湖南省永州市2024届高三一模数学试题

2023-2024学年湖南省永州市高三（上）第一次模拟数学试卷一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，集合B＝{x|x2﹣x≥0}，则A⋂B＝（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1} C．{0，1，2} D．{1，2}2．（5分）复数z满足i5⋅z＝1+i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知向量，，，且，则x＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣14．（5分）“函数f（x）＝xa在（0，+∞）上单调递减”是“函数g（x）＝x4﹣（a+1）x是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系中，过直线2x﹣y﹣3＝0上一点P作圆O：x2+2x+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则sin∠APB的最大值为（）A． B． C． D．6．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且PF2与y轴平行，直线PF1与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率为（）A． B． C． D．7．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*，an＞0），则下列结论正确的是（）A．a2022a2023＞1 B． C． D．8．（5分）已知函数f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0），若，，在区间上没有零点，则ω的取值共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）下列关于概率统计说法中正确的是（）A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱 B．设随机变量ξ～N（2，1），若p（ξ＞3）＝p，则 C．在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为X，X～B（10，0.8），则E（X）＝8（多选）10．（5分）对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）的形式，两边取常用对数，则有lgN＝n+lga，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数x2345678910lgx（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．510在区间（106，107）内 B．350是15位数 C．若7﹣50＝a×10m，则m＝﹣43 D．若m30（m∈N*）是一个35位正整数，则m＝14（多选）11．（5分）菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，将△ABD沿BD向上翻折得到△PBD，使二面角P﹣BD﹣C的余弦值为，连接PC，球O与三棱锥P﹣BCD的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A．PO⊥平面BCD B．球O的表面积为2πa2 C．球O被三棱锥P﹣BCD表面截得的截面周长为 D．过点O与直线PB，CD所成角均为的直线可作4条（多选）12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f（x+1）+g（x﹣2）＝3，f（x﹣1）﹣g（﹣x）＝1，且g（﹣1）＝2，g（x﹣1）为偶函数，下列结论正确的是（）A．4为f（x）的一个周期 B．g（3）＝1 C． D．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AE＝CF，则＝．（用，，表示）15．（5分）若函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，则实数t的取值范围．16．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px（0＜p＜2a）上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线相交于A、B两点，与线段NF相交于点R，且．若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为．四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，前三项和为39，且a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求{bn}的前n项和Tn．18．（12分）在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosA﹣acosC＝a+b．（1）求角C；（2）若c＝5，△ABC的内切圆半径，求△ABC的面积．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD＝2AB＝4，M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC＝3PH．