名校小升初数学试卷（四）及答案解析

第1页（共1页）名校小升初数学试卷（四）一、计算题（每题2分，共32分）1．（32分）计算题。（1）2.5×1.25×0.32（2）8.31×91﹣73.1×9.1（3）2024×20252025﹣2025×20242024（4）103×107﹣91×99（5）[4（6）8.25×35+（7）（0.75+18）÷（（8）7（9）5+（10）3.142+68.6×1.314（11）1997×19961996﹣1996×19971997（12）1−(（13）0.0125×315（14）12x（15）3（16）80%×17−13.6+[二、填空题（每题3分，共15分）2．（3分）老师准备将考前资料发给A、B、C，A拿了全部的一半还多2本；B拿了剩下的一半还多2本；再剩下的资料，C拿了一半又多3本，最后老师还剩下2本。老师原来有本资料。3．（3分）蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管。单开甲管需10小时灌满水池，单开乙管需12小时灌满水池，单开排水管需20小时排空水池。上午9点三个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到上午12点灌满水池的一半。那么排水管是上午点关闭的。4．（3分）小明和爷爷聊天，小明说：“您和爸爸的年龄差恰好是我年龄的3倍。”爷爷笑笑说：“你们父子俩的年龄加起来还跟我差18岁呢！”那么小明今年岁。5．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BC＝8，点P、Q都在BC上，满足BP＝CQ＝2。作点Q关于AC的对称点M，联结AM、PM，PM与AC交于点D。则PD：DM＝。6．（3分）如果一个五位数abcde满足a＝1，1≤b≤2，1≤c≤3，1≤d≤4，1≤e≤5这样的五位数称为“鸿志数”，在一个“鸿志数”中，如果有一个数码比其左右两个数码都大（显然a、e不符合要求），那么这个数码称为“超级码”。我们用f（abcde）（称为“超级码数量”）表示“鸿志数”abcde中的“超级码”个数。比如f（12131）＝2、f（11141）＝1、f（12345）＝0。那么所有“鸿志数”的“超级码数量”之和为。三、解答题（每题5分，共35分）7．（5分）甲、乙、丙三人郊游，甲带了4个汉堡，乙带了2个汉堡和4根香肠，丙带了5根香肠，午餐时三人平分了这些食物。算账时丙付给甲6元，付给乙3元。那么汉堡和香肠的单价是多少元？8．（6分）已知A、B、C、D、E、F六位同学参加数学竞赛，其中有两人得了满分，但不知是哪两个人，在同学们的猜测中，有下列五种说法：（1）B和C；（2）A和F；（3）A和E；（4）B和F；（5）B和D。其中有四种猜对了一半，一种全猜错了，那么是哪两个人得了满分？9．（6分）一项工程由乙单独完成需要35天，如果甲做第一天，乙做第二天，这样交替做，恰好整天天数完成。如果乙做第一天，甲做第二天，这样交替做，恰好比上次轮流的方法多用半天完成，求甲单独完成这项工程需要多少天？10．（6分）某物流公司有甲、乙两种型号的托运车，已知甲型车和乙型车的托运量的比是6：5，托运的速度是3：4.该公司曾用6辆甲型车和8辆乙型车将一批货物运到距离40千米的目的地，8天刚好运完，根据经验，现要将同样多的货物运到85千米的目的地，要求8.5天运完，该公司已安排了16辆乙型车，问：还需要安排多少辆甲型车？11．（6分）一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，其中有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，F分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过。那么吴同学读过几本书？书F被小组中的几位同学读过？12．（6分）如图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，AE：EB＝1：4，平行四边形ABCD的面积是1，三角形BHC的面积是18，求三角形ADG四、综合运用（第1题4分，第2题6分，第3题8分，共18分）13．（4分）若正整数x＜y＜z，且k为整数，1x+1y+1z=k，则（14．（6分）用n种不同颜色为广告牌着色（如图所示），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色，若为图着色时共有120种不同方法，求n。15．（8分）将图1的一些格子涂成黑色，然后将所有剩下的白色格子连成一个回路（这个回路不能交叉），整个过程需要满足下面的条件。（1）黑色格子之间不能有公共边（也就是说，两个黑色格子不会相邻）。（2）回路不会经过已经画出的那些灰色格子。（3）灰色格子中的数字以及方向表示从这个灰色格子开始，这个方向上黑色格子的数量，对于图1中标出的A、B、C、D，请算出其所指向的行或列中回路部分的最长的一段所占的白色格子数量。比如图1中，A所指向的是第三行，根据图2答案，最长的一段占4个白色格子，那么A＝4；B所指向的是第一列，根据图2答案，最长的一段占7个白色格子，那么B＝7；以此类推，C＝2，D＝3。根据上面的例子，将图3完成后（不一定要画在图中），求四位数ABCD的值。

名校小升初数学试卷（三）答案解析一、计算题（每题2分，共32分）1．（32分）计算题。（1）2.5×1.25×0.32（2）8.31×91﹣73.1×9.1（3）2024×20252025﹣2025×20242024（4）103×107﹣91×99（5）[4（6）8.25×35+（7）（0.75+18）÷（（8）7（9）5+（10）3.142+68.6×1.314（11）1997×19961996﹣1996×19971997（12）1−(（13）0.0125×315（14）12x（15）3（16）80%×17−13.6+[【考点】运算定律与简便运算；百分数方程求解；小数的巧算；分数的巧算；四则混合运算中的巧算；繁分数的化简．【专题】运算能力．