第4节　向量中的最值(范围)问题

数学数学高考总复习索引题型一与系数有关的最值(范围)CE＝xCA＋yCB，则的最小值为(D)解析由已知得CB＝3CD，∴CE＝xCA＋yCB＝xCA＋3yCD，索引∴+=+(x＋3y)＝10++≥10＋2·=16，索引感悟提升索引点)，且AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋2Y的最小值为4+23.xY丫AE＝xAB＋yAC(x，y∈R)，∴+y＝1，且x>0，y>0，索引∴x＋2y的最小值为4＋23.xy索引题型二与数量积有关的最值(范围)AD·AB的最小值为(B)A.－1B.－2C.－4所以AD＝(2cosθ-2，2sinθ)，AB＝(－1，3).索引所以AD·AB＝23sinθ-2cosθ+2＝4sin(θ__＋2.当sin时，AD·AB取得最小值－2.法二如图，作圆的直径EF聂AB，过E作ECTBA的延长线，垂足为C.而AD·AB可以看作AD在AB上的投影与|AB|的积.由圆的性质知，当D与E重合时，AD·AB取得最小值.因为AB＝OA＝2，所以7BAO＝7OAE＝7EAC=π,32所以AD·AB的最小值为AC·AB＝1×2cos180°=-2.索引感悟提升索引(2026·湖南部分学校联考)已知正方形ABCD的边长为4，点P满足AP=λAB(λ>0)，则PC·DP的最大值为-12.解析所以PC·DP＝4λ(4－4λ)－1616λ2＋16λ-1616(λ__2－12，所以当λ=1时，PC·DP取得最大值－12.2索引题型三与模有关的最值(范围)设C(3，4)，则|2CA＋AB|的取值范围是(D)由AB＝0B－0A平方，可得0A·0B＝0，索引2CA＋AB＝2(0A－0C)＋0B－0A=0A＋0B－20C，|0C|＝32＋42＝5，所以|2CA＋AB|2=0A2＋0B2＋40C2－4(0A＋0B)·0C=2＋2＋4×25－4(0A＋0B)·0C=104－4(0A＋0B)·0C，又|(0A＋0B)·0C|≤|0A＋0B||0C|＝5×2＋2＝10，即－10≤(0A＋0B)·0C≤10，所以|2CA＋AB|2∈[64，144]，即|2CA＋AB|∈[8，12].索引索引索引感悟提升索引 点，则|2PB－PC|的最小值为2.解析索引所以|2PB－PC|＝2＋(--3a)2＝4a2-2a＋7=所以当a＝时，|2PB－PC|取最小值.索引题型四与夹角有关的最值(范围)4323索引7OAB彐当cos7OAB最小时，sin7OAB最大，索引感悟提升索引sinθ)(θ∈R)，则向量A0sinθ)(θ∈R)，则向量A0与AP的夹角的取值范围是6.则A0＝(2，0)，AP＝(cosθ+2，sinθ)，则|A0|＝2，|AP|＝4cosθ+5，A0·AP＝2(cosθ+2)＝2cosθ+4，索引又由4cosθ+5≥1，当且仅当cosθ=-1时等号成立，2即向量A0与AP的夹角的取值范围是[0，.索引极化恒等式极化恒等式拓索引4索引)为AC的中点，BE＝2ED，则DA·DC的值为(A)根据极化恒等式可得BA·BC＝|BE|2－|EA|2＝|BE|2－4＝12，索引PA·PB的取值范围是[.3,5].在Rt△ABC上，则PA·PB＝PM2－AM2＝PM2－4.因此PA·PB的取值范围是[－3，5].索引法一以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝(x__2＋(y－2)2－.索引即PA·PB∈[－4，6].设AB的中点为M，CM与CP的夹角为θ,索引所以PA·PB∈[－4，6].索引3解析设AD=λAB＋(1-λ)AC，0≤λ≤1，则AB·AD＝AB·[λAB＋(1-λ)AC]=λAB2＋(1-λ)|AB|·|AC|cosA＝16λ+4－4λ=12λ+4∈[4，16].解析2解析故12＋12－1≤|c|≤12＋12＋1，∴2－1≤|c|≤2＋1.动点，则MD·MC的最小值为(C324解析)9544=x2－9x＋18，24A.44B.48所以PA＝(－8－xy)，PB＝(8－xy)，所以PA·PB(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64，则PA·PB的最大值为dax－64，所以dax－64＝|OP|2－64＝64＋48－64＝48，C.2D.1解析ABCD内(包括边界)一点，若CE＝xCB＋yCD，则x＋y的取值范围解析所以|DE|·cosLEDA＝|DE|cosLEDB，7EDA＝cos7EDB，7BDA的平分线上.不妨设DE=λDM，λ彐[0，1]，所以CE＝CD+λDM.因为CE＝xCB＋yCD，C.BM·BN为定值8D.若BN=λBM+μBC，则＋的最小值为LBDC＝LCAB＝90°,所以AM＝AC＝(AB＋BC)＝(AB＋2AD)＝AD＋AB，故A正确;因为LBDC＝90°,所以BM·BN＝|BM||BN|cosLDBN＝|BM|·|BD|＝|BD|2=×(23)2＝8，所以λ+μ=1，且λ>0，μ>0，即λ=6－33，μ=23－3时，等号成立，故D错误.3332所以|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝5＋4cosθ,|a－b|＝a2__2a·b＋b2= 5__4cosθ,设y＝5＋4cosθ+5__4cosθ,＋4cosθ+225__16cos2θ+5－4cosθ=10＋225__16cos2θ,C.(a＋b)·(a＋c)的最小值为-=29＋2(a·b＋a·c＋b·c)得，212.设向量0A＝(1，x)，0B＝(2，x)，则cos<0A，0B>的最小值为3.2cos<0A，0B>取得最小值，且最小值为 AD·AB的最大值为2.解析当且仅当cosθ=1时，AB·AD取最大值27.2