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．20．（12分）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C，其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别为，且A、B、C是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X，求X的分布列；（2）已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n．如果抽取次数的期望值不超过5，求n的最大值．参考数据：0.9754≈0.904，0.9755≈0.881，0.9756＝0.859，0.9757＝0.838，0.9758＝0.81721．（12分）已知点A为圆C：上任意一点，点B的坐标为，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）设轨迹c与x轴分别交于A1、A2两点（A1在A2的左侧），过R（3，0）的直线l与轨迹E交于M、N两点，直线A1M与直线A2N的交于P，证明：P在定直线上．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝axex﹣2lna+3ln2+3．（1）当x∈（﹣1，0）⋃（0，+∞）时，求证：；（2）若x∈（﹣1，+∞）时，g（x）≥f（x），求实数a的取值范围．

2023-2024学年湖南省永州市高三（上）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，集合B＝{x|x2﹣x≥0}，则A⋂B＝（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1} C．{0，1，2} D．{1，2}【考点】一元二次不等式及其应用；集合的表示法；集合的相等．【答案】D【分析】求出集合A，B，即可求得答案．【解答】解：由，B＝{x|x2﹣x≥0}＝{x|x≤0或x≥1}，故A∩B＝{1，2}．故选：D．2．（5分）复数z满足i5⋅z＝1+i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】D【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z，根据复数的几何意义即可得答案．【解答】解：由i5⋅z＝1+i得i⋅z＝1+i，∴，则，即z在复平面内对应的点为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量，，，且，则x＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】C【分析】利用向量坐标运算法则、向量垂直的性质直接求解．【解答】解：向量，，，且，∴＝（5，0），∴（）＝5x＝0，则x＝0．故选：C．4．（5分）“函数f（x）＝xa在（0，+∞）上单调递减”是“函数g（x）＝x4﹣（a+1）x是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数奇偶性的性质与判断；幂函数的性质；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据题意，由幂函数的性质分析a的值，结合充分必要条件的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝xa，若函数在（0，+∞）上单调递减，则有a＜0，对于g（x）＝x4﹣（a+1）x中，函数是偶函数，则有，解得：a＝﹣1，若“函数f（x）＝xa在（0，+∞）上单调递减”，不一定有“函数g（x）＝x4﹣（a+1）x是偶函数”，反之，若“函数g（x）＝x4﹣（a+1）x是偶函数”，一定有“函数f（x）＝xa在（0，+∞）上单调递减”；故“函数f（x）＝xa在（0，+∞）上单调递减”是“函数g（x）＝x4﹣（a+1）x是偶函数”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）在平面直角坐标系中，过直线2x﹣y﹣3＝0上一点P作圆O：x2+2x+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则sin∠APB的最大值为（）A． B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【答案】A【分析】由题意圆C：x2+2x+y2＝1的标准方程为C：（x+1）+y2＝2，作出示意图可得sin∠APB＝sin2α＝2sinαcsα，又sinα＝＝，所以cosα＝＝，又由圆心到直线的距离可求出|CP|的最小值，进而求解．【解答】解：如下图所示：又因为sinα＝＝，所以cosα＝＝，所以sin∠APB＝2sinαcosα＝2，又圆心C（﹣1，0）到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为d＝＝，所以，所以不妨设t＝（0＜t≤），则sin∠APB＝2＝2＝2＝f（t），又因为f（t）在单调递增，所以当且仅当，即，即当且仅当直线CP垂直已知直线2x﹣y﹣3＝0时，sin∠APB有最大值，（sin∠APB）max＝f（）＝．故选：A．6．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且PF2与y轴平行，直线PF1与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的性质．