江苏省徐州市沛县第二中学2023-2024学年高三上学期期初测试数学试题

2023-2024学年江苏省徐州市沛县二中高三（上）期初数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若不等式|x﹣1|＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）2．（5分）若+2z＝3+i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为14米，则表高（即AC的长）约为（）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β5．（5分）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）A．36 B．24 C．18 D．426．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4，点M为直线l：x﹣y+8＝0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程为（）A．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2+（y﹣7）2＝4 C．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y﹣7）2＝27．（5分）若λsin160°+tan20°+cos70°＝，则实数λ的值为（）A．3 B． C．2 D．48．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知向量，若存在实数λ，μ，使得，则，可以是（）A．， B．， C．， D．，（多选）10．（5分）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2+a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则（）A．q＝2 B． C．S10＝2047 D．an+an+1＜an+2（多选）11．（5分）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则（）A． B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2 D．x+y＞4z（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若，则a3＝．14．（5分）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为＝80，方差为s2＝25．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2）（其中μ近似为平均数，σ2近似为方差s2，则估计获表彰的学生人数为．（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9973．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）16．（5分）已知函数则函数的零点个数为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝﹣1，其中＝（sin2x，2cosx），＝（，cosx）（x∈R）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝，b2＝ac，求的值．18．（12分）已知n2（n≥4）个正数排成n行n列，aij表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知a24＝1，，．（1）求公比q；（2）记第n行的数所成的等差数列的公差为dn，把d1，d2，…，dn所构成的数列记作数列{dn}，求数列{dn}的前n项和Sn．a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3n………………an1an2an3an4……ann19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点．（1）求证：B，E，D1，F四点共面；（2）是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由．20．（12分）已知双曲线的离心率是，实轴长是8．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，3）的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|•|DB|＝|PB|•|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．21．（12分）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．（1）扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0．①证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx，g（x）＝xex﹣（m+1）x﹣1（a，b，m∈R）．（1）当b＝1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在处的切线方程为y＝（e﹣1）x﹣2，且不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

2023-2024学年江苏省徐州市沛县二中高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若不等式|x﹣1|＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）【考点】充分条件与必要条件．【答案】D【分析】先解绝对值不等式，然后结合集合包含关系与充分必要条件的转化可建立关于a的不等式组，可求．【解答】解：若不等式|x﹣1|＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则a＞0，解|x﹣1|＜a可得1﹣a＜x＜a+1，所以，解得a≥1．故选：D．2．（5分）若+2z＝3+i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵+2z＝3+i，∴a﹣bi+2（a+bi）＝3a+bi＝3+i，即，解得a＝1，b＝1，故z＝1+i．故选：A．3．（5分）位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为14米，则表高（即AC的长）约为（）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米【考点】三角形中的几何计算．【答案】C【分析】解法一：先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC；解法二：画出图形，结合正切值求得CD，进而求解结论．【解答】解：解法一：由题可知：∠BAD＝79.5°﹣32.5°＝47°，设BD＝a＝14，在△BAD中，由正弦定理可知：＝，即＝，则AD＝，又在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin79.5°，所以AC＝＝a•＝a•＝a•＝a×＝9.45；解法二：设CD＝x，AC＝h，∠ADC＝α，∠ABC＝β，如图：则tanα＝＝，①tanβ＝＝，②，整理可得＝9，解得x＝，∴h＝x•tanα＝×＝9.45．故选：C．4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】根据空间线面位置关系进行证明或举反例说明．