湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期10月联考数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（

）捐款金额元频数A． B． C． D．3．已知直三棱柱的体积为，则三棱锥的体积是（

）A． B． C． D．4．以点A1,2为圆心，两平行线x−A．x+12C．x+125．关于函数，下列说法中正确的是（

）A．其表达式可写成B．曲线关于直线对称C．在区间上单调递增D．，使得恒成立6．从盒子中摸出一个黑球的概率是，从盒子摸出一个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出一个球，则下列说法中错误的是（

）A．个球都不是黑球的概率为 B．个球中恰有个是黑球的概率为C．个球中至少有个黑球的概率为 D．个球中至多有个黑球的概率为7．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知梯形中，，，，，是线段的中点将沿所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项错误的是（

）A．与始终垂直B．当直线与平面所成角为时，C．四面体体积的最大值为D．四面体的外接球的表面积的最小值为二、多选题9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法中正确的是（

）A．的实部与虚部之积为 B．的共轭复数为C．在复平面内对应的点在第三象限 D．10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，11．在平面直角坐标系中，，，，，设点的轨迹为，下列说法正确的是（

）A．轨迹的方程为B．面积的最大值为C．的最小值为D．若直线与轨迹交于，两点，则12．如图，已知正方体中，E，F，M，N分别是CD，，，BC的中点，则下列说法正确的有（

）A．E，F，M，N四点共面B．BD与EF所成的角为C．在线段BD上存在点P，使平面EFMD．在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变三、填空题13．已知直线与垂直，则实数14．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为．15．已知，，，则的最小值为16．在中，是边上的中点，且，，，，则．四、解答题17．已知直线，，．(1)若这三条直线交于一点，求实数的值；(2)若三条直线能构成三角形，求满足的条件．18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．(1)求证：；(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．19．在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且．(1)求角的大小(2)若，，求的面积．20．如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．(1)求证：直线平面；(2)若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．21．已知函数为常数．(1)当时，判断在上的单调性，并用定义法证明(2)讨论零点的个数并说明理由．22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.

(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；(2)求线段中点的轨迹方程；(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值.

