人教版七年级数学下册期末复习 专题02 实数(期末复习知识清单)

专题02实数算术平方根

1.定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.2.算术平方根的性质3.算术平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.平方根平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.立方根1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0实数1.无理数

（1）定义：无限不循环小数又叫无理数.（2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式（3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.求一个数的算术平方根【例1】（24-25七年级下·广西河池·期末）4的算术平方根是（）A．−2 B．42 C．±2 【答案】D【分析】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键，根据算术平方根的定义，非负数x的算术平方根是非负数a，满足a2=x．4的算术平方根需满足a2【详解】解：4的算术平方根是2，用式子表示为4=2故选：D．【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）实数3的算术平方根是（

）A．3 B．±3 C．3 D．【答案】A【详解】本题考查算术平方根的概念，需明确算术平方根的定义．算术平方根是指一个非负实数x的平方等于给定数时，这个非负数x即为该数的算术平方根．【分析】解：实数3的算术平方根是3，故选：A．【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）25的算术平方根是5，可以用式子表示为（

）A．25=±5 B．±25=±5 C．25【答案】C【分析】题目主要考查算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记作a，据此即可求解，熟练掌握此定义是解题的关键．【详解】解：5的算术平方根是5，用式子表示为25=5故选：C利用算术平方根的非负性解题【例2】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）若x+1+y−2025=0，则xA．2025 B．1 C．−2025 D．−1【答案】D【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性；根据非负数的性质，算术平方根和绝对值的值均非负，它们的和为零时，每个部分必须同时为零．【详解】解：∵x+1+y−2025=0，x+1∴x+1=0且y−2025∴x+1=0，y−2025=0，∴x=−1，y=2025，故选：D．【变式1】（24-25七年级下·广东韶关·期末）已知实数m，n满足n−2+m−1=0，则n+2mA．4 B．3 C．1 D．0【答案】A【分析】本题主要考查非负数的性质，由非负数的性质可知，绝对值和算术平方根的和为0时，每个部分都为0，由此解出m和n的值，再代入计算即可．【详解】解：∵实数m，n满足n−2+∴n−2=0，m−1=0，∴n−2=0,m−1=0，解得，n=2,m=1，∴n+2m=2+2×1=2+2=4，故选：A．求一个数的平方根【例3】（24-25七年级下·云南临沧·期末）8125的平方根是（

A．95 B．−95 C．±【答案】C【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键．首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程x2【详解】解：∵x2∴x=±81故选：C．【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）8116的平方根为（

A．±34 B．34 C．±【答案】C【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根．先计算8116【详解】解：8116∵±9∴8116平方根为±故选：C．已知一个数的平方根，求这个数【例4】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是2−a和3a+6，则a的值是（

）A．4 B．−4 C．36 D．−36【答案】B【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键．根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．【详解】解：根据题意得：2−a+3a+6=0，解得：a=−4，故选：B．【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为2m−5和m+2，则m的值为______．【答案】1【分析】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，且互为相反数的性质．根据平方根的性质解决此题即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根为2m−5和m+2，∴2m−5+m+2=0，解得m=1，故答案为：1．【变式2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3−4a，则这个正数是___________．【答案】25【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．【详解】解：由题意得，2a+1+3−4a=0，解得：a=2，∴一个正数的两个不同的平方根为±5，∴这个正数为25，故答案为：25．利用平方根解方程【例5】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若9x2−25=0，则x【答案】±【分析】本题根据平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键，移项，系数化1，再利用平方根解方程即可．【详解】解：9x∴9x∴x2∴x=±故答案为：±5【变式1】（24-25七年级下·四川南充·期末）若x−32=4，则x=【答案】1或5【分析】本题考查运用平方根解方程，方程两边直接开平方即可求解．【详解】解：∵x−32∴x−3=±2，∴x−3=2,x−3=−2，解得，x=5或x=1，故答案为：1或5．【变式2】（24-25七年级下·青海海西·期末）已知2x−32=8，则x【答案】5或1/1或5【分析】本题考查了平方根解方程．方程两边同时除以2，再开平方，最后计算即可．【详解】解：2x−3x−32x−3=±2，x=5或x=1，故答案为：5或1．求一个数的立方根【例6】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）−27的立方根是（