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m和n可能平行，也可能异面，也可能相交，故A错误；对于B，若α∩β＝l，m∥l，显然m∥α，m∥β，但α与β不平行，故B错误；对于C，若m∥n，m∥α，则α内存在直线l使得m∥l，∴n∥l，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故D错误．故选：C．5．（5分）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）A．36 B．24 C．18 D．42【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】A【分析】根据两个计数原理，排列组合数公式，按特殊优先的原则即可求解．【解答】解：先安排“冰壶”有＝6种排法，再安排其余两项有＝6种排法，故总的安排方法数为6×6＝36．故选：A．6．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4，点M为直线l：x﹣y+8＝0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程为（）A．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝4 B．（x﹣1）2+（y﹣7）2＝4 C．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y﹣7）2＝2【考点】圆的切线方程．【答案】D【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB周长最小时点M的坐标即可求解作答．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣6）2＝4的圆心C（2，6），半径r＝2，点C到直线的距离，依题意，CA⊥AM，四边形CAMB周长，当且仅当CM⊥l时取“＝”，此时直线CM：x+y﹣8＝0，由得点M（0，8），四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM中点（1，7），半径，方程为（x﹣1）2+（y﹣7）2＝2．故选：D．7．（5分）若λsin160°+tan20°+cos70°＝，则实数λ的值为（）A．3 B． C．2 D．4【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系，二倍角公式，和差角及辅助角公式进行化简即可求解．【解答】解：由λsin160°+tan20°+cos70°＝，得λsin20°++sin20°＝+sin20°＝+＝＝，所以（λ+1）sin40°+2sin20°＝2cos20°，即（λ+1）sin40°＝2cos20°﹣2sin20°＝4sin（60°﹣20°）＝4sin40°，所以λ+1＝4，解得λ＝3．故选：A．8．（5分）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【考点】三角函数线．【答案】A【分析】构造函数f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：设f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．综上：c＞b＞a，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知向量，若存在实数λ，μ，使得，则，可以是（）A．， B．， C．， D．，【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由题意可知向量不共线，然后根据向量共线定理对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：由题意可知向量不共线，A：，所以A错误，B：因为，所以B错误，C：由已知可得向量不共线，故C正确，D：因为，所以向量共线，D错误，故选：C．（多选）10．（5分）已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2+a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则（）A．q＝2 B． C．S10＝2047 D．an+an+1＜an+2【考点】等比数列的前n项和．【答案】ABD【分析】根据题意，由等比数列的通项公式以及前n项和公式依次分析4个选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q+2q2，变形可得q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1，又由{an}为正项等比数列，则q＝2，故选项A正确；对于B，，选项B正确；对于C，，所以S10＝2046，选项C错误；对于D，根据B的结论：an＝2n，则an+an+1＝2n+2n+1＝3×2n＝3an，而an+2＝2n+2＝4×2n＝4an＞3an，选项D正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝12z，则（）A． B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2 D．x+y＞4z【考点】指数式与对数式的互化．【答案】ABD【分析】化指数式为对数式，求得x，y，z，再由对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由于正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，设3x＝4y＝12z＝t，t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，对于A，∵＝＝logt3，同理＝logt4，＝logt12，∴+＝logt3+logt4＝logt12＝，故A正确，对于B，∵＝＝＜1，∴6z＜3x，∵＝＝＜1，∴3x＜4y，则6z＜3x＜4y，故B正确，对于C，∵xy﹣4z2＝log3t•log4t−4＝•﹣＝＞0，∴xy＞4z2，故C错误，对于D，∵x+y﹣4z＝log3t+log4t﹣4log12t＝+﹣＝lgt（+﹣）＝lgt•＞0，∴x+y＞4z，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°【考点】抛物线的性质．【答案】ACD【分析】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得B点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：如图，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若，则a3＝﹣120．【考点】二项式定理．【答案】﹣120．【分析】求出多项式的展开式中含x3的项，由此即可求解．【解答】解：由题意展开式中含x3的项为C＝﹣120x3，所以a3＝﹣120，故答案为：﹣120．14．（5分）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为＝80，方差为s2＝25．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2）（其中μ近似为平均数，σ2近似为方差s2，则估计获表彰的学生人数为27．（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9973．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】27．【分析】根据题意得到μ＝80，σ＝5，μ+2σ＝90，结合3σ原则和正态分布的对称性求出P（X＞90）＝0.02275，求出获得表彰的学生人数．【解答】解：由题意得：μ＝80，σ＝5，μ+2σ＝90，故，所以1200×0.02275≈27．故答案为：27．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是②．