江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题一、单选题1．设全集为，集合，集合，则（

）A．或 B． C． D．2．已知（i是虚数单位）的共轭复数为，则的虚部为（

）A．3 B． C．1 D．3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．4．已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（

）A．128 B．127 C．126 D．1255．给出下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②如果两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.以上命题中真命题的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A.2563 B.2563π C.648．已知正实数，满足，则的最大值为（

）A． B．1 C．2 D．9二、多选题9．设，，都是实数，下列说法正确的是（

）A．是的充要条件B．是的充分不必要条件C．中，角，，对应边分别为，，，则是的充要条件D．是的必要不充分条件10．已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的有（

）A．函数的图象关于直线对称 B．函数是周期函数C．函数在上单调递增 D．函数有最小值11．已知，分别为椭圆的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，则下列结论正确的有（

）A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为2C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积的最大值为12．已知函数，则下列结论正确的有（

）A．当时，有2个零点B．当时，恒成立C．当时，是的极值点D．若是关于的方程的2个不等实数根，则三、填空题13．已知向量，，，若，则.14．已知函数的定义域为，当时，，且函数关于点对称，则满足的取值范围是.15．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是.423116．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于，两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为.四、解答题17．已知等差数列与正项等比数列，满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分）18．D为边上一点，满足，，记，．(1)当时，且，求CD的值；(2)若，求面积的最大值．19．如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，将沿着折起到位置，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)当平面平面时，求二面角的余弦值.20．学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：成绩/分频数40902004001508040(1)求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(2)假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？(3)该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.21．已知抛物线的焦点为.(1)求抛物线的准线方程；(2)若过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22．设函数.(1)若，求函数在上的最小值；(2)若对任意的，有，求的取值范围.

