西昌学院机械基础课件07弯曲变形

弯曲变形（一）第七

章§7-1平面弯曲的概念及计算简图§7-2

梁的内力·弯矩图§7-3

弯曲时的正应力和强度计算内容提要I.弯曲的概念7-1平面弯曲的概念及梁的计算简图

梁：以弯曲变形为主的杆件。弯曲变形外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。受力特征：变形特征：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面平面弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。或更确切地称为对称弯曲。AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，

但外力并不作用在纵向对称面内这种弯

曲称为非对称弯曲。II.梁的计算简图RH（1）固定端

在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁1。支座的简化RHR（2）固定铰支座(3)可动铰支座2，工程中常用到的静定梁悬臂梁外伸梁简支梁(3)几种超静定梁(例题1)(例题2)lABCqP例1:计算悬臂梁的支反力。PqBAlC解:

求梁的支反力RA和mR

。由平衡方程得：PqBAlC解得：(例题2)例2：计算图所示多跨静定梁的支反力1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB再将副梁CB

的两个支反力

XC

，YC

反向，并分别加在主梁AC

的C

点处，求出AC

的支反力。分析：先将中间铰C

拆开，并通过平衡方程求出副梁CB

的支反力。CM=5KN.mDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNM=5KN.mAECDKB解：（1）研究CB梁，由平衡方程CM=5KN.mDKBP=50KNAEC（2）研究AC梁，由平衡方程

１、Q和M的定义与计算§7—2梁的内力·弯矩图aPABmmx一、梁的剪力和弯矩Q用截面法假想地在

横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx由平衡方程得可得Q=RAQ

称为剪力QxxmAmyCaPABmmx可得M=RAx由平衡方程QxxmAmyCM此内力偶称为

弯矩aPABmmxQMBmmP取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。xxmAmyCMQdxmmQQ+剪力符号使dx

微段有

左端向上而右端向下的相对错动时，横截面m-m上的剪力为正。或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。2,Ｑ和M的正负号的规定使dx

微段有

左端向下而右端向上

的相对错动时，横截面m-m上的剪力为负

。或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负。dxmmQQ-mm+_当dx

微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉

）时，横截面m-m上的弯矩为正；弯矩符号（受拉）MMmm（受压）MM当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时，横截面m-m上的弯矩为为负。例题3例题4BdEDAabclCF例题3：为图示梁的计算简图。已知P1、P2，且P2>P1

，

尺寸a、b、c和l亦均为已知。试求梁在E、F点

处横截面处的剪力和弯矩。解:BdEDAabclCF解得：BdEDAabclCF记E截面处的剪力为

QE

和弯矩

ME，且假设

QE和弯矩ME

的指向和转向均为

正值。AECBdEDAabclCF解得++BdEDAabclCFAECAECa-cb-ccDl-cBE取右段为研究对象BdEDAabclCF解得：++AECa-cb-ccDl-cBEFdB

计算F点横截面处的剪力

QF和弯矩

MF

。BdEDabclCF-+FdBBdEDabclCF解得：例题4

例题4：图示简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷载集度为q0。试计算梁在C点处横截面上的剪力和弯矩lABCa解：求梁的支反力RA

和RBlABCa由平衡方程得：解得：CaA此合力距C点的距离为a/3

在C点处梁上的荷载集度为该梁段上分布荷载的合力为lABCa列出平衡方程CaAlABCa解得当时QC为正MC恒为正CaAlABCa横截面上的

剪力

在数值上等于此横截面的左侧或右侧

梁段上外力的代数和。左侧

梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法剪力符号：左上得正，下得负；右下得正，上得负

横截面上的弯矩

在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。

不论在截面的左侧或右侧,向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩例题5例题6例题7弯矩符号：力上得正，下得负；偶左顺正，逆为负；偶右逆正，顺为负例题5