【答案】B【分析】由PF2与y轴平行，可得：|PF2|，不妨设点P（c，），设Q（x0，y0），由，得Q的坐标，代入椭圆方程化简即可求解．【解答】解：由PF2与y轴平行，可得：|PF2|＝，不妨设点P（c，），设Q（x0，y0），由|PF1|＝4|F1Q|，，2（﹣2c，﹣）＝5（x0+c，y0），得x0＝，y0＝，代入椭圆方程得：，结合a2＝b2+c2，化简上式可得：e2＝，所以椭圆的离心率为e＝，故选：B．7．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*，an＞0），则下列结论正确的是（）A．a2022a2023＞1 B． C． D．【考点】数列递推式．【答案】D【分析】根据an，Sn之间的关系可求出，进而求得，由此结合大小比较可判断A，B，C；利用放缩法，当n≥2时，可推出，累加即可判断D．【解答】解：令n＝1，则，即，由an＞0，得a1＝1；当n≥2时，，即﹣＝1，又，故{Sn}为首项是1，公差为1的等差数列，则，故，所以当n≥2时，，a1＝1也适合该式，故，对于A，a2022a2023＝（﹣）（﹣）＝，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，当n≥2时，，故+++⋯+＜1+2（﹣1）+2（﹣）+⋯+2（﹣）＝1+2（﹣1+10）＝19，D正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0），若，，在区间上没有零点，则ω的取值共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【考点】余弦函数的图象．【答案】B【分析】根据f（﹣）＝3，f（）＝0，可得，根据区间（﹣，﹣）上没有零点，可得0＜ω≤6，即可求出ω的取值的个数．【解答】解：由题意，在f（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0）中，f（﹣）＝3，f（）＝0，∴，∴，k1，k2∈Z，两式相减得，∴+，∴，∵x∈（﹣，﹣），ω＞0，∴ωx+φ∈（﹣），令，由题意知y＝3cost在（﹣，﹣）上无零点，∴（﹣，﹣）⊆（﹣，），k∈Z，∴，k∈Z，两式相加，得﹣，∴0＜ω≤6，∵，∴当n＝0时，；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，；当n＝3时，；当n＝4时，ω＝6．∴ω的取值有5个．故选：B．二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）下列关于概率统计说法中正确的是（）A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱 B．设随机变量ξ～N（2，1），若p（ξ＞3）＝p，则 C．在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为X，X～B（10，0.8），则E（X）＝8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相关系数；命题的真假判断与应用；二项分布与n次独立重复试验的模型．【答案】BD【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论：B项，通过求出P（2＜ξ＜3）即可求出P（﹣1＜ξ＜0）的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好：D项，通过计算即可求出E（x）．【解答】解：由题意，A项，两个变量x，y的相关系数|r|越小，x与y之间的相关性越弱，故A错误，对于B．随机变量ξ服从正态分布N（2，1），由正态分布概念知若P（ξ＞3）＝p，则P（﹣1＜ξ＜0）＝P（2＜ξ＜3）＝P（g＞2）﹣P（g＞3）＝2﹣p，故B正确；对于C．在回归分析中，R2越接近于1，模型的拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.89的横型拟合的更好，故C错误；对于D，某人在10次答题中，答对题数为X，X～B（10，0.8），则数学期望E（X）＝10×0.8＝8，故D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）的形式，两边取常用对数，则有lgN＝n+lga，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数x2345678910lgx（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．510在区间（106，107）内 B．350是15位数 C．若7﹣50＝a×10m，则m＝﹣43 D．若m30（m∈N*）是一个35位正整数，则m＝14【考点】对数的运算性质；归纳推理；进行简单的合情推理．【答案】ACD【分析】根据lgN＝n+lga，分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断．【解答】解：对于A，∵lg510＝10lg5≈6.99，lg106＝6lg10＝6＜6.99，lg107＝7lg10＝7＞6.99，∴510在区间（106，107）内，故A正确；对于B，∵lg350＝50lg3≈23.85，∴350≈1023.85，∴350是24位数，故B错误；对于C，∵lg7﹣50＝﹣50lg7≈﹣42.25，∴7﹣50≈10﹣42.25，∴7﹣50＝a×10m，∴m＝﹣43，故C正确；lgm30＝30lgm，∵m30（m∈N*）是一个35位正整数，∴34≤30lgm＜35，∴，∴1.1267≤lgm＜1.1667，∴m＝14，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，将△ABD沿BD向上翻折得到△PBD，使二面角P﹣BD﹣C的余弦值为，连接PC，球O与三棱锥P﹣BCD的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A．