第4节　简单的三角恒等变换

数学数学高考总复习索引索引考点一三角函数式的化简解析索引=sin2θ=sinθ.44索引2(2)__tan·(1+tanα·tan＝____.解析索引感悟提升索引训练1(1)21+sin4＋2+2cos4等于(B)A.2cos2B.2sin2C.4sin2＋2cos2解析21+sin4＋2+2cos4=2sin22+2sin2cos2+cos22＋2+2(2cos22__1)=2(sin2+cos2)2＋4cos22=2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.索引2索引(1+sinθ+cosθ)(sinθ__cosθ)(1+sinθ+cosθ)(sinθ__cosθ)2+2cosθ=.索引考点二三角函数式的求值3C.D.12cos55o+sin25osin30ocos(25o+30o)+sin25osin30o =cos25ocos25o===cos30°=.cos25ocos===cos30°=.cos25ocos25o2索引==x2sin(20o－30o)==-si"20o1.si"20o索引22例3(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=224，tanαtanβ=2＋1，则sin(α+β)＝-3.即sin(α+β)22cos(α+β)，又sin2(α+β)＋cos2(α+β)＝1，索引+π,k∈Z，22mπ+π<β<2mπ+,m∈Z，得2(k＋m)π+π<α+β<2(k＋m)π+2π,又tan(α+β)<0，所以α+β是第四象限角，索引(2)(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知sin(α-β)=解析,,cosαsinβ=1 13法一依题意，得sαsin所以sinαcosβ=,13所以sin(α+β)＝sinαcosβ+所以cos(2α+2β)＝1－2sin2(α+β)＝1－2×2＝.索引则cos(2α+2β)＝cos2(α+β)＝1－2sin2(α+β)索引和差化积与积化和差和差化积与积化和差教索引索引典例(1)sin20°+sin40°-sin80°=0;sin20°+sin40°-sin80°=2sin30°·cos10°-cos10°=cos10°-cos10°=0.索引3 解析=(－2cos30°sin10°)2＋(sin70°-s=3sin210°+3sin70°-324==3－3cos20°+3cos20°-32224=3.4索引3π5π7π444解析所以sinα=,cosα=,sin(α+β)=,α∈(0,，α+β∈,π)，索引所以则sin(2α+β)＝sin[(α+β)+α]＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα所以2α+β=,故选A.索引感悟提升索引感悟提升索引32解析因为sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ=3sinαcosβ-3cosαsinβ,ta"β即4cosαsinβ=2sinαcosβ,则ta"“＝2.ta"β索引A.－32525C.－23D.232525解析法一因为cos=,所以sin＝sin++2“)]=cos＝2cos2－1＝2×2－1.索引令t=π+α,则α=t-π,cost＝1，665索引(3)(2025·北京卷)已知α,β∈[0，2π]，且sin(α+β)＝sin(α-β)，cos(α+β)≠cos(α-β)，写出满足条件的一组答案不唯一)，β=(答案不唯一).因为sin(α+β)＝sin(α-β)，cos(α+β)≠cos(α-β)，所以α+β,α-β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠即α=π+kπ,k∈Z，2故取α=,β=可满足题设要求.索引考点三三角恒等变换的综合应用丫f＋gsinsinx＋cosx，①索引解+π≤4π,索引感悟提升2.形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2+b2·sin(x+φ)，可进一步研究函数的索引(1)求(的值;解索引=sin(2x__－3sin(2x__)=sin2xcosπ-cos2xsinπ+3cos2x=1sin2x＋3cos2x22=sin(2x+，故fsin索引(2)若锐角α满足f求sin2α的值.解丫α∈(0,，：2α+∈,，索引∴sin2α=sin[(2α+一=sin(2α+cos－cos(2α+sin索引02课时对点精练所以α为锐角，则cosα=1－2sinA.2B.13.化简等于(A)C.cosα因α,则π<α+β<2π,故α+β=.5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos(α+则sin(2α__等于(B)A.－78716丫cos(α+=,可得sin(2α__cos+(2α__=-cos(2α+＝1－2cos2(α+＝1－2×=.6.(2026·秦皇岛模拟)已知tantan(β+则cos2α=(D)A.－12B.12145145C.－24D.24145145tan解得tanβ=-,又tan解得tanα=-,所以cos2α=cos2α-sin7.(2026·安徽A10联盟质检)已知2sinα-cosβ=2，sinβ-2cosα=2，sin(α-β)3ta"β=1，则ta"“＝(C3ta"β1A.7C.－1D.－77由2sinα-cosβ=2得cos2β-4cosβsinα+4sin2α=2;①由sinβ-2cosα=2得sin2β-4sinβcosα+4cos2α=4，②①+②得sinαcosβ+cosαsinβ=-,由sin(α-β)＝得sinαcosβ-cosα·sinβ=,则{c 8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(BC)-sin215°tan30o1+tan15o1-tan230o.1-tan15o24=1sin30°=1，故A24对于B，cos215°-sin215°=cos故B正确;3tan30o3tan30o3A.sinαcosβ=6B.sinβcosα=12C.sin2αsin2β=D.α+β=解析丫tanα=5tanβ,即∴sinαcosβ=5cosαsinβ,∴sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ=4cosαsinβ=3，:sinβcosα=,B正确;sin2αsin2β=2sinαcosα·2sinβcosβ=4sinαcosβ·sinβcosα=4××=,sin(α+β)＝sinαcosβ+sinβcosα=+=,ππ:0<β+α<，:α+β=,π所以cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+-所以cosα-sin得cos所以得α=.青岛模拟)已知tan(2α-β)tan(α-β)＝1，则tan(2α+=____________由tan(2α-β)tan(α-β)＝1，则tanα=tan112.已α,β均为锐角，cossin则cos2α=___，2α-β= 所以cos2α=2cos2α-1＝1.7因此sin2α=2sinαcos所以sin(2α-β)＝sin2αcosβ-c