）A．−3 B．±3 C．±9 D．−9【答案】A【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可．【详解】解：3故选：A【变式1】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若2−a的立方为64，则a的值为（

）A．−6 B．−6或10 C．−2 D．−2或6【答案】C【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可．【详解】解：由题意得：(2−a)3则2−a=4，解得：a=−2．故选：C．平方根和立方根的综合应用【例7】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知2a+4的立方根是2，3a+b−1的算术平方根是3．(1)求a，b的值；(2)求a+b的平方根．【答案】(1)a=2，b=4(2)±【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根．（1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得a，b的值；（2）将a，b的值代入a+b中计算后根据平方根的定义即可求得答案．【详解】（1）解：∵2a+4的立方根是2，∴2a+4=2解得a=2，∵3a+b−1的算术平方根是3，∴3a+b−1=3解得b=4．∴a=2，b=4；（2）解：∵a=2，b=4，∴a+b=2+4=6．∴a+b的平方根为±6【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知2a−5的算术平方根是7，a−5b+1的立方根是−2．(1)求a与b的值；(2)求5a−b的立方根．【答案】(1)a=6，b=3；(2)3【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键．（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算；（2）由（1）及立方根的定义可直接求解．【详解】（1）解：∵2a−5的算术平方根是7，a−5b+1的立方根是−2，∴2a−5=(7)解得a=6，b=3；（2）当a=6，b=3时，5a−b=27，∴5a−b的立方根为3．无理数定义【例8】（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数−13，0，4，38，3，πA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中4=2，38=2是有理数中的整数．由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π【详解】解：在实数−13，0，4=2，38=2无理数是：3，π，共2个；故选：B．【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）下列各数中，属于无理数的是（

）A．−13 B．0.2 C．37【答案】C【分析】根据立方根，算术平方根，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根．【详解】解：∵−10.2是有理数，不是无理数，36=637故选：C．无理数的大小估算【例9】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知n是整数，且n<70<n+1，则n的值是（A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】先估算70的大小，然后求出n的值即可．【详解】解：∵64<70<81，∴8<70∵n<70∴n=8．【变式1】（24-25七年级下·广东云浮·期末）若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（

）A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小．已知正方形的面积为10，其边长为10．通过比较相邻整数的平方与10的大小关系，即可确定10的范围．【详解】解：∵正方形的面积为10，∴边长为10，∵9<10<16，∴3<10∴10在3与4之间．故选：C．【变式2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）估算13−2的值在（

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，先估算13的范围，再估算13−2【详解】解：∵9<13<16，∴3<13∴1<13故选：A．无理数整数部分的有关计算【例10】（24-25七年级下·四川广安·期末）若4−6的整数部分和小数部分分别是x，yA．−2+6 B．−2 C．2−6 【答案】A【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先求出6的范围，再两边都乘以−1，再两边都加上4，即可求出x，y，把【详解】解：∵4<6<9，∴2<6∴−3<−6∴1<4−6即4−6的整数部分是1∴4−6的小数部分是4−即x=1，y=3−6∴x−y=1−3−故选：A．【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为2的整数部分是1，于是可以用2−1表示2的小数部分，类似的，30的小数部分可以表示为_____【答案】30−5/【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出5<30【详解】解：∵25<∴5<30∴30−5是30故答案为：30−5【变式2】（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知3a+4的算术平方根是5，5a−2b−2的立方根是3，c是29−1的整数部分，则a+2b+3c的平方根是___【答案】±5【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．【详解】解：∵3a+4的算术平方根是5，∴3a+4=5解得：a=7，∵5a−2b−2的立方根是3，∴5a−2b−2=解得：b=3，∵25<29<36，∴5<29∴4<29∵c是29−1∴c=4，∴a+2b+3c=7+2×3+3×4=25，∵25平方根为±5，∴a+2b+3c的平方根为±5．故答案为;±5．实数与数轴【例11】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为−1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E边上的数为（