PO⊥平面BCD B．球O的表面积为2πa2 C．球O被三棱锥P﹣BCD表面截得的截面周长为 D．过点O与直线PB，CD所成角均为的直线可作4条【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法；命题的真假判断与应用．【答案】AC【分析】利用余弦定理求得PA＝a，推导出三棱锥P﹣BCD为正四面体，进而补成正方体，推导出O点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求出球O的半径可判断B；求出球O被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球O被三棱锥P﹣BCD表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D．【解答】解：在菱形ABCD中，连接AC，则AC⊥BD，设AC，BD交于E，如图，则PE⊥BD，CE⊥BD，PE⊂平面PBD，CE⊂平面CBD，即∠PEC为二面角P﹣BD﹣C的平面角，即cos，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形，即CBD为正三角形，∴PE＝CE＝a，∴PC2＝PE2+CE2﹣2PE•CEcos∠PEC＝＝a2，∴PC＝a，∴三棱锥P﹣BCD是棱长为a的正四面体，将该四面体补成正方体PHDG﹣NCMB，四面体的各棱为正方体的面对角线，则正方体棱长为a，∵球O与三棱锥P﹣BCD的6条棱相切，则O点即为正方体的中心，连接PM，则O为正方体体对角线PM的中点，∵PN⊥平面MBNC，BC⊂平面MBNC，∴PN⊥BC，∵BC⊥MN，PN∩MN＝N，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，同理可证BD⊥PM，BC∩BD＝B，∴PM⊥平面BCD，即PO⊥平面BCD，故A正确；∵球O与三棱锥P﹣BCD的6条棱都相切，∴球O即为正方体PHDG﹣NCMB的内切球，球的直径为正方体棱长为a，则球半径为，∴球O的表面积为4π×（）2＝，故B错误；球O被平面截得的截面圆为正三角形BCD的内切圆，∵BC＝a，故正三角形BCD的内切圆半径为，∴内切圆周长即为球O被平面截得的截面周长为＝，∴球O被三棱锥P﹣BCD表面截得的截面周长为4×＝，故C正确；连接HM，∵PH∥BM，PH＝BM，∴四边形PHMB是平行四边形，∴PB∥HA，∵HM⊥CD，∴PB⊥CD，取空间一点S，作PB，CD的平行线P′B′，C′D′，如图，则和P′B′，C′D′所成角均为的直线即为它们形成的角的角平分线l1，l2，假设平面α过l1且垂直于且垂直于P′B′，C′D′所确定的平面，当l1绕点S且在α内转动时，直线l与P′B′，C′D′所成角相等，但会变大，大于，∴在P′B′，C′D′所确定的平面外过点S不存在直线l与P′B′，C′D′所成角为，∴过点O与直线PB，CD所成角均为的直线可作2条，故D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f（x+1）+g（x﹣2）＝3，f（x﹣1）﹣g（﹣x）＝1，且g（﹣1）＝2，g（x﹣1）为偶函数，下列结论正确的是（）A．4为f（x）的一个周期 B．g（3）＝1 C． D．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：由于g（x﹣1）为偶函数，图象关于y轴对称，所以g（x）图象关于x＝﹣1对称，所以g（x﹣2）＝g（﹣1+（x﹣1））＝g（﹣1﹣（x﹣1））＝g（﹣x），所以f（x+1）+g（x﹣2）＝f（x+1）+g（﹣x）＝3①，而f（x﹣1）﹣g（﹣x）＝1②，两式相加得f（x﹣1）+f（x+1）＝4，则f（x）+f（x+2）＝4③，所以f（x+4）＝f（x+2+2）＝4﹣f（x+2）＝4﹣（4﹣f（x））＝f（x），所以4是f（x）的一个周期，A选项正确；由③令x＝1得f（1）+f（3）＝4，由①令x＝2得f（2）+g（﹣1）＝f（2）+2＝3，f（2）＝1，由②令x＝1得f（0）﹣g（﹣1）＝f（0）﹣2＝1，f（0）＝3，则f（4）＝f（0）＝3，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝8，f（1）+f（2）+f（3）＝5，所以＝2020×8+f（1）+f（2）+f（3）＝4040+5＝4045，C选项正确；由①令x＝﹣1得f（0）+g（1）＝3+g（1）＝3，g（1）＝0，由f（x+1）+g（x﹣2）＝3，f（x﹣1）﹣g（﹣x）＝1，得f（x）+g（x﹣3）＝3，f（x）﹣g（﹣x﹣1）＝1，两式相减得g（x﹣3）+g（﹣x﹣1）＝2，即g（x﹣3）+g（x﹣1）＝2，且g（x）关于（﹣2，1）对称，g（﹣2）＝1，所以g（x）+g（x+2）＝2④，所以g（x+4）＝g（x+2+2）＝2﹣g（x+2）＝2﹣（2﹣g（x））＝g（x），所以g（x）是周期为4的周期函数，所以g（3）＝g（﹣1）＝2，所以B选项错误；由④令x＝2得g（2）+g（4）＝2，所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝4，由于g（2）＝g（﹣2+4）＝g（﹣2）＝1，所以g（1）+g（2）+g（3）＝3，所＝，所以D选项正确．