【答案】（1）1；（2）91；（3）0；（4）2012；（5）19.75；（6）12；（7）158；（8）74；（9）91920；（10）100；（11）0；（12）1256；（13）209225【分析】（1）根据乘法交换律和结合律进行计算；（2）（3）（4）（6）（10）（11）根据乘法分配律进行计算；（5）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，再算中括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法；（7）先算加减法，再算除法；（8）先算减法，再算乘法，最后算除法；（9）（12）根据分数的拆项公式进行计算；（13）根据乘法交换律和结合律、加法结合律进行计算；（14）先算4×25%＝1，根据等式的性质，方程两边先同时加1，再同时除以12（15）分母：先算除法，再算加法，最后算乘法；分子：先算减法，再算乘法，最后算除法，再约分即可；（16）先算小括号里面的减法，再算乘法，再按照从左向右的顺序进行计算。【解答】解：（1）2.5×1.25×0.32＝2.5×1.25×（0.4×0.8）＝（2.5×0.4）×（1.25×0.8）＝1×1＝1（2）8.31×91﹣73.1×9.1＝8.31×91﹣7.31×91＝（8.31﹣7.31）×91＝1×91＝91（3）2024×20252025﹣2025×20242024＝2024×2025×10001﹣2025×2024×10001＝（2024×2025﹣2025×2024）×10001＝0×10001＝0（4）103×107﹣91×99＝（100+3）×107﹣91×（100﹣1）＝100×107+3×107﹣91×100+91×1＝10700+321﹣9100+91＝（10700﹣9100）+（321+91）＝1600+412＝2012（5）[4＝[459−3.04÷3＝[459−1＝[359＝4718＝19.75（6）8.25×35+＝8.25×0.6+10.75×0.6+0.6＝（8.25+10.75+1）×0.6＝20×0.6＝12（7）（0.75+18）÷（=7=15（8）7=716÷=7=7（9）5+＝5+5×（11×2＝5+5×（1−1＝5+5×（1−1＝5+5×1﹣5×＝5+5−＝919（10）3.142+68.6×1.314＝3.14×3.14+6.86×13.14＝3.14×3.14+6.86×（10+3.14）＝3.14×3.14+6.86×10+6.86×3.14＝3.14×（3.14+6.86）+6.86×10＝3.14×10+6.86×10＝（3.14+6.86）×10＝10×10＝100（11）1997×19961996﹣1996×19971997＝1997×1996×10001﹣1996×1997×10001＝（1997×1996﹣1996×1997）×10001＝0×10001＝0（12）1−(＝1﹣（1−1＝1﹣（1−1＝1﹣1+=1（13）0.0125×315＝0.0125×3.2+17×＝0.0125×（8×0.4）+12.5×4＝（0.0125×8）×0.4+12.5×（415＝0.1×0.4+12.5×＝0.04+=209（14）12x12x12x12x12x÷1x＝4.5（15）3=3=201=201=67（16）80%×17−13.6+[＝80%×17﹣13.6+[110＝13.6﹣13.6+0.425+22＝0+0.425+22＝22.425【点评】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算；还考查了解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立。二、填空题（每题3分，共15分）2．（3分）老师准备将考前资料发给A、B、C，A拿了全部的一半还多2本；B拿了剩下的一半还多2本；再剩下的资料，C拿了一半又多3本，最后老师还剩下2本。老师原来有52本资料。【考点】逆推问题．【专题】应用意识．【答案】52。【分析】先根据C拿取资料后老师剩余的资料数量，求出C拿取资料前剩余的资料数量；再根据B拿取资料后剩余的资料数量，求出B拿取资料前剩余的资料数量；最后根据A拿取资料后剩余的资料数量，求出老师原来有的资料数量。【解答】解：[（2+3）×2+2]×2＝[5×2+2]×2＝12×2＝24（本）（24+2）×2＝26×2＝52（本）答：老师原来有52本资料。故答案为：52。【点评】本题考查逆向思维和分数的应用，解题的关键在于从后往前逐步推算，根据已知条件中每次拿取资料的数量关系，通过剩余资料的数量反推原来资料的总数。3．（3分）蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管。单开甲管需10小时灌满水池，单开乙管需12小时灌满水池，单开排水管需20小时排空水池。上午9点三个管同时打开，中间排水管因故关闭，结果到上午12点灌满水池的一半。那么排水管是上午10点关闭的。【考点】工程问题．【专题】工程问题；应用意识．【答案】10。【分析】从上午9点到上午12点共3个小时，根据工作效率×工作时间＝工作量，求出两个进水管3小时的工作量，再求出比12【解答】解：（110=11=11（1120−=1＝1（小时）9点+1小时＝10点答：排水管是上午10点关闭的。故答案为：10。【点评】本题考查工程问题，掌握工作总量、工作效率、工作时间之间的关系，明确两个进水管3小时的工作量比124．（3分）小明和爷爷聊天，小明说：“您和爸爸的年龄差恰好是我年龄的3倍。”爷爷笑笑说：“你们父子俩的年龄加起来还跟我差18岁呢！”那么小明今年9岁。【考点】年龄问题．【专题】综合题；数据分析观念．【答案】9。【分析】爷爷年龄﹣爸爸年龄＝小明年龄×3，爸爸年龄+小明年龄+18＝爷爷年龄，则爸爸年龄+小明年龄+18﹣爸爸年龄＝小明年龄×3，由此计算小明年龄。【解答】解：18÷（3﹣1）＝18÷2＝9（岁）答：小明今年9岁。故答案为：9。【点评】本题考查的是年龄问题的应用，解决本题的关键是找出爸爸年龄+小明年龄+18﹣爸爸年龄＝小明年龄×3。5．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BC＝8，点P、Q都在BC上，满足BP＝CQ＝2。作点Q关于AC的对称点M，联结AM、PM，PM与AC交于点D。则PD：DM＝3：1。【考点】三角形面积与底的正比关系．【专题】综合题；几何直观．【答案】3：1。