）A．6 B．6−1 C．6+1 【答案】B【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=AE=6，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E【详解】解：∵正方形ABCD的面积为6，且AB=AE，∴AB=AE=6∵点A表示的数是−1，且点E在点A右侧，∴点E表示的数为：6−1故选：B．【变式1】（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（

）A．−3 B．−7 C．3 【答案】B【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于−3和小于−2，∵1<3<4,4<7<9，∴1<3∴−2<−3故选：B．实数的大小比较【例12】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）比较大小：7__________47．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】本题考查了无理数大小比较，通过比较平方的大小来判断原数的大小即可【详解】解：因为72=49，472所以7>47故答案为：>．【变式1】（24-25七年级下·山东德州·期末）比较大小：5−2_____【答案】<【分析】本题考查实数的大小比较，做题关键是掌握比较大小的方法．通过平方法估算5的范围，进而可知5−2【详解】解：∵2∴2<5∴0<5故答案为：<．【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）比较大小：7−12_____12．（填“>【答案】>【分析】本题考查实数的大小比较，先根据无理数的估算方法估算出7的范围，进而得到7−1【详解】解：∵7>4，∴7>2，则7∴7−1故答案为：>．实数的混合运算 【例13】（24-25七年级下·新疆哈密·期末）计算：(1)16+(2)3−2【答案】(1)1(2)6【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．1利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可；2利用绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算加减即可．【详解】（1）解：原式=4+2−5=6−5=1；（2）解：原式=2−=6．【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：|−3|−【答案】−10【分析】此题考查实数的混合运算，先化简绝对值，计算算术平方根、立方根及乘方，再计算加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：原式=3−4+=3−4−1−8=−10．【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）计算：(1)−3(2)2【答案】(1)7(2)3【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．（1）直接利用算术平方根与立方根、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用实数的运算法则进行计算得出答案．【详解】（1）解：−3=3−=（2）解：2=2=3程序设计与实数运算【例14】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值是16时，输出y的值是______．【答案】2【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出16的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键．【详解】解：16的算术平方根是4，是有理数，4的算术平方根是2，是有理数，2的算术平方根是2，是无理数，∴输出y的值是2，故答案为：2．【变式1】（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（

）A．2 B．2 C．34 D．【答案】A【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为2，最后输出，即可求出y的值．【详解】解：∵64的算术平方根是8，8是有理数，取8的立方根为2，是有理数，再取2的算术平方根为2，是无理数，则输出2，∴y的值是2．故选：A．实数的实际应用【例15】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形ABCD内，两个正方形的面积分别为4，10．(1)求长方形ABCD的周长；(2)图中两块阴影部分的面积之和为_________．【答案】(1)4(2)2【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意．（1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可；（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积；解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则．【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为4，10，∴小正方形的边长为4=2大正方形的边长为10，∴长方形ABCD的周长为2×10（2）∵10=10+2=210∴两块阴影部分的面积和为210故答案为：210【变式1】（24-25七年级下·四川广元·期末）在综合实践课上，某同学用一根铁丝围成了一个面积为400cm2的正方形框架，该同学计划用同样长的一根铁丝围一个面积为300cm(1)求正方形框架的边长．(2)该同学能围出这个长方形框架吗？请通过计算说明你的判断．【答案】(1)20(2)不能围出这个长方形框架，理由见解析【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，无理数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键．（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；（2）设长方形的长为5x，宽为3x，由其面积为300cm2，所以5x⋅3x=300，利用平方根解方程求出【详解】（1）解：由题意得正方形框架的边长为400=20（2）解：不能围出这个长