（写出所有正确结论的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【答案】见试题解答内容【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，若①成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若②成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故②成立；若③成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的．【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意不妨令，AB＝1，BC＝，AE＝CF＝，BE＝EF＝FD＝，①，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除①；②，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故②正确；③，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除③；故答案为：②16．（5分）已知函数则函数的零点个数为5．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】5．【分析】令t＝f（x），先利用图象判断f（t）＝2t+零点（设为t1，t2）的个数与范围，然后再借助于y＝t1和y＝t2分别与y＝f（t）图象交点的个数判断即可．【解答】解：令t＝f（x），则函数＝0可化为f（t）＝2t+，作出函数y＝f（t）（图中曲线对应的图象部分）与y＝2t+的图象，可见y＝f（t）与图象有两个交点，它们的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）上，不妨设t1∈（0，1），t2∈（1，2），再令f（t）＝ti，易知y＝t1，与y＝t2的图象与y＝f（t）的图象分别有2个和3个交点，所以原函数共有5个零点．故答案为：5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝﹣1，其中＝（sin2x，2cosx），＝（，cosx）（x∈R）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝，b2＝ac，求的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【答案】（1）[k]，k∈Z；（2）．【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算可得f（x）＝2sin（2x+），令2k≤2x+，然后求函数的单调增区间即可；（2）由三角恒等变换，结合两角和的正弦公式求解即可．【解答】解：（1）f（x）＝﹣1＝＝＝2sin（2x+），令2k≤2x+，得k，即f（x）的单调增区间为[k]，k∈Z；（2）由f（）＝，得sin（）＝，又，则，所以B＝，因为b2＝ac，所以sin2B＝sinAsinC，所以＝＝＝＝＝，即的值为．18．（12分）已知n2（n≥4）个正数排成n行n列，aij表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知a24＝1，，．（1）求公比q；（2）记第n行的数所成的等差数列的公差为dn，把d1，d2，…，dn所构成的数列记作数列{dn}，求数列{dn}的前n项和Sn．a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3n………………an1an2an3an4……ann【考点】数列的求和．【答案】（1）q＝；（2）Sn＝＝1﹣2﹣n．【分析】（1）由等差数列、等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得数列{dn}是以为首项，为公比的等比数列，再求和即可．【解答】解：（1）由，，则第4行的数所成的等差数列的公差为d4＝a43﹣a42＝，则＝，则q2＝，又q＞0，则q＝；（2）由（1）得：，则a，an2＝，则dn＝an2﹣an1＝，则数列{dn}是以为首项，为公比的等比数列，则数列{dn}的前n项和Sn＝＝1﹣2﹣n．19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点．（1）求证：B，E，D1，F四点共面；（2）是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直；平面的基本性质及推论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG＝．【分析】（1）连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME，根据E为AA1的中点，F为BB1的中点，分别得到D1E∥MC1，BF∥MC1，从而BF∥D1E，由此能证明B，E，D1，F四点共面．（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）证明：如图所示，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME，∵E为AA1的中点，∴EM∥A1B1∥C1D1，∵EM＝A1B1＝C1D1，∴四边形EMC1D1是平行四边形，∴D1E∥MC1，∵F为BB1的中点，∴BM∥C1F，且BM＝C1F，∴四边形BMC1F是平行四边形，∴BF∥MC1，∴BF∥D1E，∴B，E，D1，F四点共面．（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，假设存在满足条件的点G，G（0，0，t），由已知B（1，1，0），E（1，0，1），F（0，1，1），则＝（﹣1，1，0），＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，t﹣1），设平面BEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设平面GEF的一个法向量＝（a，b，c），则，取a＝t﹣1，得＝（t﹣1，t﹣1，1），∵平面GEF⊥平面BEF，∴＝t﹣1+t﹣1+1＝0，解得t＝，∴存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF，DG＝．20．（12分）已知双曲线的离心率是，实轴长是8．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，3）的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|•|DB|＝|PB|•|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的标准方程；双曲线的性质．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为．【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可．【解答】解：（1）依题意得，，解得，解所以双曲线C的方程是．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），直线l的方程为y＝kx+3．将直线方程y＝kx+3代入双曲线方程，化简整理得（1﹣4k2）x2﹣24kx﹣52＝0，Δ＝（﹣24k）2+4×（1﹣4k2）×52＝208﹣256k2，则，．要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足即解得．由|PA|⋅|DB|＝|PB|⋅|DA|，得，故，所以．又，所以点D的纵坐标为定值．21．（12分）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．（1）扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0．①证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较