第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式

数学数学高考总复习索引索引01知识诊断自测(1)公式C(α-β):cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ;(2)公式C(α+β):cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ;(3)公式S(α-β):sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ;索引(4)公式S(α+β):sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ; tanα__tanβ (5)公式T(α-β):tan(α-β)＝1+tanαtanβ;tanα+tanβ (6)公式T(α+β):tan(α+β)＝1__tanαtanβ.索引asinα+bcos其中sincosφ=.(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1＝1-2sin2α.2tanα(3)公式T2α:tan2α=1__tan2α.索引常用结论与微点提醒(1)sinαsinβ+cos(α+β)＝cosαcosβ;(2)cosαsinβ+sin(α-β)＝sinαcosβ;(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1千tanαtanβ)，ta"(α+β)ta"(α__β)tanαtanβ=1－ta"α+ta"β=ta"α__tata"(α+β)ta"(α__β)索引常用结论与微点提醒1__cos2αtan2α=.1+cos2α1－cos2α=2sin2α,1±sin2α=(sinα±cosα)2.索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编+sinβ成立.(√)索引 2.(人教A必修一P223T2改编)已知sin则cos2α=25.sinsin故sinα=-,所以cos2α=1－2sin索引3.(苏教必修二P55例2改编)求值cos15°=4.解析cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=2+6.4索引4.(北师大必修二P156例4改编)已知tanα=2，tanβ=-,则tan(α-β)＝7.索引考点一公式的基本应用A.－3mB.－m3mm3由cos(α+β)＝m得cosαcosβ-sinαsinβ=m.①cosαcosβ由tanαtanβ=2得si"αsi"β=2，②cosαcosβ索引所以cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ=-3m，故选A.索引索引感悟提升索引由题得cosα=2cos索引整理可得sinα=1，3因为sin2α+cos2α=1，所以cos所以sin(α+＝sinαcos＋cosαsin=×+×=.索引考点二公式的逆用及变形例2(1)(2026·西安调研)cos160°cos130°-sin(－160°)cos40°=(A)=-cos160°sin40°+sin160°cos40°索引(2)tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=-3.解析所以tan70°+tan50°-3tan70°tan50°=-3.索引感悟提升(3)tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者可以索引A.cos275°-sin275°B.对于A，cos275°-sin275°=cos150°=cos(180°-30°)cos30°sin15o对于Bsin30°=;cos215o2=-3;2索引sin36osin(180o__144o)2cos20osin20ocos40ocos80o=sin20osin40ocos40ocos80o=sin20o索引索引考点三角的变换问题A.－5B.588C.－7D.788=2cos2____“)]－1＝2sin2－1.索引所以cos＝cos__2“)]索引(2)已知α∈,π)，β∈(0,，若sin(α+β)cosβ=,则sinα等于(C)sin(α+β)＝>0，cosβ=,所以α+β∈,π)，索引则sinβ=1__cos2β=,cos(α+β)1__sin2(α+β)=-,所以sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ索引感悟提升3.常见的角的变换:2α=(α+β)＋(α-β)，α=+,+α=-,α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等.索引A.B.所以sinα=sin[(α+一＝sin(α+cos－cos(α+sin=×-×=.索引,则sin(α-β)的值为(A)1633566365656565由题意可得α+∈,π)，β-∈(__,0)，所以cos(α+sin(β__=-,所以sin(α-β)sin[(α+__(β__=-×+(__×(__＝.索引索引513513α1丫tan=,22索引：cosβ=cos(-β)＝cos(α-β-α)=cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=12x3＋5x4＝56.13513565索引2训练已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0，α∈,π)，则tanα=-3，53-12丫6sin2α+sinαcosα-2cos2α6sin2α+sinαcosα-2cos2α=sin2α+cos2α6tan2α+tanα-2==0，tan2α+1索引即6tan2α+tanα-2＝0，解得tanα=-2或tanα=1，丫tan索引+sin43°cos77°=(B)C.－1D.12+sin43°cos77°=cos43°sin77°+sin43°cos77°2.(2026·保定模拟)若cos2α=sin2α,则sinα=(B)因为cos2α=sin2α,3.(2026·温州模拟)已知tan(θ+＝2，则tanθ=(C)3+sinβ=0，cosα+cosβ=3，则cos(α-β)=(B)A.－1212CD.1解析+sinβ=0，cosα+cosβ=3，得(sinα+sinβ)2＋(cosα+整理得2＋2(cosαcosβ+sinαsinβ)＝3，所以cos(α-β)＝.46.(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ+sin则sin(θ+＝(B)232232因为sinθ+sin(θ+＝sin(θ+__＋sin(θ++=sin(θ+cos－cos(θ+sin＋sin(θ+cos＋cos(θ+sin=2sin(θ+cos＝3sin(θ+＝1，4sin40°-tan40°=4sin40°-sin40ocos40o2sin80o__sin40osin80o+(sin80o__sin40o)==cos40ocos40osin80o+[sin(60o+20o)__sin(60o__20o)]=cos40osin80o+2cos60osin20osin80o+sin20o==cos40ocos40o二、多选题8.下列等式成立的有(BC)A.sin15°cos15°=1B.sin75°cos15°+cos75°sin15°=12C.cos105°cos75°-sin105°cos15°=-1D.3sin15°+cos15°=124=1sin30°=1，故A24+cos75°sin15°=sin(75°+15°)＝sin90°=1，=-1，故C正确;对于D，3sin15°+cos15°=2sin(15°+30°)＝2sin45°=2，故D错误.9.已知α∈,π)，且cos2α-cos2α=,则(AC)A.tanα=-1B.sin2α=425D.tan2α=-34cos2α-cos2α=cos2α-(cos2α-sin2α)＝sin2α=,sin2α=2sinαcosα=-4，5cos2α=1－2sin2α=3，5=1＋tan20°+tan25°+tan20又tan20°+tan25°=tan(20°+25°)(1－tan20°tan25°)=2.因为所以α+∈,，所以cosα=cos0<β<α<，则β=.sinαsinβcosαcosβ=,14由题意得，sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α