故选：ACD．三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为12（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】12．【分析】利用捆绑求得正确答案．【解答】解：由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种．故答案为：12．14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AE＝CF，则＝．（用，，表示）【考点】空间向量及其线性运算．【答案】．【分析】根据题意得出，然后根据向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义及向量的数乘运算即可得解．【解答】解：根据题意知：，＝＝，∴＝．故答案为：．15．（5分）若函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，则实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】．【分析】由f（x）＞0进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t的取值范围．【解答】解：依题意，当x∈（0，+∞）时，恒成立，即（etx+2）tx＞（x+2）lnx恒成立，即（etx+2）⋅lnetx＞（x+2）lnx①恒成立，设g（x）＝（x+2）lnx，，令，所以h（x）在区间（0，2）上h′（x）＜0，h（x）单调递减；在区间（2，+∞）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）≥h（2）＝2+ln2＞0，也即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以由①得etx＞x，即，设，所以m（x）在区间（0，e）上m′（x）＞0，m（x）单调递增；在区间（e，+∞）上m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以，所以，即t的取值范围是．故答案为：．16．（5分）已知点在抛物线C：y2＝2px（0＜p＜2a）上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线相交于A、B两点，与线段NF相交于点R，且．若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为y2＝4x．【考点】抛物线的性质．【答案】y2＝4x．【分析】设|NF|＝4t（t＞0），表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于a，p的方程，即可求得p，即得答案．【解答】解：由C：y2＝2px（0＜p＜2a）可知，设|NF|＝4t（t＞0），则，则|NR|＝3t，故，即①；又点在抛物线C：y2＝2px（0＜p＜2a）上，故②，且12＝2pa，即pa＝6③，②联立得12a2﹣20ap+3p2＝0，得2a＝3p或6a＝p，由于0＜p＜2a，故2a＝3p，结合pa＝6③，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．故答案为：y2＝4x．四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，前三项和为39，且a1，a2+6，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得出答案；（2）由（1）得，则，利用裂项求和法，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，∴2（a2+6）+a2＝39，解得a2＝9，∴a1+a3＝30，∴，则3q2﹣10q+3＝0，解得q＝或q＝3，又q＞1，则q＝3，∵a1＝3，故；（2）由（1）得，则＝，故{bn}的前n项和＝．18．（12分）在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccosA﹣acosC＝a+b．（1）求角C；（2）若c＝5，△ABC的内切圆半径，求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cosC的值，即可得答案；（2）利用余弦定理得a2+b2＝25﹣ab，配方得（a+b）2＝25+ab，再结合△ABC的内切圆半径，利用等面积法推出a+b＝2ab﹣5，即可求得，从而求得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由ccosA﹣acosC＝a+b得sinCcosA﹣sinAcosC＝sinA+sinB，即sinCcosA﹣sinAcosC＝sinA+sin（A+C），故﹣2sinAcosC＝sinA，由于A∈（0，π），∴sinA≠0，故，而C∈（0，π），故．（2）由可得c2＝a2+b2+ab，而c＝5，故a2+b2＝25﹣ab，则（a+b）2＝25+ab，由△ABC的内切圆半径，可得，即，即a+b＝2ab﹣5，故（2ab﹣5）2＝25+ab，解得，故△ABC的面积．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD＝2AB＝4，M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC＝3PH．