第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式

数学数学高考总复习cosx2索引索引01知识诊断自测(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系tan索引2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ-α2π+α2索引常用结论与微点提醒sinα=tanα·cosα.2索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编(1)若α,β为锐角，则sin2α+cos2β=1.(×)(2)sin(π+α)sinα成立的条件是α为锐角.(×)解析(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1.索引(3)若α∈R，则tanα=si"α恒成立.(×)cosα(4)当k为奇数时，sinα=,当k为偶数时，sinα=-1.3索引2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角，sinα=-,则tanα=(B)A.－3B.344C.－4D.433由题意得cosα=-4，5索引3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin那么cosα=(B)A.－4B.－334所以cosα=-3.5索引24.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值:sincossincos索引考点一同角三角函数基本关系式例1(1)(2026·南宁质检)若tanθ=-2，则A.－6B.－226索引因为tanθ=-2，索引5.(2)(2023·全国乙卷)若θ∈(0，tan则sinθ-cosθ=5..故sinθ-cos索引感悟提升(1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用si"α=tanα可实cosα索引+将sinθ+cosθ=1两边同时平方可得5索引∴sinθ-cosθ=(sinθ__cosθ)2＝=1__(__=,由以上可得sinθ=4，cosθ=-3，+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)=×(1+＝.索引感悟提升索引训练1(1)已知sinα-cos则tanα+的值为(D)A.－1B.－4414则(sinα-cosα)2＝1－2sinαcosα=,解得sinαcosα=,索引解析因为sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x=,4又x所以sinx<0，cosx>0，sinx－cosx所以sinxcosx1，2-1__2×(__2.索引(3)(2026·烟台调研)已知则tanα=-2.解析解得tanα=-2.索引考点二诱导公式C.cosθ解析索引=cos__θ)]=-cosa，=cos＝a，索引感悟提升索引 解析丫-π<θ<π,∴-π<π+θ<π,26632索引23-3原式＝tan(2×360°+60°)cos(－3×360°-60°)－sin(4×360°+120°)cos(－3×360°+30°)索引考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综例4(1)(2026·绵阳模拟)已知α是第一象限角，且sinα+cosα=3cosαtanα,则因为sinα+cosα=3cosαtanα,所以sinα+cosα=3sinα,所以cosα=2sinα,左右两边平方得cos2α=4sin2α=4(1－cos2α)，所以5cos2α=4.索引所以sinα=-2cosα,所以tanα=-2.cosαsi"2α+2si"αcosα__si"2α__cos2α=2cosα===-5.索引所以cos＝cos__+“)]索引感悟提升索引训练3(1)若sin(3π+α)=,α∈(π,，则tan(2027π-α)等于(D)解析所以costanα=,所以tan(2027π-α)＝tan(π-α)tanα=-.索引索引A.1B.－122丫sinα=1，且角α的终边位于第二象限，22.sin600°=(C)A.－1B.122sin600°=sin(240°+360°)＝sin240°=sin(180°+60°)sin60°=-.由题意可知tanα=,β=α-,所以tanβ=tan故选D.4.(2026·烟台、东营模拟)已知tanα=-2，则C)A.－2B.232sinθ)，且cosα=,则cos2θ=(C)C.－1D.133解析所以|OP|＝cos2θ+4sin2θ=1+3sin2θ,得sincos则cos2θ=cos2θ-sin故选C.得tanθ=±2，则cos2θ=cos2θ-sin2θ====-.6.(2025·信阳联考)已知cos(α+＋cos(α+则cos(2α+＝(C)A.－23B.232525C.－24D.242525所以cossin=1－2cos(α+sin(α+=,=-sin(2α+.A.9B.－94040C.92020由sinα+cos两边平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=,即sinαcosα=-9<0，32所以cosα-sinα<0，解得cosα-sinα=-5，4若α+β=,则cosβ=cos＝sinα=,sinβ=sin＝cosα=±,对于B，cos(π+β)cosβ=,+对于D，tan即15sinβ=cosβ,+9.(2026·重庆诊断)若α为第一象限角，cos则(BD)2若α-π是第四象限角，8所以α-是第一象限角，且sin=cos＝cos(“__故A错误;=-cos故B正确;C.sin(53°-x)＝cos(37°+x)D.sin(60°-x)＝cos(480°+x)sinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx对于B，1+sin2x＝(sin2x+cos2x)+sin2x＝cos2x+2sin2x＝1+2tansinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx对于C，sin(53°-x)＝sin[90°-(37°+x)]＝cos(37°+x)，故C正确;