5分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则当x∈[0，2π]时，函数f（x）一定有（）A．三个不同零点 B．在[0，π]上单调递增 C．极大值，且极大值为 D．一条切线为y＝x【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】BC【分析】A．由f（x）＝0得，然后可求出f（x）的零点，从而可判断A的正误；B.，根据x∈[0，π]求出的范围，从而得出f′（x）≥0，然后可判断B的正误；C．根据选项B求出的导数f′（x），可得出时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0，从而得出时f（x）取得极大值，从而可判断C的正误；D．可根据导数判断y＝x不是f（x）图象在原点的切线，令，g′（x）＝，从而得出g（x）＞0，即得出x，然后即可判断D的正误．【解答】解：对于A，由f（x）＝0得：，即或，∵x∈[0，2π]，∴，解得x＝0或x＝2π，A错误；对于B，＝＝，∵x∈[0，π]，∴，∴，∴f′（x）≥0，且当x＝0时，f′（x）＝0，则f（x）在[0，π]上单调递增，B正确；对于C，由选项B知，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，因此当x＝时，f（x）取得极大值，C正确；对于D，显然函数f（x）过原点，f′（0）＝0，且f（0）＝0，因此f（x）的图象在原点处的切线方程为y＝0，因为直线y＝x过原点，因此直线y＝x不是f（x）图象在原点处的切线，令，＝，即函数g（x）在（0，2π）上单调递增，当x∈（0，2π）时，g（x）＞g（0）＝0，即x＞，于是函数f（x）在（0，2π]上的图象总在直线y＝x的下方，所以直线y＝x不可能为f（x）图象的切线，D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax+，（a＜0），其中Ai（xi，yi），i＝0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线A0A3为函数f（x）在点A0处的切线，则（）A．函数f（x）的图象关于中心对称 B．函数f（x）的极大值有可能小于零 C．对任意的x1＞x0＞0，直线A0A3的斜率恒大于直线A0A1的斜率 D．若A1，A2，A3三点共线，则x1+x2＝2x0【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】AD【分析】设g（x）＝x3+ax，（x∈R），推导出g（x）为奇函数，图象关于原点对称，从而f（x）＝g（x）+的图象关于点（0，）中心对称，判断A；令f′（x）＝3x2+a＝0，解得x＝±，利用导数性质和函数的单调性判断B；求出＝，，推导出＝（x0﹣x1）（2x0+x1）＜0，判断C；求出＝+a，＝，，当A1，A2，A3三点共线时，则有+a，化简运算判断D．【解答】解：设g（x）＝x3+ax，（x∈R），∵g（﹣x）＝（﹣x）3+a（﹣x）＝﹣（x3+ax）＝﹣g（x），∴g（x）为奇函数，图象关于原点对称，∴f（x）＝g（x）+的图象关于点（0，）中心对称，故A正确；令f′（x）＝3x2+a＝0，解得x＝±，当x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递减，∴当x＝﹣时，f（x）取得极大值，由单调性知f（﹣）＞f（0）＝，故B错误；＝＝，∵x1≠x0，∴＝，又，∴＝＝＝（x0﹣x1）（2x0+x1），∵x1＞x0＞0，∴＝（x0﹣x1）（2x0+x1）＜0，∴，故C错误；同上，可得＝+a，＝，，当A1，A2，A3三点共线时，则有+a，整理得（x3﹣x2）（x3+x2）＝x1（x2﹣x3），∵x3≠x2，∴x3+x2＝﹣x1，即x1+x2＝﹣x3，∵＝f′（x0），∴，整理得（x3+2x0）（x3﹣x0）＝0，∵x3≠x0，∴x3+2x0＝0，∴﹣x3＝2x0，∴x1+x2＝2x0，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）写出一个定义域为R且图象不经过第二象限的幂函数f（x）＝x（答案不唯一）．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．【解答】解：f（x）＝x，定义域为R，图象不经过第二象限，且为幂函数，符合题意．故答案为：x（答案不唯一）．14．（5分）设tan（α﹣）＝，则tan（α+）＝﹣4．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】﹣4．【分析】利用正切的差角公式化简求出tanα的值，再利用正切的和角公式化简即可求解．【解答】解：因为tan（α﹣）＝＝，解得tanα＝，所以tan（α+）＝＝＝﹣4．故答案为：﹣4．15．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（1﹣2x）＝f（1+2x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若将方程实数解的个数记为an，则＝．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】．【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项公式，裂项相消求和即可．【解答】解：因为定义域为R的偶函数f（x）满足f（1﹣2x）＝f（1+2x），所以f（﹣x）＝f（x），f（1﹣x）＝f（1+x），则f（﹣x）＝f（2+x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，方程的实数解个数，即函数的交点个数，不难发现y＝logn+1|x|也是偶函数，所以两函数的交点是关于y轴对称的，这里只分析x＞0的情况．结合条件作出两函数简要图象如下：当n＝1时，此时有两个交点，即a1＝2，当n＝2时，此时有4个交点，即a2＝4，当n＝3时，此时有6个交点，即a3＝6，以此类推，可知an＝2n，故，所以＝（1﹣）+（﹣）+⋯+（﹣）＝．故答案为：．16．（5分）已知函数，若曲线y＝f（x）的一条切线为直线l：4x﹣y+3＝0，则的最小值为﹣4e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】﹣4e．【分析】根据题意，设切点为（x0，y0），将切点分别代入函数f（x）以及切线l上，且f′（x0）＝4，得到方程化简可得，从而求得其最小值．【解答】解：设切点为（x0，y0），x0＞0，则（x0，y0）在l：4x﹣y+3＝0上，即y0＝4x0+3①，∵，∴，又∵直线l的斜率为4，∴，得②，∵（x0，y0）在上，∴③，由①③可得④，将②代入④中可得，，化简可得lnm+lnx0﹣1＝0，即⑤，由②⑤可得，，令，则y＝t2﹣4t＝（t﹣2）2﹣4，t＞0，当t＝2时，即时，，∴当时，，故答案为：﹣4e．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．（10分）已知函数（ω＞0，m∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）的解析式的两个作为已知．