【分析】因为△ABC为等边三角形，则AB＝AC，∠B＝∠C＝60°，已知BP＝CQ，所以△ABP≡△ACQ，则∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，因为点Q关于AC的对称点M，所以∠CAQ＝∠CAM，AQ＝AM，则∠PAM＝∠PAC+∠CAM＝∠PAC+∠BAP＝60°，所以△APM是等边三角形，根据外角和定理可知：∠PDC＝60°+∠PAC，∠BPA＝∠PAC+60°，所以∠PDC＝∠BPA，因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，则AP：PD＝AB：CP＝8：（8﹣2）＝4：3，因为AP＝PM，PM＝PD+DM，由此计算PD：DM。【解答】解：因为△ABC为等边三角形，则AB＝AC，∠B＝∠C＝60°，已知BP＝CQ，所以△ABP≡△ACQ，则∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，因为点Q关于AC的对称点M，所以∠CAQ＝∠CAM，AQ＝AM，则∠PAM＝∠PAC+∠CAM＝∠PAC+∠BAP＝60°，所以△APM是等边三角形，∠PDC＝60°+∠PAC，∠BPA＝∠PAC+60°，所以∠PDC＝∠BPA，因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，则AP：PD＝AB：CP＝8：（8﹣2）＝4：3，因为AP＝PM，PM＝PD+DM，PD：DM＝3：1故答案为：3：1。【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解决本题的关键是通过对称和等边三角形构造相似三角形。6．（3分）如果一个五位数abcde满足a＝1，1≤b≤2，1≤c≤3，1≤d≤4，1≤e≤5这样的五位数称为“鸿志数”，在一个“鸿志数”中，如果有一个数码比其左右两个数码都大（显然a、e不符合要求），那么这个数码称为“超级码”。我们用f（abcde）（称为“超级码数量”）表示“鸿志数”abcde中的“超级码”个数。比如f（12131）＝2、f（11141）＝1、f（12345）＝0。那么所有“鸿志数”的“超级码数量”之和为73。【考点】数字问题．【专题】综合题；数据分析观念．【答案】73。【分析】计算“超级码”存在于b的数量，“超级码”存在于c的数量，“超级码”存在于d的数量，由此解答本题。【解答】解：“超级码”存在于b的数量：4×5＝20（钟）“超级码”存在于c的数量：c为2或3，有：5+20＝25（钟）“超级码”存在于d的数量，d为2或3或4，有：2+8+18＝28（种）20+25+28＝73答：所有“鸿志数”的“超级码数量”之和是73。故答案为：73。【点评】本题考查的是数字问题的应用，本题通过分类讨论去解答。三、解答题（每题5分，共35分）7．（5分）甲、乙、丙三人郊游，甲带了4个汉堡，乙带了2个汉堡和4根香肠，丙带了5根香肠，午餐时三人平分了这些食物。算账时丙付给甲6元，付给乙3元。那么汉堡和香肠的单价是多少元？【考点】代换问题．【专题】综合题；数据分析观念．【答案】汉堡单价是7.5元，香肠单价是3元。【分析】每人分得汉堡[（4+2）÷3]个，香肠[（4+5）÷3]根，付给乙3元，由此计算香肠的单价，再计算汉堡的单价。【解答】解：每人分得汉堡：（4+2）÷3＝2（个）香肠：（4+5）÷3＝3（根）乙拿出一根香肠，香肠单价：3÷1＝3（元），2个汉堡比3根香肠贵6元，z鹅汉堡单价：（6+3×3）÷2＝15÷2＝7.5（元）答：汉堡单价是7.5元，香肠单价是3元。【点评】本题考查的是代换问题的应用。8．（6分）已知A、B、C、D、E、F六位同学参加数学竞赛，其中有两人得了满分，但不知是哪两个人，在同学们的猜测中，有下列五种说法：（1）B和C；（2）A和F；（3）A和E；（4）B和F；（5）B和D。其中有四种猜对了一半，一种全猜错了，那么是哪两个人得了满分？【考点】逻辑推理．【专题】推理能力．【答案】B、E。【分析】从出现最多得B入手，假设B是满分者，然后验证其它说法是否各猜对一半且无矛盾，从而确定满分得两人。【解答】解：（1）B和C；（2）A和F；（3）A和E；（4）B和F；（5）B和D。5种答案中B出现次数最多，则假设B得满分，所以（1）、（4）、（5）各猜对一条，所以C、D、F不是满分者。剩余（2）、（3），若A是满分者，则（2）、（3）均猜对一半，此时结果为5人均猜对一半，与题目不符，所以E是满分者，则（3）猜对一半，（2）全错，此时为（1）、（3）、（4）、（5）各对一半，（2）全错，符合题意，所以B、E得了满分。答：B、E得了满分。【点评】此题属于逻辑推理题，做此类题的关键是根据题意找出突破点，然后根据逻辑关系进行分析，推理得出答案。9．（6分）一项工程由乙单独完成需要35天，如果甲做第一天，乙做第二天，这样交替做，恰好整天天数完成。如果乙做第一天，甲做第二天，这样交替做，恰好比上次轮流的方法多用半天完成，求甲单独完成这项工程需要多少天？【考点】工程问题．【专题】应用意识．【答案】17.5天。【分析】把甲先做记为第一次，乙先做记为第二次，那么首先第一次肯定是甲结束最后一天的工作，恰好整天天数完成；而第二次的最后半天也是甲做的，不然也不会比上次轮流的方法多用半天完成；直到甲结束最后一部分前面的工作量都是一样的，所以不必管，也就是说乙花了一天的时间做了甲半天的工作，所以甲的效率是乙的2倍。因此甲单独完成这项工程需要的时间是乙单独完成需要时间的12【解答】解：35×1答：甲单独完成这项工程需要17.5天。【点评】此题属于比较复杂的工程问题，是分数应用题的引申与补充，考查目的是培养学生抽象逻辑思维能力。10．（6分）某物流公司有甲、乙两种型号的托运车，已知甲型车和乙型车的托运量的比是6：5，托运的速度是3：4.该公司曾用6辆甲型车和8辆乙型车将一批货物运到距离40千米的目的地，8天刚好运完，根据经验，现要将同样多的货物运到85千米的目的地，要求8.5天运完，该公司已安排了16辆乙型车，问：还需要安排多少辆甲型车？【考点】分数和百分数应用题（多重条件）．【专题】压轴题；应用意识．【答案】12辆。【分析】由题意知，甲乙两种车型的工作效率比为（6×3）：（5×4）＝9：10，如果全改用乙型车运这一批货物运到距离40千米的目的地，8天刚好运完，则需要：6×910+8＝13.4（辆）乙型车。现在运同样多货物到85千米的目的地，用8.5天，工作量为之前的（85【解答】解：（6×3）：（5×4）＝9：106×9854013.4×2＝26.8（辆）（26.8﹣16）÷9答：还需要安排12辆甲型车。【点评】解答此题的关键是将甲乙两种车的总工作量用一种车的工作量来表示。