参考答案1．【答案】A【分析】解指数不等式求出，解绝对值不等式求出，从而求出交集.【详解】由，可得，所以；由得，所以，故故选：A．2．【答案】D【分析】根据百分位数的运算法则计算出从而计算出.【详解】因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以．因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以，所以．故选：D3．【答案】D【分析】根据棱柱的几何性质和棱锥的体积公式把三棱锥的体积转化为三棱锥，再结合棱柱的体积求三棱锥的体积即可.【详解】.故选：D.4．【答案】B【详解】直线方程2x−2y+7=0可化为x−y+72=05．【答案】C【分析】应用三角恒等变换化简，代入法判断对称轴、单调区间判断A、B、C，根据正弦型函数的周期性及参数范围判断D的正误.【详解】，A错误，由，B错误，当，则，C正确，若，使恒成立，说明是的一个周期，而与最小正周期为矛盾，D错误．故选：C6．【答案】C【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式、互斥事件的概率加法公式求解即可.【详解】设从盒子摸出一个黑球“为事件”，从盒中摸出一个黑球“为事件”，则，，且，相互独立，在A选项中个都不是黑球，则，A正确在B选项中个球中恰有一个是黑球的概率为，B正确在C选项中个球至少有一个黑球的概率为，C错误在D选项中个球至多有个黑球的概率为，D正确．故选：C7．【答案】B【详解】设，因为点关于直线的对称点为，所以，的中点一定在上，且设中点为，由中点坐标公式得，将其代入中，得到，而可化为，则其斜率为，可得到，解得，，故得，我们把的斜率记为，的斜率记为，由斜率公式得，，如图，我们得到直线的斜率的取值范围为，故B正确.故选：B8．【答案】B【分析】A选项：利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得到；B选项：根据题意得到为直线与平面所成角，然后根据，求即可；C选项：根据题意得到平面平面时，四面体体积最大，然后求体积即可；D选项：根据题意得到平面平面时，四面体外接球的表面积最小，找出半径求表面积即可.【详解】A选项：连接交于，因为，点是的中点，所以，又∥，所以四边形为平行四边形，因为，，所以四边形为正方形，，即，，又，所以在翻折过程中平面，因为平面，所以，故A正确；B选项：因为平面，平面，所以平面平面，为直线与平面所成角，在中，，所以，故B错；C选项：当平面平面时四面体的体积最大，此时，故C正确；D选项：由题易知，当平面平面时，四面体外接球的表面积最小，此时球心点处，外接球半径为1，表面积为，故D正确；故选：B.9．【答案】ABD【分析】A选项：利用复数除法和乘方的计算法则计算即可；B选项：利用共轭复数的定义求即可；C选项：根据复数的几何意义判断即可；D选项：根据复数的模的计算公式计算即可.【详解】，即，则，实部为2，虚部为1，故A正确；，故B正确；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；，故D正确.故选：ABD.10．【答案】BCD【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；B选项，根据向量平行列出方程组，求出；C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.【详解】当时，，解得：，故A错误；令，则，，故B正确；，所以，解得：，故C正确；当，，因为，，故D正确．故选：BCD11．【答案】BD【分析】A选项：设，利用列等式，整理即可得到点的轨迹；B选项：根据几何的思路得到当点纵坐标的绝对值最大时，面积最大时，然后求面积即可；C选项：根据几何的思路得到，然后求最小值即可；D选项：利用勾股定理求弦长即可.【详解】设点，化简得，，故A错误；当点纵坐标的绝对值最大时，面积最大时，此时，故B正确；设轨迹的圆心为，半径为，所以，，点在圆内，所以，故C错误；圆心到直线的距离为，，，故D正确．故选：BD.12．【答案】ABD【分析】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据四点共面的向量表示直接判断选项A；利用向量法求BD与EF所成的角，判断选项B；假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，列方程组，由方程组无解，判断选项C；用向量法判断出，利用线面平行的判定定理证明出平面EFM，即可判断选项D．【详解】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，，，，，，设，则，所以，解得故，即E，F，M，N四点共面，选项A正确；因为．，所以，所以BD与EF所成的角为，选项B正确；假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，则，若平面EFM，则，．因为，，所以，此方程组无解，所以在线段BD上不存在点P，使平面EFM，选项C错误；因为，所以，又平面EFM，平面EFM，所以平面EFM，故上的所有点到平面EFM的距离均相等，即在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变，选项D正确．故选：ABD13．【答案】2【分析】根据直线方程得到斜率，再利用直线垂直时斜率的关系列方程求解即可.【详解】直线的斜率，的斜率，，得．故答案为：2.14．【答案】或【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．故答案为：15．【答案】【分析】利用换底公式和对数计算公式进行化简，得到，然后用基本不等式求最小值即可.【详解】原式化简，∴，，当且仅当，时取“”号．故答案为：.16．【答案】1【分析】利用转化法得到，，再根据，，得到，联立得到，，然后求即可.【详解】，同理可得，又，，所以，所以，，.故答案为：1.17．【答案】(1)(2)且且【分析】（1）先由直线方程联立求出交点坐标，再代入直线的方程可求出，（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出的取值范围，再求出其补集即可.（1）由解得代入的方程，得．（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立解得代入，得；②当与平行时，，当与平行时，．综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面得到，根据等腰三角形的性质得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用线面垂直的性质即可得到；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角即可.（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，又∵平面，平面，，∴平面∵平面ABCD，∴；（2）解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，则，，设平面PBE的法向量为，，取，则，故为平面PBE的一个法向量，设PC与平面PBE所成的角为，则，∴与平面PBE所成角的正弦值为．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.（1）解：由可得，所以，，由正弦定理可得，、，则，，所以，，故.（2）解：因为，可设，则，由余弦定理可得，解得，故，，因此，的面积为.20．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，则平面．（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题意得：，，，，，∴，，设，则．依题意可得：，即：又与都在的同侧，所以，即于是：，设平面的法向量为则，取，可得再设平面的法向量为，则，取，得于是所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．21．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）由单调性的定义证明，（2）由换元法与二次函数性质分类讨论求解，（1）当，且时，是单调递减的．证明：设任意，则，，，，，，，故当时，在上是单调递减的（2）令，可得，令，，则，记易知在上单调递减，在上单调递增，，当时，，此时，无零点，故无零点当时，恰有一个零点，故有一个零点当时，若，令，解得，若，又，此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，因此，当时，有个零点，有个零点当时，若，则，即在无零点，若，又，此时由二次函数性质可知，在上有一个零点，因此，当时，有一个零点，即有一个零点．综上所述，当时，无零点