西昌学院机械基础课件05轴向拉伸和压缩、剪切

轴向拉伸和压缩、剪切第五章返回§5-1直杆的轴向拉伸和压缩§5-2轴力和轴力图§5-3横截面上的应力

许用应力§5-5变形和应变§5-6压杆稳定概念§5-4材料的力学性质§5-7剪切和挤压的实用计算钢压杆§5-1直杆的轴向拉伸和压缩实例1实例2杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短轴向拉伸和压缩变形的受力特征作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。变形特征其计算简图即如图所示。杆的两端各受一对集中力P

作用，两个P大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。PPPPab

称为轴向拉伸，杆发生纵向伸长。ab称为轴向压缩杆发生纵向缩短。一，截面法求轴力截面法是求内力的一般方法截面法设一等直杆在两端轴向拉力P的作用下处于平衡，欲求杆件

横截面mm上的内力§5-2轴力（内力）和轴力图mmPP在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分。截开代替取一部分作为研究对象（如左部分）。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。合力为NmmPN平衡对研究对象列平衡方程N=P式中：N为杆件任一横截面

m—m上的内力。与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。称为轴力。mmPPmmPNN若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与左侧上的轴力数值相等而指向相反mmPPmmPNmPmN轴力符号的规定a若轴力的指向背离截面，则规定为正号，称为拉力。b若轴力的指向指向截面，则规定为负号，称为压力。mmPPmmPNmPm++二，轴力图用平行于杆轴线的坐标

表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为

轴力图

。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。xN例题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN解：求支座反力RCABDE40KN55KN25KN20KNCABD600300500400E40KN55KN25KN20KN20KNCABDE40KN55KN25KNR用力的作用点将杆分段该杆分为：AB，BC，CD，DE，四段。分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。求AB段内的轴力N1-R=0N1=R=+10KN20KNCABDE40KN55KN25KNR1RN1(+)求BC段内的轴力RR40KNN2CABDE40KN55KN25KNR2CABDE40KN55KN25KN20KNR3N3求CD段内的轴力20KN25KN求DE段内的轴力20KNN4CABDE40KN55KN25KN20KNR4N1=10KN（拉力）N2=50KN（拉力）N3=-5KN（压力）N4=20KN（拉力）Nmax=50KN发生在BC段内任一横截面上1050520++CABD600300500400E40KN55KN25KN20KN注意

计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，则轴力的实际符号与其计算符号一致（设正法）

§5-3横截面上的应力

许用应力研究应力的方法

：（1）实验（2）观察现象（3）通过观察到的现象得出结论（4）通过结论推导出应力公式

取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵向线和与轴线垂直的横向线在两端施加一对轴向拉力P实验

所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与纵向线垂直。PP观察现象PP

（1）各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。结论（2）平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。实验由结论可知，在横截面上作用着均匀分布的正应力。P

N推导公式式中，N

为轴力，A

为杆的横截面面积。

的符号与正应力N

的符号相同当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力，当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力，

等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面上。该截面称为

危险截面

。危险截面上的正应力称为

最大工作应力

。二、许用应力

强度条件

对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一限度材料就要破坏。应力可能达到的这一限度称为材料极限应力

lim

。杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力[]

。式中n>1,称为安全系数强度条件：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力

强度计算的三类问题（1）强度校核（2）设计截面（3）确定许可核载Pmax例题1例题2补充内容例题1：简易起重设备中，AC杆由两根80

80

7等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成。材料为Q235钢，许用应力[]=170MPa。求许可荷载[P]。ABCP1mPAxy解：取结点A为研究对象，受力分析如图所示。ABCP1m结点A的平衡方程为由型钢表查得PAxy得到：许可轴力为N1=2PN2=1.732P各杆的许可荷载许可荷载[P]=184.6kN补充内容例题2例题2：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力P=25KN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度，并求：（1）结构的许可荷载[P]；（2）若P=50KN，设计CD杆的直径。2aaPABDC解：求CD杆受力2aaPABDCNCDPACB（1）结构的许可荷载[P]；[P]=33.5KN2aaPABDCNCDPACB（2）若P=50KN，设计CD杆的直径。d=24.4mm取d=25mm2aaPABDCNCDPACB斜切面Pkk