11．（6分）一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，其中有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，F分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过。那么吴同学读过几本书？书F被小组中的几位同学读过？【考点】逻辑推理．【专题】推理能力．【答案】1本，6位。【分析】根据题干可得：如果设吴同学读过x本书，全部同学读的书数是：2+2+4+3+5+x＝16+x本，而书A，B，C，D，E分别被小组中的l，4，2，2，2位同学读过，说明书A，B，C，D，F被读过的次数之和是：1+4+2+2+2＝11次，由此即可得出数E被读过的次数，从而得出吴同学读的本数，那么F书被读过的次数是：16+x﹣11＝5+x次，由此即可得出吴同学只读了1本书。【解答】解：设吴同学读过x本书，则F书被读过的次数是：2+2+4+3+5+x﹣（1+4+2+2+2）＝5+x（次）根据题干共有6个同学，每人至少读过其中的一本书，所以F书被读过的次数是6次，即小组中每一位同学都读过：6﹣5＝1（本）所以吴同学只读了1本书。答：吴同学读了1本数，书F被小组中的6位同学读过。【点评】设出吴同学读书的本数，从而得出小组中全部同学读书的本数之和与书A、B、C、D、E分别被读过的次数是展开此题推理的关键。12．（6分）如图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，AE：EB＝1：4，平行四边形ABCD的面积是1，三角形BHC的面积是18，求三角形ADG【考点】三角形的周长和面积．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah＝1．AE=a5，BE=4a51．计算F点在CD上的位置：S△BEH＝BE×h÷2﹣S△BCH，45a×=11h1＝2×S△BEH÷BE（h1为△BEH之BE边上的高），＝2×1140=55S△CFH＝CF×（h﹣h1）÷2，＝CF×h÷2﹣S△BCH，所以CF×（1a−5580a）÷2＝CFCF×25160a=CF×55CF=4aDF＝DC﹣CF=7a2．计算△ADG的面积：S△ADG＝S△ADE﹣S△AEG，＝AE×h÷2﹣AE×h2÷2，（h2为△AEG之AE边上的高）=a5×1a=110S△ADG＝S△ADF﹣S△DFG，＝DF×h÷2﹣DF×（h﹣h2）÷2，＝（DF×h2）÷2，=7a11×=7a22×（2）代入（1）可得：7a22×h2=170a220×h2=22h2=22S△ADG=7a22×=7a=7答：△ADG的面积是792【点评】此题难度较大，关键是得出平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．四、综合运用（第1题4分，第2题6分，第3题8分，共18分）13．（4分）若正整数x＜y＜z，且k为整数，1x+1y+1z=k，则（【考点】分数的拆项．【专题】计算题；运算能力．【答案】125。【分析】三个分数都是分数单位，和是整数，可以从最大的两个分数单位12、13，和最小是1尝试确定x、y、【解答】解：121z=1所以x＝2、y＝3、z＝6，所以（x+y）y＝（2+3）3＝125。故答案为：125。【点评】本题考查了分数的拆分方法的灵活运用。14．（6分）用n种不同颜色为广告牌着色（如图所示），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色，若为图着色时共有120种不同方法，求n。【考点】排列组合．【专题】应用意识．【答案】5。【分析】对广告牌的四个区域依次着色，每个区域的着色方法数受相邻区域颜色的限制，通过分步确定每个区域的着色方法数，再根据分步乘法计数原理得到总的着色方法数，从而建立关于n的方程求解。根据图示可以①、②、③、④四个区域中彼此相邻，即先给任何一块区域着色都可以。【解答】解：为区域①着色：因为有n种不同颜色，所以为区域①着色有n种方法，为区域②着色：由于区域②与区域①相邻，不能用同一种颜色，此时区域②有（n﹣1）种方法，为区域③着色：区域③与区域①和区域②都相邻，所以区域③有（n﹣2）种方法，为区域④着色：区域④与区域①、区域②和区域③都相邻，所以区域④有（n﹣3）种方法，根据分步乘法计数原理，总的着色方法数为：n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）。已知着色共有120种不同方法，则可得方程：n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）＝120通过试值法可得：n＝5答：n的值是5。【点评】本题考查了染色问题的应用。15．（8分）将图1的一些格子涂成黑色，然后将所有剩下的白色格子连成一个回路（这个回路不能交叉），整个过程需要满足下面的条件。（1）黑色格子之间不能有公共边（也就是说，两个黑色格子不会相邻）。（2）回路不会经过已经画出的那些灰色格子。（3）灰色格子中的数字以及方向表示从这个灰色格子开始，这个方向上黑色格子的数量，对于图1中标出的A、B、C、D，请算出其所指向的行或列中回路部分的最长的一段所占的白色格子数量。比如图1中，A所指向的是第三行，根据图2答案，最长的一段占4个白色格子，那么A＝4；B所指向的是第一列，根据图2答案，最长的一段占7个白色格子，那么B＝7；以此类推，C＝2，D＝3。根据上面的例子，将图3完成后（不一定要画在图中），求四位数ABCD的值。【考点】染色问题．【专题】应用意识．【答案】5322。【分析】当回路不畅通时，可以围绕黑格来做文章，题意除了灰色格子中的数字以及方向表示从这个灰色格子开始，这个方向上黑色格子的数量，对黑格有要求以及黑格不相邻外，其他地方并没有对黑格作出要求，故在回路不畅通的情况下，可以利用添加黑格来处理回路，据此解答。【解答】解：构造如下图所示：则A＝5，B＝3，C＝2，D＝2。所以四位数ABCD=答：四位数ABCD的值是5322。【点评】本题考查了构造型问题的应用，充分理解构造规则，尤其是黑格的利用，是解答本题的关键。

