第1节　平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算数学数学高考总复习索引索引01知识诊断自测索引索引法则(或几何意义)运算律求两个向量差的运算三角形法则a-b=a+(-b)是一个向量，这种运记作λa(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb索引索引常用结论与微点提醒1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则0P＝(0A+0B).2.0A=λ0B+μ0C(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ+μ=1.索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(×)解析索引2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是(CA.非零向量AB与BA是两平行向量索引解析索引点，用0A，0B，0C表示0A解析由于0D＝0C＋CD，因此只需将CD用0A，0B表示，而CD＝BA＝0A－0B，故0D＝0C＋CD＝0C＋(0A－0B)＝0A－0B＋0C.索引考点一平面向量的概念例1(1)(多选)下列命题正确的有(AD)解析索引索引索引感悟提升索引A.向量AB的长度与向量BA的长度相等对于A，向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，故A正确;索引(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与BC相等的向量为(D)A.BAB.CDC.ADD.ODA，B选项均与BC方向不同，C选项与BC长度不相等，D选项与BC方向索引考点二平面向量的线性运算E为BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则(ABC)索引解析22∴BC＝BA＋AD＋DCAB＋AD＋1AB1AB＋AD，故A22333∴BF＝BA＋AFAB＋1AB＋1AD2AB＋1AD，故C正确333∴CF＝CB＋BF＝BF－BCAB＋AD－(__AB＋AD)AB－AD，索引(2)在△ABC，点D是线段BC上一点，若BD=λBC，则实数λ=4.解析因为BD=λBC，所以AD＝AB＋BD＝AB+λBC=AB+λ(－AB＋AC)＝(1-λ)AB+λAC，因为AD＝1AB＋3AC，所以λ=3.444索引感悟提升索引训练2(1)(2026·嘉兴模拟)在△OAB所在平面内，点C满足AB＝3BC，记0解析3又0A＝a，0B＝b，所以0C＝0A＋AC＝OA＋(0B－0A)索引(2)(2026·郑州模拟)在△ABC中，D在BC上，且BD＝2DC，E在AD上，且AD=3-4AE.若BE＝xAB＋yAC，则x＋y＝4.解析则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.又BE＝xAB＋yAC，所以x索引考点三共线向量定理的应用例3(1)(2026·西安质检)已知a，b不共线，且AB=λa－b，BC＝a+μb，那么A，A.λ+μ=2B.λ-μ=2C.λμ=1D.λμ=-1解析A，B，C三点共线台AB聂BC，设AB＝kBC，即λa－b＝k(a+μb)，索引消去k可得λμ=-1.因此A，B，C三点共线的充要条件为λμ=-1.故选D.索引AC＝yAF，则x＋y＝222又因为AB＝xAE，AC＝yAF，所以索引感悟提升(1)a聂b台a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的(3)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.+μ=1.索引32C.6D.－2解析所以解得λ=.索引(2)(2026·泰安调研)在△ABC中，P是直线BD上一点.若AP＝mAB2解析55索引等和线等和线拓展(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图，由三点共线结论可知，若0p=λ0A+μ0B(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，使得0p,＝k0p，则0p,＝k0p＝kλ0A＋kμ0B，又0p,＝x0A＋y0B(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ+μ)＝k;反之也成立.索引(2)平面内一组基底0A，0B及任一向量0P,，0P,=λ0A+μ0B(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值);反之也成立，我索引3O为圆心的圆弧AB上运动，若0C＝x0A＋y0B，其中x，y∈R，则x＋y的最大索引++cosθ+sinθ=3sinθ+cosθ=2sin，索引设0D＝t0c，由于0c＝x0A＋y0B，所以0D＝t(x0A＋y0B).tt由于|0D|＝t|0c|＝t，2索引法三(等和线法)连接AB，过C作直线l聂AB，则直线l为以0A，0B为基3所以0C1＝0A＋0B，索引1M为AH的中点，若AM=λAB+μAC，则λ+μ=2.解析设λ+μ=k，则k索引为线段A3O的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R)，则λ+μ等∴λ=,μ=,则λ+μ=.索引如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ+μ=k，BF由图易知，即λ+μ=k＝.索引A.1B.－123C.－1D.123解析由题意，设c=λd，则a＋6b=λ(－2a＋xb)2λa+λxb，则{，解得λ=-,x12.A.AB与AC共线B.DE与CB共线C.CD与AE相等D.AD与BD相等由题意可知，AB与AC不共线，A错误;所以DE聂BC，故DE与CB共线，B正确;因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错误;因为AD＝DBBD，D错误.A.2e1－3e2＋2e2，4.(2026·无锡质检)在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC＝4E是线段DE的中点，若AF=λAB+μAD，则μ=(C)484解析由题意可得AF＝(AD＋AE)又AF=λAB+μAD，所以μ=.5.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|0B－0C|＝|0B＋0C－20A|，则0B＋0C－20A＝(0B－0A)＋(0C－0A)＝AB＋AC，0B－0C＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|，风速大小(单位:m/s)21.1~3.333.4~5.445.5~7.958.0~10.1解析AE＝AB，CE与BF相)AE＝AB，CE与BF相)解析所以可设AG＝xAB＋(1－x)AF，所以xab.所以可设AG＝yAE＋(1－y)AC.解析C.AF＋BD＋CE＝0D.GA＋GB＋GC＝0解析对于C，AF＋BD＋CE＝AB＋BC＋CA＝(AB＋BC＋CA)＝0，C正确; 对于D，GA2GD2×(GB＋GC)(GB＋GC)，即GA＋GB＋GC＝0，10.在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|＝2.解析所以|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.则|AB＋FE＋CD|＝|ED＋FE＋CD|=|AF＋FE＋ED|＝|AE＋ED|＝|AD|＝2.55因为所以AC＝AD，则AE＝xBA＋BC＝x(－AB)＋(AC－AB)＝AC－(X＋AB612.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足4AM－AB－AC＝0，则△ABM与