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取AD中点Q，连接MQ，NQ，要证MN∥平面PAB，只需平面MQN∥平面PAB，结合已知条件即可得证．（2）当AM⊥PC时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据AD＝2AB＝4以及中点关系、PC＝3PH即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解．【解答】解：（1）证明：如图所示：取AD中点Q，连接MQ，NQ，M，N分别为PD、BC的中点，且底面ABCD为矩形，所以，且NQ∥AB，又因为MQ⊂平面MQN，MQ⊄平面PAB，NQ⊂平面MQN，NQ⊄平面PAB，所以MQ∥平面PAB，且QN∥平面PAB，又因为MQ⋂NQ＝Q，MQ⊂平面MQN，NQ⊂平面MQN，所以平面MQN∥平面PAB，因为MN⊂平面MQN，所以由面面平行的性质可知MN∥平面PAB（2）如图所示：因为侧面PAD为正三角形以及M为PD的中点，所以由等边三角形三线合一得AM⊥PD，又因为AM⊥PC，且PD⊂面PDC，PC⊂面PDC，PD∩PC＝P，所以AM⊥面PDC，又因为CD⊂面PDC，所以CD⊥AM，又因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为AD⋂AM＝A，AM⊂面PAD，AD⊂面PAD，所以CD⊥面PAD，因为PQ⊂面PAD，所以CD⊥PQ，又CD∥NQ，所以NQ⊥PQ，又由三线合一PQ⊥AD，又AD⊥NQ，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为AD＝2AB＝4，所以，又因为M为PD的中点，PC＝3PH，所以，所以，，，不妨设平面AMN与平面HMN的法向量分别为，所以有，即，令y1＝1，可得，由，即，令x2＝1，可得，不妨设平面AMN与平面HMN的夹角为θ，所以；综上所述：平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值为．20．（12分）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C，其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别为，且A、B、C是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X，求X的分布列；（2）已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n．如果抽取次数的期望值不超过5，求n的最大值．参考数据：0.9754≈0.904，0.9755≈0.881，0.9756＝0.859，0.9757＝0.838，0.9758＝0.817【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）分布列见解析；（2）5．【分析】（1）由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对于的概率，进而可列出分布列；（2）不妨设抽取第k（1≤k≤n﹣1）次时取到优质产品，此时对应的概率为P（k）＝0.025×（0.975）k﹣1，而第n次抽到优质产品的概率为P（n）＝（0.975）n﹣1，得到抽取次数的期望值E（n）的表达式，对其求和并结合E（n）≤5以及参考数据即可求解．【解答】解：（1）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时，，，；则X的分布列为：X0123P（X）（2）不妨设抽取第k（1≤k≤n﹣1，n≥2）次时取到优质产品，此时对应的概率为P（k）＝0.025×（0.975）k﹣1，而第n次抽到优质产品的概率为P（n）＝（0.975）n﹣1，则＝0.025×[1+2×0.975+⋯+（n﹣1）×（0.975）n﹣2]+n（0.975）n﹣1，又0.975⋅E（n）＝0.025×[1×0.975+⋯+（n﹣2）×（0.975）n﹣2+（n﹣1）×（0.975）n﹣1]+n（0.975）n，两式相减得0.025⋅E（n）＝0.025×[1+0.975+⋯+（0.975）n﹣2﹣（n﹣1）×（0.975）n﹣1]+0.025×n（0.975）n﹣1，所以，因为E（n）≤5，所以40[1﹣（0.975）n]≤5，即（0.975）n≥0.875，因为当n＝5时，0.9755≈0.881＞0.875，所以当n＝6时，有0.9756＝0.859＜0.875，综上所述：n的最大值为5．21．（12分）已知点A为圆C：上任意一点，点B的坐标为，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）设轨迹c与x轴分别交于A1、A2两点（A1在A2的左侧），过R（3，0）的直线l与轨迹E交于M、N两点，直线A1M与直线A2N的交于P，证明：P在定直线上．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【答案】（1）；（2）证明见解答．【分析】（1）根据题意推出|DC|﹣|DB|＝4，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线A1M和A2N的方程，推得＝，结合根与系数的关系化简，即可证明结论．【解答】解：（1）由得，其半径为4，因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D，故|DB|＝|DA|，则|DC|﹣|DB|＝|DC|﹣|DA|＝AC|＝4，而|BC|＝8＞4，故点D的轨迹E为以B，C为焦点的双曲线，则2a＝4，a＝2，，，∴b