条件①：函数f（x）的最小正周期为π；条件②：函数f（x）的图象经过点；条件③：函数f（x）的最大值为．（1）求f（x）的解析式及最小值；（2）若函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，求t的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），选择①②：由周期得出ω，由得出m，进而求出f（x）的解析式及最小值；选择①③：由周期得出ω，由f（x）的最大值为得出m，进而求出f（x）的解析式及最小值；选择②③：由得，又因为函数f（x）的最大值为，所以m＝0，与矛盾，不符合题意．（2）因为x∈[0，t]，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．【解答】解：（1）由题可知，＝，选择①②：因为，所以ω＝1，又因为，所以．所以．当，即时，f（x）＝﹣1，所以函数f（x）的最小值为﹣1．选择①③：因为，所以ω＝1，又因为函数f（x）的最大值为，所以m＝0．所以，当，即时，．所以函数f（x）的最小值为．选择②③：因为，所以．又因为函数f（x）的最大值为，所以m＝0，与矛盾，不符合题意．（2）选择①②：因为x∈[0，t]，所以，又因为f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，所以，所以，所以．选择①③：因为x∈[0，t]，所以，又因为f（x）在区间[0，t]（t＞0）上有且仅有1个零点，又时，或，所以，所以，所以．18．（12分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由的图像向左平移个单位长度得到的．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）图像的对称轴中心，与y轴距离最近的对称轴的方程；（2）若f（x）图像相邻两个对称中心之间的距离大于且ω＞2，求f（x）在上的值域．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性．【答案】（1）对称中心（﹣，0），k∈Z，与y轴距离最近的对称轴方程为x＝﹣；（2）[﹣1，2]．【分析】（1）根据三角函数的图象变换关系，结合周期求出ω和φ，可得函数的解析式，从而求出与y轴距离最近的对称轴方程．（2）根据题意求出ω和φ，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，∴Acos（ωx+φ）＝2cos（ωx﹣+），∴A＝2，且φ＝2kπ﹣（﹣），k∈Z，若f（x）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，φ＝2kπ+，k∈Z，∴φ＝，f（x）＝2cos（2x+）．令2x+＝k，可得x＝，k∈Z，2x+＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z，对称中心（﹣，0），k∈Z，取k＝0，可得与y轴距离最近的对称轴方程为x＝﹣；（2）若f（x）图象相邻两个对称中心之间的距离＞，则ω＜，∵ω∈N*且ω＞2，∴ω＝3．结合φ＝2kπ﹣（﹣），k∈Z，可得φ＝，∴f（x）＝2cos（3x+），当x∈，3x+∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，1]，f（x）∈[﹣1，2]，故f（x）在x∈的值域为[﹣1，2]．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（Ⅰ）x+y﹣3π＝0；（Ⅱ）[﹣1，1]．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式即可求解；（Ⅱ）求导，利用f′（x）≥0在R上恒成立，令t＝cosx（﹣1≤t≤1），利用一元二次不等式的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当a＝2时，f（x）＝2x﹣sin2x+2sinx，f（π）＝2πsin2π+2sinπ＝2π，f′（x）＝2﹣cos2x+2cosx，k＝f′（π）＝2﹣cos2π+2cosπ＝﹣1，∴切线方程为y﹣2π＝﹣（x﹣π），即x+y﹣3π＝0．（Ⅱ）∵f（x）在R上单调递增，∴f′（x）＝2﹣cos2x+acosx＝﹣2cos2x+acosx+3≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令t＝cosx（﹣1≤t≤1），即﹣2t2+at+3≥0在[﹣1，1]上恒成立，令g（t）＝﹣2t2+at+3，其对称轴方程为t＝，问题等价于，解得﹣1≤a≤1，∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），数列{Sn}的前n项积为Tn，且满足Sn+Tn＝Sn•Tn（n∈N*）．（1）求证：为等差数列；（2）记，求数列{bn}的前2023项的和M．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据所给递推公式及前n项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；（2）求出bn，利用裂项相消法求和．【解答】（1）证明：因为，当n＝1时，，解得a1＝2或a1＝0，又Sn≠0，所以a1≠0，故a1＝2，由Sn+Tn＝Sn⋅Tn，可得Sn≠1，所以，当n≥2时，．所以，即，所以，所以所以是以为首项，1为公差的等差数列．（2）解：由（1）得，则，因为，故．21．（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为X．（1）当n＝6时，求P（X≤2）；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有．根据该不等式可以对事件“|Y﹣E（Y）|＜a”的概率作出下限估计．为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【答案】（1）；（2）1250．【分析】（1）根据二项分布公式计算；（2）运用二项分布公式算出E（X）和D（X），再根据题意求出|X﹣E（X）|＜a中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解．【解答】解：（1）由已知，所以P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝；（2）由已知，所以E（X）＝0.5n，D（X）＝0.25n，若，则0.4n≤X≤0.6n，即﹣0.1n≤X﹣0.5n≤0.1n，即|X﹣0.5n|≤0.1n，由切比雪夫不等式，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则，解得n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250，综上，，估计信号发射次数n的最小值为1250．22．（12分）已知关于x的方程ax﹣lnx＝0有两个不相等的正实根x1和x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；