参考答案1．【答案】B【分析】解不等式求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.【详解】，解得或，所以，所以，，所以，所以.故选：B2．【答案】B【分析】利用复数除法运算化简，求得，进而确定的虚部.【详解】，所以，的虚部为.故选：B3．【答案】A【详解】由，则其定义域为，因为，故函数为偶函数，，，令，解得，可得下表：极小值极小值故选A.4．【答案】C【分析】根据等比数列的知识求得数列的首项和公比，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，且，，，，所以，即故选：C5．【答案】D【分析】根据线线、线面、和面面垂直、平行等知识确定正确选项.【详解】①，垂直于同一条直线的两条直线可能相交或异面，①错误.②，，根据平行的传递性、线线角的知识可知，②正确.③，如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面可能相交，③错误.④，根据面面垂直的性质定理可知：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，④正确.所以真命题的序号是②④.故选：D6．【答案】D【分析】先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长求得直线的方程与倾斜角，求得点、点的坐标，进而求得.【详解】抛物线，，焦点，准线.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在.设，由消去并化简得①，，设，则，则，，不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为.所以，①式为，即，解得，，，所以，则，所以.由于，所以.所以.故选：D7．【答案】B【解析】如图，设正三棱台ABC−A1B1C1的外接球球心为O，等边三角形ABC的外心为O1，等边三角形A1B1C1的外心为O2，连接O连接BO1,BO,B1O,B1O2，设三棱台ABC−A1B设等边三角形ABC的外接圆半径为r1，由正弦定理得r1=232sinπ3在Rt△BB1D中，BD=(42)2−(23−2)2=2(3+1)，所以O1O28．【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【详解】因为，所以,所以，即，所以，解得，当且仅当，解得或时等号成立，所以当时有最大值为9.故选D.9．【答案】BC【分析】根据不等式的性质可判断A,B,利用正弦定理可判断C,根据任意角的三角函数值以及终边相同的角可判断D.【详解】由可得到，时,由得，所以是的充分不必要条件,故A错误;B.因为，所以，则，由得，若，则无意义，即推不出，所以是的充分不必要条件，故B正确;C.根据正弦定理，所以是的充要条件，故C正确;D.根据，则，故，根据，得或，即或，故或所以是的充分不必要条件，故D错误.故选:BC.10．【答案】ABD【分析】根据奇函数和可得，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周期性即可判断D.【详解】A.由题意知，，则，有，所以函数图象关于直线对称，故A正确；B.由，得，所以4是函数的周期，故B正确；C.由选项B可知，为的周期函数，所以函数在上单调递增，即为函数在上单调递增.又函数在上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线对称，则函数在上单调递减，所以函数在上不单调，故C错误；D.由选项C的分析可知，在一个周期中，函数在上单调递增，在上单调递减，又为奇函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故D正确.故选：ABD11．【答案】ACD【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.【详解】因为，，所以，所以，故A正确;因为，所以，故B错误;设因为与椭圆交于，两点，所以，两式相减得，即，即，因为，所以，故C正确;设直线,由得,因为直线与圆相交,所以,解得,根据韦达定理得,点到直线的距离,所以,因为，当且仅当时，取最大值，故D正确.故选：ACD12．【答案】BCD【分析】对于A和B，由可得，令，利用导数得到的单调性和最值情况即可判断；对于C，将代入，利用导数得到的单调性即可判断；对于D，问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可【详解】对于A，令即，令，则，令，解得，故当，，单调递增；当，，单调递减；所以的最大值为，又因为当时，；当时，，故如图所示，当时，函数与有两个交点，此时有2个零点，故A错误；对于B，由A选项可得，当时，由，可整理得，即，故B正确；对于C，将代入得，所以，令，解得，故当，，单调递增；当，，单调递减；所以是的极大值点，故C正确；对于D，由即，因为是关于的方程的2个不等实数根，所以，即，所以等价于：有两个零点，证明，不妨令，由，要证，只需要证明，即只需证明：，只需证明：，即，令，只需证明：，令，则，即在上为增函数，又，所以．综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确，故选：BCD13．【答案】##【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】，故答案为：14．【答案】【分析】判断出是奇函数，结合函数的奇偶性、单调性化简不等式，从而求得正确答案.【详解】由于关于对称，则关于原点对称，为奇函数，当时，为增函数，所以在上单调递增，所以，解得，所以满足的取值范围.故答案为：15．【答案】【分析】根据条件概率的计算公式，计算出所求概率.【详解】设1号涂红色事件为，4号涂红色事件为，则.故答案为：16．【答案】【分析】由题意可得直线为，设，，代入双曲线并结合，在右支可得，可得，然后分，和三种情况进行讨论，即可求解【详解】由双曲线可得，故直线为，代入双曲线可得，即，设直线与双曲线的右支交于，，故，故即，所以，结合可得，不妨设在轴的下方，在轴的上方，设，，由双曲线定义可得，，①时，，即，故，因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，舍去；②时，，即，故，因为直线斜率为1，所以倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，解得，因为，，所以，此时满足题意；③时，此时直线垂直与轴，与题意矛盾，故舍去；综上所述，双曲线的离心率为，故答案为：17．【答案】(1)，(2)见解析【分析】（1）根据等差数列与等比数列的定义，由题意，建立方程组，可得答案；（2）若选①③，利用裂项相消法求和，若选②，利用错位相减法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，由已知得，则，解得，所以，；（2）选①，则有即.选②，则有，设数列的前项和为，，，两式相减，，解得.选③，则由，即.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）设CD长为x，可知，，再利用正切的二倍角公式可求解；（2）利用正弦定理得，，再利用三角形面积公式结合两角差的正弦公式及辅助角公式可得，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）设CD长为x，当时，，，则，因为，所以，即所以，得，所以，所以为（2）在中，，则，由正弦定理得，又，所以，，则的面积，又，所以因为，所以，所以当，即时，S有最大值又的面积等于，故的面积的最大值为19．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直判定定理，结合等边三角形的性质，可得答案；（2）由题意，根据面面垂直性质定理，建立空间直角坐标系，求的平面的法向量，利用向量夹角公式，可得答案.【详解】（1）连接，可得下图：由已知得三角形和三角形均为等边三角形因为是中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以平面平面；（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，由已知得，，，即，设平面的法向量，则，即，令，则，故平面的一个法向量，由图，易知为平面的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为.20．【答案】(1)82.15分(2)75.5分(3)分布列见解析，【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）结合正态分布的对称性求得市教育局预期的平均成绩.（3）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.【详解】（1）设这1000份试卷成绩的平均数为，则：分.（2）由（1）得，而，由于，即，所以市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；（3）由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在内，4份在内，的可能取值为0，1，2，则，，即的分布列为：012所以.21．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据抛物线的标准方程，结合准线方程，可得答案；（2）由题意，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据中垂线的性质，利用正切和角公式以及锐角正切函数的定义，建立等式，可得，直线斜率是否为零，两种情况进行讨论，可得答案.【详解】（1）由已知得，即抛物线的准线方程为；（2）由题意得，且斜率一定存在，设，设，，联立可得，消去可得，则，中点为，设，，则，即若存在满足题意的直线，则，即，所以，又因为，，即，当时，易知，，故不符合题意；当时，设，因为垂直平分，所以的斜率为，易知，因此有，因为为的中点，所以，由题意，即，，两边平方整理可得：，解得，故直线的方程为或.22．【答案】(1)0；(2)【分析】（1）对进行求导可得，令，对其求导可得，令，利用导数的知识