P

求与横截面成

角的任一斜截面k—k上的应力假想地用一平面沿斜截面k—k将杆截为二，取左段为研究对象

斜截面上的正应力

剪应力

全应力Pkkxn

Pkk

P

Pkkxn

p

为斜截面K—K上的全应力

为斜截面K—K的外法线n

与轴线的夹角

符号的规定自x转向n：逆时针时

为正号顺时针时

为负号Pkk

P

A

为斜截面的面积A为横截面的面积故有为横截面上的正应力Pkkxn

沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的剪应力

Pkk

PPkkxn

将总应力p

分解为两个分量：Pkk

PPkkxn

符号的规定：正应力拉伸为正压缩为负剪应力：对研究对象任一点取矩。顺时针为正逆时针为负

Pkk

PPkkxn

拉压杆最大正应力发生在横截面上。且在此截面上剪应力为零。(1)当

=0

时，

max=

Pkk

PPkkxn

=45时，(2)数值上最大的剪应力发生在与轴线成

450

的斜截面上

=-45时，Pkk

PPkkxn

(3)=900时即，在平行于杆件轴线的纵向截面上无任合应力。§5—4材料的力学性质力学性质，是指材料在外力作用下在强度与变形方面表现出来的性能弹性变形：将荷载完全卸除后，变形能完全消失。塑性变形：变形不能完全消失，遗留的变形工程中将处于常温下的材料，根据变形后所发生的塑性变形的大小分为两类：塑性材料及脆性材料。d一，低碳钢拉伸试验先在试样中间等直部分上划两条横线，这一段杆称为标距l。l=10d或l=5d设备主要有两类，一类称为万能试验机。另一类设备是用来测试变形的变形仪。1，试验方法l标距

l

PO拉伸图(P—

l

图)2，低碳钢拉伸时的力学性质1

l

PO试样的变形完全是弹性的。此阶段内的直线段材料满足弹性阶段(1)材料是线弹性的1

l

PO2屈服阶段或流动阶段(2)试样的荷载基本不变而试样却不断伸长。1

l

PO23强化阶段(3)在强化阶段试样的变形主要是塑性变形。在此阶段可以较明显地看到整个试样的横向尺寸在缩小。1

l

PO234局部变形阶段(4)试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩现象。一直到试样被拉断。几个概念卸载定律：若到强化阶段的某一点停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。C1

l

PO234料预拉到强化阶段然后卸载当再次加载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。冷作硬化：在常温下把材

lC

是试样的弹性变形

lS

是试样的塑性变形C1

l

PO2340A点是应力与应变成正比的最高限。A

应力应变曲线比例极限0ABB点是弹性阶段的最高点。弹性极限DD点为屈服低限屈服极限0ABD强度极限G点是强化阶段的最高点G

试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由l变为l1，横截面积原为A，断口处的最小横截面积为A1。断面收缩率：延伸率：

和

均较高的材料，称作塑性材料。许用应力[

]：极限应力：我们把材料的两个强度指标

s

和

b

称作极限应力或危险应力，并用

u表示。

二，安全系数和许用应力n

安全系数脆性材料塑性材料§5-5

变形和应变一、虎克定律实验表明工程上大多数材料都有一个弹性（直线）阶段，在此范围内轴向拉，压杆件的伸长或缩短量

l

，与轴力N和杆长l成正比,与横截面面积A

成反比。式中E称为弹性模量，EA成为抗拉（压）刚度。E通过实验测定。查表5－1（教材P55页）上式改写为表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为纵线应变

虎克定律：在弹性范围，正应力与线应变成正比。二，泊松比当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。PPbh设横向线应变为

1，则

1

与

h，b符号相同；与纵向线应变

的符号相反。横向线应变与纵向线应变之间的关系

称为泊松比或横向变形系数例题1例题2例题1：图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成

=300的角度，长度均为l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为E=210GPa。设在点处悬挂一重物P=100kN，试求A点的位移