考点卡片1．运算定律与简便运算【知识点归纳】1、加法运算：①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）2、乘法运算：①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc＝（a+b）×c3、除法运算：①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n）（n≠0b≠0）4、减法运算：减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）【命题方向】常考题型：例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（）A、交换律B、结合律C、分配律分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b）c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．解：根据乘法分配律的概念可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．故选：C．点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（）A、乘法交换律B、乘法结合律C、乘法交换律和乘法结合律分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．故选：C．点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．2．百分数方程求解【知识点归纳】把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。解方程的步骤（1）去分母。当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。（2）去括号。在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。（3）移项。通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。（4）合并同类项。对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。（5）系数化为1.合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。【命题方向】常考题型：解方程。5x×30%＝153.6x+120%x＝96100%x+2/3＝7/6130%x﹣0.8×4＝3.3答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。3．三角形的周长和面积【知识点归纳】三角形的周长等于三边长度之和．三角形面积＝底×高÷2．【命题方向】常考题型：例1：4个完全相同的正方形拼成一个长方形．（如图）图中阴影三角形的面积的大小是A、甲＞乙＞丙B、乙＞甲＞丙C、丙＞甲＞乙D、甲＝乙＝丙分析：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，所以图中阴影三角形的面积都相等．解：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，所以图中阴影三角形的面积都相等．故选：D．点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等．例2：在如图的梯形中，阴影部分的面积是24平方分米，求梯形的面积．分析：由图形可知，阴影部分三角形的高与梯形的高相等，已知三角形的面积和底求出三角形的高，再根据梯形的面积公式s＝（a+b）h÷2，计算梯形的面积即可．解：24×2÷8＝48÷8＝6（分米）；（8+10）×6÷2＝18×6÷2＝54（平方分米）；答：梯形的面积是54平方分米．点评：此题解答根据是求出三角形的高（梯形的高），再根据梯形的面积公式解答即可．4．小数的巧算【知识点归纳】知识点：（1）灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反向移动相同的位数，其积不变；两数相除，两数中的小数点同向移动相同的位数，其商不变．（2）补数：如果两数的和恰好能凑成10，100，1000，…，那么，就把其中一个数叫做另一个数的补数，且这两个数互为补数．例如：8和2互为补数，27.3和72.7互为补数．（3）某些特殊小数相乘化整，8×0.125＝1；4×0.25＝1；【命题方向】常考题型：例1：796.75﹣4.72﹣96.75﹣5.28＝690．分析：利用加法交换律和减法的性质进行简算，把原式变为（796.75﹣96.75）﹣（4.72+5.28），计算即可．解：796.75﹣4.72﹣96.75﹣5.28，＝（796.75﹣96.75）﹣（4.72+5.28），＝700﹣10，＝690．点评：关于巧算的题目，数字都有一定的特点，所以要注意审题，从数字特点出发，巧妙灵活地应用运算性质、定律得以简算．经典题型：例2：计算：0.125×0.25×0.5×64＝1．分析：根据算式，因0.125、0.25、0.5分别和8、4、2相乘可以得到整十数，所以可把64改写成8×4×2，然后在依据乘法交换律交换因数的位置，然后在进行计算即可得到答案．解：0.125×0.25×0.5×64＝0.125×0.25×0.5×（8×4×2），＝（0.125×8）（0.25×4）×（0.5×2），＝1×1×1，＝1．故答案为：1．点评：解答此题的关键是将64改写成8×4×2，然后在依据乘法交换律交换因数的位置，进行计算即可得到答案．【解题方法点拨】小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能转化为整数．在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂．常见方法（技巧）：（1）交换、结合、分配等运算律；（2）加括号或去括号；（3）凑整；（4）找基准数；（5）拆数、（6）分组、（7）等差数列公式，平方差公式等方法．5．分数的巧算【知识点归纳】分数运算符合的定律．（1）乘法交换律a×b＝b×a（2）乘法结合律a×（b×c）＝（a×b）×c（3）乘法分配律a×（b+c）＝a×b+a×c；a×（b﹣c）＝a×b﹣a×c（4）逆用乘法分配律a×b+a×c＝a×（b+c）；a×b﹣a×c＝a×（b﹣c）（5）互为倒数的两个数乘积为1．