：轴的计算简图如图所示，已知P1=

P2=P=60kN

，a=230mm

，b=100mm

和c=1000mm

。求C

、D点处横截面上的剪力和弯矩ACDBbac

解：ACDBbac计算C

横截面上的剪力

QC

和弯矩MC

。看左侧ACDBbac计算D

横截面上的剪力QD

和弯矩MD。看左侧ACDBbac例题6例题71m2.5m10KN.mABC12解：例题6：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩C12左侧1m2.5m10KN.mABC12求1截面的内力：12C右侧左侧1m2.5m10KN.mABC12求2截面的内力：例题7例题7：求指定截面上的内力

QA左，QA右，QD左，QD右

，MD左，

MD右，

QB左，QB右。m=3KN.m2m2m4mCADBRARB解：RA=14.5KN，RB=3.5KNm=3KN.m2m2m4mCADBRARB看左侧看右侧m=3KN.m2m2m4mCADBRARB看右侧看左侧看右侧看左侧m=3KN.m2m2m4mCADBRARB

二、剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图Q=Q(x)M=M（x）剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。即：弯矩图为正值画在x

轴上侧，负值画在x

轴下侧剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x

轴上侧，负值画在x

轴下侧绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。xQ(x)Q图的坐标系oM图的坐标系xM(x)o例题8例题11例题10例题9APBl例题8：图a所示的悬臂梁在自由端受集中荷载P作用,

试作此梁的剪力图和弯矩图。x解：将坐标原点取在梁的左端，

写出梁的剪力方程和弯矩方程

：APBlQxPPlxMxAPBl例题9例题10例题11解：求两个支反力ABl

例题9

：

图示的简支梁在全梁上受集度为q的均布荷载作用试作此梁的的剪力图和弯矩图。

q取距左端为x的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。xABlqX=0处，X=l

处，+ABlqx剪力图为一倾斜直线。弯矩图为一条二次抛物线。x=l,M=0xABlq令得驻点：xABlq弯矩的极值：+x=l,M=0xABlq

梁在跨中点截面上的弯矩值为最大但此截面上Q=0

两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大+xABlq+例题10例题11解：梁的支反力为例题10

：图示简支梁在C点处受集中荷载

P作用。试作此梁的

剪力图和弯矩图lPABcab因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪方程力方程和弯矩方程lPABcab将坐标原点取在梁的左端AC段：CB段：xxlPABcab由（1），（3）两式可知，AC，CB两段梁的剪力图各是一条平行于

x轴的直线。+lPABcab由（2），（4）式可知，AC，CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线+lPABcab在集中荷载作用处的左，右两侧截面上剪力值（图）有突变

。突变

值等于集中荷载P。弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大

，+lPABcab+例题11例题11:图示简支梁在C点处受矩

为m的集中力偶作用。

试作此梁的的剪力图和弯矩图解：求支座反力BlACabm将坐标原点取在梁的左端。因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程;BlACabmAC段：(2)CB段：（3）xxAC

段和

BC段的弯矩方程不同BlACabm由（1）式可见，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。梁的任一横截面上的剪力为由此绘出梁的剪力图+BlACabmx=0，M=0x=a，AC段：(2)AC，CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。（3）BlACabmCB段：x=a，x=l，M=0(2)（3）BlACabm绘出梁的弯矩图x=0，M=0x=a，AC段：CB段：x=a，x=l，M=0+BlACabm梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图）发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化++BlACabm以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图的几条规律取梁的左端点为座标原点，x轴向右为正；剪力图,弯矩图均为向上为正

梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Q=0

的截面处。例题12例题13ACBDqm2m2m4m例题12：已知q=3KN/m,m=3KN.m列内力方程并画内力图。解：RA=14.5KNRB=3.5KNQ(x)=-qx=-3x(0

x

2)CA:(0

x<2)ACBDqm2m2m4mxxAD:(2<x

6)(2

x<6)ACBDqm2m2m4mxxDB:(6

x<8)(6<x

8)xACBDqm2m2m4mx8.5+--63.5x=4.83由得14.5-3x=0x=4.83为弯矩的极值点CA:Q(x)=-qx=-3x(0

x<2)AD:(2<x

6)DB:(6

x<8)ACBDqm2m2m4mx=4.83为弯矩的极值点CA:Q(x)=-qx=-3x(0

x<2)AD:(2<x

6)DB:(6

x<8)8.5+--63.5x=4.83ACBDqm2m2m4m画弯矩图(0

x

2)(2

x<6)(6<x

8)466.047+-ACBDqm2m2m4mx=4.83例题13例题13：画内力图ABCRARB2aaqm=qa2解：ABCRARB2aaqm=qa2xAC:ABCRARB2aaqm=qa2xCB:ABCRARB2aaqm=qa2+-x令Q(x)=0得弯矩的极值点ABCRARB2aaqm=qa2xAC：抛物线ABCRARB2aaqm=qa2xCB：斜直线（

）+§7-3梁的内力、弯矩图

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩

M

，又有剪力

Q

。mmQM一、引言（纯弯曲）只有与正应力有关的法向内力元素

dN=

dA

才能合成弯矩只有与剪应力有关的切向内力元素dQ=

dA

才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有剪应力mmQmmM

PPaaCD

简支梁CD

段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是

纯弯曲

。++PP+Pa若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量

，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。AB

二、

纯弯曲时梁横截面上的正应力在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时，要综合考虑

几何，物理

和

静力学

三方面

。取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩，其值等于外力偶m。（1）试验梁在加力前先在其侧面上画两条相邻的横向线mm

和nn,并在两横向线间靠近顶面和底面处分别划将条纵向线aa

和bb。aabbmmnnmmmmmmnn侧面上的两纵向线aa

，bb

弯成弧线（2）梁变形后，观察到的现象横向线mm,nn

仍为直线，但相对转了一个角度且与弯曲后的

aa

，bb垂直。aabbaabbmmnn靠近底面的纵线bb

伸长，而靠近顶面的纵线aa

缩短

mmmmnnaabbaabbmmnn平面假设

：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕其上的某一轴

旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。（3）结论C用两个横截面从梁中假想地截取长为dx

的一段。（4）推导公式由平面假设可知，在梁弯曲时这两个横截面将相对地旋转一个角度d

。变形的几何关系Cdx横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段（如O1O2）无长度改变。此层称为中性层

。Cdx中性层与横截面的交线称为中性轴

。中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层中性轴横截面横截面的对称轴Cdx将梁的轴线取为x

轴，横截面的对称轴取为

y

轴，中性轴取为

z

轴。OxyZCdx作O2B1与O1A平行在横截面上取距中性轴为y

处的纵向线

AB。

为中性层上的纵向线段O1O2

变弯后的曲率半径ABy

CdxAB1为变形前AB

的长度B1B

为AB1的伸长量

AB1ABy

CdxB1B

=

AB1

为A点的纵向线应变。为中性层上纵向线段的长度O1O2=dxABy

Cdx中性层的曲率为因为

是个非负的量，于是ABy

Cdx（a）OyZxyABy

Cdx该式说明，

和y

成正比,，而与z无关。变

ABy

Cdx物理方面横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态材料在弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等由单轴应力状态下的

胡克定律可得物理关系假设：

=E（b）上式为横截面上正应力变化规律的表达式（b）xOyZ上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离

y

成正比；在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。y以及中性轴的位置？中性轴MyZOxM静力学方面在横截面上法向内力元素

dA

构成了空间平行力系。dAZyyZ根据梁上只有外力偶m这一条件可知，上式中的

N

和My均等于零，

而MZ就是横截面上的弯矩M。OxMdAZy中性轴过形心且与横截面的对称轴y垂直中性轴必通过横截面的形心yyCZCZ中性轴yyCZCZ中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。M拉压M拉压因为y是对称轴，所以该式自动满足中性轴是截面的形心主轴EIZ称为抗弯刚度M