A。ABC12

APxy

解：列平衡方程，求杆的轴力ABC12

两杆的变形为（伸长）ABC12

A12BC

变形的几何条件相容是：变形后，两杆仍应铰结在一起。。ABC12

A12BC

以两杆伸长后的长度

BA1

和

CA2为半径作圆弧相交于A

，即为A点的新位置。AA

就是A点的位移。A12BC

1A2

A1A12BC

1A2

A1因变形很小，故可过A1，A2分别做两杆的垂线，相交于A

可认为所以A12BC

1A2

A1注意变形图中杆件的伸长（缩短）与轴力一定要对应。例题2例题2：图示为一变截面圆杆ABCD。已知P1=20KN，P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图(2)杆的最大正应力

max(3)AD杆的变形P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR解：求支座反力R=20－35－35＝－50KNP1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR(1)1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图。P1N1-N1+P1=0N1=20KN（+）P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR-N2+P1-P2=0N2=-15KN（-）P2P1N2P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRN3-R=0N3=R=-50KN（-）RN3P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDRN2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）15+-2050P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR(2)杆的最大正应力

maxAB段：DC段：N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）BC段：P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDR

max=176.8MPa发生在AB段。N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）N2=-15KN（-）N1=20KN（+）N3=-50KN（-）(3)AD杆的变形P1P2P3111111111111l1l2l3ABCDAB段：BC段：CD段：P1P2P3111111111111l1l2l3ABCD例题3：薄壁筒(其壁厚t远小于圆筒中径d0，通常t≤d0/20，故不考虑内径d和d0的区别）受均匀分布的作用，dtp直径平面假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象。pyONNRNNyORltp

NNyORltp

沿圆周切线方向称为环向应力或周向应力ltp

沿圆周切线方向的应变，即环向应变是圆周的总伸长直径改变量为一、静定与超静定问题拉、压超静定问题静定问题:杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。超静定问题:只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。超静定的次数:未知力数超过独立平衡方程数的数目,

称作超静定的次数。变形几何相容条件（举例以后讲解）二、超静定问题求解方法三，一般超静定问题举例

例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图所示。计算约束反力。

PblBACRByPBRAAC这是一次超静定问题。平衡方程为PblBACBAC相容条件是：杆的总长度不变=RByPBRAACPblBAC变形几何方程为：BAC=RByPBRAACPblBAC补充方程为平衡方程为BAC=RByPBRAACPblBAC画受力图列静力平衡方程画变形几何关系图列变形几何关系方程建立补充方程解联立方程求出全部约束反力强度计算工程实例：桥梁桁架结点的铆钉（或高强度螺栓）在构件连接处起连接作用的部分，如铆钉，螺栓，键等，统称为连接件。§5—7剪切与挤压的实用计算(a)P铆钉的受力图如图b所示。(b)mmnn键的受力如图b所示。机械中的轴与齿轮间的键连接键钢结构中的焊缝连接1铆钉在m—m和n—n截面被剪断铆钉和钢板在接触面上因挤压使连接松动2钢板在受铆钉孔削弱的截面处被拉断3(a)(b)PnnmmdabcPP受力特征：受一对大小相等，指向相反，作用线相距佷近的横向外力的作用。abPcdPmm剪切面一.剪切的近似计算变形特征：横截面沿外力作用方向发生错动。

双剪切实例mmPPQ=PmmP剪切面QmmPP剪切面上有剪力QmmPP假设受剪面上各点的剪应力相等，则受剪面上的剪应力称为名义剪应力。mmP剪切面QmmPP式中，Q为受剪面上的剪力AS

为受剪面的面积。mmPPmmP剪切面Q剪切的强度条件为[]

为材料的许用剪应力。且极限剪应力安全系数mmPPmmP剪切面Q[]由手册查得，对钢制件，[]＝(0.6~0.8)[]PPCBADd例题：图示的销钉连接中,构件A

通过安全销C

将力偶矩传递到构件B,已知荷载P=2kN,加力臂长l=1.2m,构件B的直徑D=65mm,销钉的极限剪应力

u=200MPa。求安全销所需的直径d。DoQQPPCBADd解:取构件B

和安全销为研究对象DoQQPPCBADdDoQQPPCBADd剪断条件为螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，

称为挤压。二、挤压的实用计算PPPP在接触面上的压力，称为挤压力，并记为Pbs

。挤压面受剪面（1）螺栓压扁（2）钢板在孔缘压皱挤压破坏的两种形式在挤压近似计算中，假设名义挤压应力的计算式为AbS

为计算挤压面的面积PbS

为接触面上的挤压力dh