除法的几个重要法则（1）商不变性质被除数和除数乘以（或除以）同一个非零的数，商不变，即a÷b＝（a×n）÷（b×n）（n≠0）a÷b＝（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）（2）当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数；反之也成立（也可称为除法分配律）．如：（a±b）÷c＝a÷c±b÷c；a÷c±b÷c＝（a±b）÷c．【命题方向】常考题型：例1：（1+12）×（1−12）×（1+13）×（1−13）×…×（1分析：此题如果按部就班地进行计算，计算量可想而知，所以要寻求巧算的方法，此题可利用乘法结合律进行简算．解：（1+12）×（1−12）×（1+13）×（1＝[（1+12）×（1+13）×…×（1+199）]×[（1＝[32×4=100=50故答案为：5099点评：此题考查了学生乘法结合律的知识，以及巧算的能力．例2：32×5A、720B、920C、209分析：通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差3，分子都是3，于是可把每个分数都可以拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相抵消的方法，求得结果．解：32×5＝（12−15）+（15−18）+（=1=9故选：B．点评：解答此题，应注意观察分数的特点，根据特点，对分数进行拆分，达到简算的目的．【题方法点拨】分数巧算就是熟能生巧的过程，综合运用乘法分配律，分数化小数，小数化分数以及带分数化假分数、带分数拆分等方法达到巧算的目的．1、把同分母的分数凑成整数．a．先去括号；b．利用交换律把同分母分数凑在一起；c．利用减法性质把同分母分数凑在一起．2、分数乘法中，利用乘法交换律，交换数的位置，以达到约分的目的；利用乘法结合律，以达到约分的目的，从而简算．3、分数混合运算中有除法，先将除法转化为乘法，然后再利用乘法的分配律的方法来计算以达到凑整的目的．4、懂得拆分．6．四则混合运算中的巧算【知识点归纳】1．运用运算定律．2．商不变的性质：两个数相除，被除数和除数同时扩大（或缩小相同的倍数）商不变．利用这个性质也可以进行一些简便计算．3．从一个数里连续减去几个数，可以先把所有的减数加在一起，再一次减去．4．加数（减数）接近整十、整百、整千、…的可以把这个加数（减数）先看作整十、整百、整千的数进行计算，然后按照“多加要减，少加要加，多减要加，少减要减”的原则进行调整．【命题方向】常考题型：例1：99999×77778+33333×66666＝9999900000．分析：根据算式可将666666改写成3×22222，然后用乘法结合律计算3×33333等于99999，再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．解：99999×77778+33333×66666，＝99999×77778+33333×（3×22222），＝99999×77778+（33333×3）×22222，＝99999×77778+99999×22222，＝99999×（77778+22222），＝99999×100000，＝9999900000；故答案为：9999900000．点评：此题主要考查的是乘法结合律和乘法分配律再整数计算中的运算．易错题型：例2：已知从12+22+…+102＝385，那么1×2+2×3+…+10×11＝440．分析：先把1×2+2×3+…+10×11进行拆项，变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），然后把从12+22+…+102＝385代入，计算即可．解：1×2+2×3+…+10×11＝1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1）＝（12+22+…+102）+（1+2+3+…+10）＝385+（1+10）×5＝440故答案为：440．点评：把1×2+2×3+…+10×11转化为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），是解答此题的关键．【解题方法点拨】在加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算．在乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”，要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某数组合到一起，使复杂的计算过程简单化．7．繁分数的化简【知识点归纳】繁分数的定义：如分数形式，分子或分母含有分数，或分子与分母都含有分数的数，叫繁分数．把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简．【命题方向】常考题型：例1：12+13+1分析：根据繁分数的化简方法先化简14+15=5解：12+故答案为：68157点评：考查了繁分数的化简．繁分数的化简方法：1、可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式；2、利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数后化为最简分数．一般情况下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数．易错题型：例2：计算718A、12B、1C、112分析：分别化简分数的分子与分母，求出繁分式的结果后，就比较好计算了．解：7=7=7=23=23=1故选：A．点评：对于这类分数，分子与分母同时计算，一步步进行．【解题方法点拨】繁分数化简的基本方法：1、可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式．2、利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数后化为最简分数．一般情况下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数．