横截面上的弯矩该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式y

求应力的点到中性轴的距离式中：横截面对中性轴的惯性矩Iz（7－1）惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为（7－3）讨论

应用公式时，一般将

M，y

以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断

的正，负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（

为正号）。凹入边的应力为压应力，（

为负号）。最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处当中性轴为对称轴时，ymax

表示最大应力点到中性轴的距离，横截面上的最大正应力为yZCWZ称为抗弯截面模量（7－4）（7－5）M梁横截面上最大正应力的计算公式为矩形截面梁横截面上正应力分部图如图所示（7－6）矩形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数yhbzdyz常见简单形状截面的惯性矩见教材表7－1zy应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式对于中性轴不是对称轴的横截面求得相应的最大正应力M拉边压边zyM拉边压边当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩

又有

剪力。梁在此种情况下的弯曲称为

横力弯曲。三、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广梁的正应力强度条件.纯弯曲理论的推广横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力

，又有剪应力

。剪应力使横截面发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力纯弯曲时所作的

平面假设

和

各纵向线段间互不挤压的假设都不成立。但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时横截面上的最大正应力公式为BACP10mz12.556021166a5m例题：图示简支梁由

56a工字钢制成，其横截面见图p=

150kN。求RARB(1)梁上的最大正应力

max(2)同一截面上翼缘与腹板交界处a

点的应力查型钢表，56a工字钢解：C

截面为危险截面。

最大弯矩+375KN.m(1)梁的最大正应力+375KN.m(2)a点的正应力a点到中性轴的距离为所以a点的正应力为z12.556021166aII梁的正应力强度条件等直梁的最大正应力发生在

最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处。该处的剪应力都等于零，纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，看作

单轴应力状态

。梁的正应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力

max

不得超过材料的许用弯曲正应力[]

即还可将上式写为可对梁按正应力进行强度校核选择梁的截面确定梁的许可荷载对于铸铁等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴

一般也不是对称轴，所以梁的要求分别不超过材料的

许用拉应力

和

许用压应力

。例题14例题15例题16例题17例题14:跨长l=2m

的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉，压许用应力分别为试根据截面合理的要求：最为AB1m2mP=80KN确定T字形截面梁横截面的一个尺寸

校核梁的强度220y解：要使截面最合理，必须使同一截面的60280zoz已知220y60280zoz220y60280zoz220y60280zoz以上边缘为参考边12220y60280z12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的强度12220y60280z220y60280zoz220y60280zoz例题15:一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，b=2m，Iz

=5493104mm4

，铸铁的许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

C]=90MPa。试求梁的许可荷载[P]。bCbDAPbB-+CB解：弯矩图如图所示。最大负弯矩在B

截面上，最大正弯矩在C

上。bCbDAPbBy202013486120180z40Cy1y2梁的截面图如图所示，中性轴到上，下边缘的距离分别为C截面-+CBy202013486120180z40Cy1y2C截面的强度条件由最的拉应力控制。-+CBy202013486120180z40Cy1y2B截面-+CBy202013486120180z40Cy1y2-+CBy202013486120180z40Cy1y2取其中较小者，得该梁的许可荷载为-+CBy202013486120180z40Cy1y210m2.5m75KN75KN75KN2.5m2.5mAB例题16:

图示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力[]=152MPa，试选择工字钢的号码。解：由弯矩图可知，梁的最大弯矩为+37528128110m2.5m75KN75KN75KN2.5m2.5mABRARBRA=RB=112.5KN梁所必需的抗弯截面系数为由型钢表查得56b