繁分数化简一般采用以下两种方法：（1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后结果．（2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数．化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简．繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简．8．数字问题【知识点归纳】1．数字问题的主要题型：数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少．2．核心知识（1）数字的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等．（2）数字的排列与位数关系解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．【命题方向】常考题型：例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（）个5．A、213B、187C、133D、80分析：先求出400里面有几个3，就是1﹣400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1﹣400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可．解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）；1到400中能被5整除有：400÷5＝80（个）；1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80﹣26＝187（个）；故选：B．点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．例2：自然数12321，90009，41014…有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有400个．分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10＝400个．解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10＝400个．答：具有这种“特征”的五位偶数有400个．故答案为：400．点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．9．分数的拆项【知识点归纳】（1）分母为两个相邻自然数时：1（2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：an(n+a)=1n−1n+a【命题方向】经典题型：例1：122−1+分析：根据平方差公式：原式=1解：12=1=1=1=50故答案为：50101点评：解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算．10．分数和百分数应用题（多重条件）【知识点归纳】下列五种基本类型的解题方法：1．求：一个数的百分之几是多少？方法：单位1×对应分率＝比较量2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．方法：比较量÷对应分率＝单位1；或设这个数（单位1）为X，用方程解．3．条件中有“比多（少）百分之几（几分之几）”，求：标准量（单位1）或比较量？方法：（1）单位1±单位1×n%＝比较量（2）单位1×（1±n%）＝比较量（3）比较量÷（1±n%）＝单位1找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．4．求：“比多（少）百分之几（几分之几）”？方法：相差数÷单位15．“是（占、相当于）的百分之几（几分之几）”方法：比较量÷单位1（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．【命题方向】常考题型：例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了13，乙、丙合修2天完成了余下工程的1分析：要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1−13−（1−13）×14]÷5=110，乙、丙合修2天修好余下的1解：甲分得的钱为：18000×{[1−13−（1−13）×＝18000×{[1−13−＝18000×{110＝3300（元）；丙分得的钱为：18000×{[1−13−（1−13＝18000×{[1−13−＝18000×{110＝18000×2＝5600（元）；乙分得的钱为：18000﹣3300﹣5600＝9100（元）．答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．点评：此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率＝工作量÷工作时间．11．工程问题【知识点归纳】工程问题公式（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；工作总量÷工时＝工效；工作总量÷工效＝工时．（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．【命题方向】经典题型：例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．解：120÷（9﹣5）×（9+5）＝120÷4×14＝420（个）答：这批零件共有420个．点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为18，甲单独12天完成，甲的工作效率为112，那么乙的工作效率18−112=124．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x解：18设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：18x+12418x+114xx＝4．