号工字钢的+37528128110m2.5m75KN75KN75KN2.5m2.5mABRARB此值小于所必需的但也不到

1%

，故可选用

56b

号工字钢。但不到

1%

，采用此工字钢时最大正应力80y1y22020120z例题17：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为[

t]=30MPa,抗压许用应力为[

C]=160MPa

。已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm.校核梁的强度。

P1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1mRARB80y1y22020120z解：P1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m80y1y22020120z最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上+-2.5KN4KNCBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1mB截面{80y1y22020120z+-2.5KN4KNCBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1mC截面80y1y22020120z+-2.5KN4KNCBP1=9KNP2=4KNAcBD1m1m1m作业P110页7－1、弯曲变形(2)第七章§7—6

用叠加法求弯曲变形

梁的刚度条件*

§7—9

梁的刚度校核

提高梁刚度的措施*§7—8

简单超静定梁的解法*§

7—5

用积分法求弯曲变形§7—4

梁的变形内容提要§

7—7

组合变形和叠加原理作业一，基本概念取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，

xy平面为纵向对称平面

§7--4

梁的变形BxyACyABx

挠度（

y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'CyABxC'y挠度转角（

）：横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的

转角。转角

挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。CyABxC'y挠度转角

挠曲线挠度与转角的关系：CyABxC'y挠度转角

挠曲线挠度和转角符号的规定挠度：向上为正，向下为负。转角：自x

转至切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。CyABxC'y挠度转角

挠曲线选学

二、挠曲线近似微分方程

横力弯曲时,M和

都是x

的函数

。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作MMoxyMMM>0M<0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向上为正。曲线向上凸时:y“<0,M<0曲线向下凸时：y“>0,M>0ox因此,M与y‘’的正负号相同此式称为

梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

y‘2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI

为一常量上式可改写成选学请选择*

§7—5用积分法求弯曲变形挠度方程：转角方程：式中：积分常数C1

、C2

可通过梁挠曲线的边界条件和变形连续性条件来确定。ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA

和yB

都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度yＡ和转角

A都应等于零。边界条件yA=0yB

=0yA=0

A=0连续性条件ABAB

在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。例题1例题2例题3请选择

例题1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一

集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax

和最大转角

max.ABxyPABxyP弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为x对挠曲线近似微分方程进行积分ABxyPx边界条件为:C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得ABxyPxC1=0C2=0ABxyPx梁的转角方程和挠曲线方程分别为ABxyPxABxyP

max及fmax都发生在自由端截面处（）（）例题2例题3请选择例题2：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax

和最大转角

max.ABq解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABq梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为xABq

(c)(d)边界条件为:ABq

将边界条件代入(c),(d)两式得

梁的转角方程和挠度方程分别为ABq

A在x=0

和x=l

处转角的绝对值相等且都是最大值，在梁跨中点l/2

处有最大挠度值ABq例题3请选择例题3

：图示一抗弯刚度为EI

的简支梁,在D点处受一集中力P

的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。ABPDabABPDab解:梁的两个支反力为12两段梁的弯矩方程分别为xxABPDab12两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)D点的连续条件：在x=a处边界条件在处，在X=0处，ABPDab12代入方程可解得:两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)12将x=0和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得当a>b时，x1<a最大挠度确实在第一段梁中梁中点C

处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。积分法的原则

§7-6叠加法求梁变形

梁的刚度条件叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy

平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一，叠加法求梁变形例题7例题6例题5例题4请选择例题4：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC

和支座处横截面的转角

A,B

。ABmC(a)q解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c所示ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC()()ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC例题5:试利用叠加法，求图a所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度fC

和两端截面的转角

A,B

。ABCq解：图a可视为正对称荷载（图b）与反对称荷载（图c）两种情况的叠加。ABCqCABCAB（1）正对称荷载作用下CAB（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁在跨中C截面处，挠度fc

等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CABCABCAB将相应的位移进行叠加,即得（）（）例题6：一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图a所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角

B

以及A端和BC中点D的挠度fA

和fD

。

ABCDaa2a2qq解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB

段看成B

截面固定的悬臂梁，BC

段看成简支梁。ABCDaa2a2qq2qABB

截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq就是外伸梁AC的

B，fD2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁BC求得的

B，fDABCDaa2a2qq2qaBCDq简支梁BC

的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。(1)求

B，fDqBCDBCD2qaBCDqqBCDBCD由叠加原理得2qaBCDqqBCDBCD2qAB(2)求fA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度f1

悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度f22qa2qaABCDqABCDq因此，A端的总挠度应为由附录1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq例7：用叠加法求梁中点处的挠度ACBedlqACBedlq解：将均布荷载看作许多微集中力dP

组成ACBedlq将均布荷载分作DC与CF两段DF先计算CF段荷载使梁中点产生的挠度bdbACBedlqdP=qdbDFbdbACBedlqdP=qdbbdbACBedlqdP=qdbC截面左侧荷载使梁中点产生的挠度bdbACBedlqdP=qdb梁中点的挠度梁的刚度条件可表示为二、梁的刚度条件按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件（1）合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值合理地配置梁的荷载三、梁的合理设计(提高梁承载能力的措施)+PPP/2P/2合理地设置支座位置受均布荷载的简支梁lq当两端支座分别向跨中移动

a=0.207l

时aalq（2）合理选择截面形状

当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大。即Wz/A

较大，则截面的形状就较为经济合理。一般要使截面面积分布在距中性轴较远的地方。。对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面如：工字形，矩形，圆形，圆环形等截面。但圆环形比圆形，工字形比矩形，矩形竖放比平放更合理。对于脆性材料制成的梁，宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。z要使接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力z（3）合理设计梁的外形

梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为

等强度梁

。例如例如，宽度b

保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)

，可按正应力强度条件求得。Pbh(x)梁任一横截面上最大正应力为Pbh(x)求得Pbh(x)但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度求得Pbh(x)按上

确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁。P

一、组合变形概念:构件在荷载作用下发生两种或两种

以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。二、解决组合变形问题的基本方法:叠加法§7—7组合变形和叠加原理叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。三、工程实例:

处理组合变形的基本方法一，将组合变形分解为基本变形——将外力简化或分解，使之每个力(或力偶)对应一种基本变形；

三，利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加二，分别计算在每一种基本变形下构件的的应力和变形；=++=+LaABCP

扭转与弯曲的组合研究对象：圆截面杆受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。ABLaP一、内力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,

B端具有与AB成直角的刚臂。研究AB杆的内力。BAABLaPB横向力：P（引起平面弯曲）力偶矩：m=Pa（引起扭转）将力P

向

AB杆右端截面的形心B简化得AB杆为弯扭组合变形APmx画内力图确定危险截面固定端为危险截面AAPmPlmA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、应力分析危险点为C1

和C2

最大扭转剪应力

发生在截面周边上的各点处。

C2C1危险截面上的最大弯曲正应力

发生在C1

、C2

处C1C2C3C4TA截面

C3C4

C2C1C1C2C3C4T对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆这两点的危险程度是相同的。可取任一点C1

来研究。C1点处于平面应力状态C1

三、强度分析1、主应力计算C1

第三强度理论,计算相当力2、相当应力计算

第四强度理论,计算相当应力3、强度计算

C1

讨论例题8选学9选学8

作业1该公式适用于图示的平面应力状态。

是危险点的正应力

是危险点的剪应力，且横截面不限于圆形截面。C1

讨论

可以是弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力；

是由扭转变形引起的剪应力。C1

还可以是弯曲，拉（压）与扭转组合变形中由弯曲与拉（压）产生的正应力。

也可以是拉（压）与扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力；C1

该公式适用于弯，扭

组合变形；拉（压）与扭转

的组合变形；以及拉（压），扭转与弯曲

的组合变形。弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为对于圆形截面杆有2上两式只适用于

弯，扭组合变形下的圆截面杆。

式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩。例题8

：图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5KN,径向力1.82KN;齿轮D上作用有水平切向力10KN,径向力3.64

KN

。齿轮C的节圆直径dc=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。设许用应力

=100MPa

,试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：1、外力的简化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.