4+4×3＝4+12，＝16（天）．答：这个工程实际工期为16天．点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．12．年龄问题【知识点归纳】年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键．解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差﹣小年龄几年前年龄＝小年龄﹣大小年龄差÷倍数差．【命题方向】常考题型：例1：儿子今年6岁，父亲10年前的年龄等于儿子20年后的年龄．当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是在公元哪一年？分析：根据题意，可知儿子20年后是6+20＝26岁，父亲今年26+10＝36岁．根据年龄增长是一样的，找出等量关系列出方程解答即可．解：儿子20年后是6+20＝26岁，父亲今年26+10＝36岁．设x年后，父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍．由题意得36+x＝2（x+6）36+x＝2x+12x＝24由今年是公元2011年，则2011+24＝2035，故当父亲的年龄恰好是儿子年龄的2倍时是公元2035年．点评：本题主要是考查年龄问题，首先要把题意弄清，再根据等量关系列出方程解答即可．13．逆推问题【知识点归纳】1．逆推问题内容：逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算．2．解题方法：（1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义．（2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义．【命题方向】常考题型：例1：一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下2米．原来绳长12米．分析：根据题干分析可得，这根绳子的一半就是4+2＝6米，据此再乘2就是绳子的长度．解：（4+2）×2＝12（米）；答：这根绳子原来长12米．故答案为：12．点评：解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．经典题型：例2：老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋15个．分析：根据最后篮内的鸡蛋个数是0，那第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×（0+12），第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（0+1解：第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+1第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+12）＝2第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+12）＝2原有鸡蛋的个数是：2×（7+12）＝2答：篮中原有鸡蛋15个，故答案为：15．点评：解答此题的关键是，根据题意，运用逆推的方法，求出每次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，由此即可得出答案．【解题方法点拨】解题思路：①从结果出发，逐步向前一步一步推理．②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算．③列式时注意运算顺序，正确使用括号．14．代换问题【知识点归纳】1．代换问题内容：“等量代换”是解决数学问题的一种常用方法．即两个相等的量，可以互相代换．等量代换的思想用等式的性质来体现，就是等式的传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c．这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是进一步学习数学的基础．2．代换主要方法：（1）列表消元法（2）等价条件代换．【命题方向】常考题型：例1：如果数A减去数B的3倍，差是51；数A加上数B的2倍，和是111，那么数A＝87，数B＝12．分析：依题意A﹣3B＝51，A+2B＝111，然后用第二个算式减去第一个，就变成只含有B的方程，由此解决问题．解：A﹣3B＝51，①A+2B＝111，②由②﹣①可得：5B＝60，解得B＝12，A＝51+12×3＝87．故答案为：87，12．点评：这类问题的关键是：把其中的一个未知数消去，变成只含有一个未知数的方程．例2：假如20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换600只兔子．分析：先用兔子的数量代换出1只羊的数量，再代换出1头猪的数量，从而找出1头牛和兔子数之间的关系，进而求出5头牛的数量．解：20只兔子＝2只羊，那么：1只羊＝10只兔子，9只羊＝3头猪，那么：9×10只兔子＝3头猪，90只兔子＝3头猪，即30只兔子＝1头猪，8头猪＝2头牛，那么：8×30只兔子＝2头牛，240只兔子＝2头牛，即：120只兔子＝1头牛，那么5头牛就是：120×5＝600（只）；故答案为：600．点评：把羊和猪的数量看成中间量，都用兔子的数量代替，找到兔子和牛之间的关系，再求解．15．三角形面积与底的正比关系【知识点归纳】三角形的面积：s=11．当底相同时：S1：S2＝a：b；2．当两个三角形相似时：S1：S2＝（a：b）2．【命题方向】常考题型：例1：已知S△DOC＝15平方厘米，BO=23分析：由BO=23BD推出OD=12OB，S△BCO＝2S△DOC，算出△DBC＝45平方厘米，由AD∥BC推出AD=12解：设梯形的高为h，它也是△DBC的高，因为OB=23BD，BD＝BO+所以BO＝2OD，又因为在△AOD和△DBC里，AD∥BC，BO＝2OD，所以AD=1因为△DOC与△BOC等高，BO＝2OD，S△DOC＝15平方厘米，所以S△BOC＝2△DOC＝2×15＝30（平方厘米），因为S△DBC＝S△DO