人教版八年级数学下册期末复习 专题02 勾股定理5考点16题型3易错4方法(期末复习知识清单)

专题02勾股定理一、勾股定理●●勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2、a2=c2-b2、b2=c2-a2；、、.【拓展】◎1◎2＜c2.【注意】1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.二、勾股定理的证明●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b三、勾股定理的逆定理●勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt△ABC中，∠C=90°在△ABC中，a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=90°区别勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系.四、勾股数●勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．★1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．★2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．★3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…★4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：①确定是否为三个正整数a，b，c;②确定最大数c；③计算较小两数的平方和是否等于c2;④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.五、勾股定理的应用利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.◆勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.题型一用勾股定理求线段长【例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（

）A．10 B．10或12 C．10或27 【答案】A【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，∴由勾股定理得，斜边长为62【变式1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在Rt△ABC中，点D、E分别为BC、AC中点，若AE=4，BD=5，则AB的长为（

A．9 B．7 C．6 D．8【答案】C【分析】根据中点，求出BC,AC的长，利用勾股定理求出AB的长即可．【详解】解：∵点D、E分别为BC、AC中点，∴BC=2BD=10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°∴AB=【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，D点在AB的中垂线上，AD=5，则BC的长为（

A．3−1 B．3+1 C．5+1【答案】C【分析】根据中垂线的性质可得BD=AD=5，利用勾股定理求出CD，结合BC=BD+CD【详解】解：设AB边的中垂线为DE，∴BD=AD=5∵∠C=90°，AC=2，AD=5∴CD=A∴BC=BD+CD=5【变式3】如图，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，BD是∠ABC平分线，过点D作DE⊥BC于点E，则DE的长为（）A．2 B．32 C．245 【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.由AB=BC，BD是∠ABC平分线，BD是△ABC边AC上的高与中线，得S△ABC=2×1【详解】解：∵AB=BC，BD是∠ABC平分线，∴BD是△ABC边AC上的高与中线，∴BD⊥AC，AD=CD=1∴S△ABD=∴S△ABC在Rt△ABDBD=A又S△ABC∴12∴12∴DE=12故选：D．题型二利用图形面积之间的关系求图形的面积【例2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（

）A．1013 B．2027 C．2026 D．2025【答案】B【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第n代勾股树中所有正方形的面积和为n+1，即可求解．【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为1+1=2，第２代勾股树中所有正方形的面积和为2+1=3，第３代勾股树中所有正方形的面积和为3+1=4，⋮第n代勾股树中所有正方形的面积和为n+1，∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2026+1=2027，故选：B．【变式1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可．【详解】解：因为1+3=4，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意；因为2+4=6，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意；因为5+5=10，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意；因为3+4=7≠5，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意．【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（

）A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项．【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，∴A项：3+4=7≠5，不满足要求，不符合题意；B项：5+6=11，满足要求，符合题意；C项：6+8=14≠15，不满足要求，不符合题意；D项：7+12=19≠14，不满足要求，不符合题意，故选：B．【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为S1，S2,S3A．S1+SC．S1+S【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．根据勾股定理得到a【详解】解：如图，由题意得，a2∵S2+S5=∴S2∴S△DEF∵△DEF的面积已知，∴能求出代数式S1故选：A．题型三已知两点坐标求两点间距离【例3】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点A2，3，以原点O为圆心，OA为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点BA．13,0 B．3,0 C．0,13 【答案】A【分析】先利用勾股定理求出OA的长度，根据作图可知OB=OA，结合点B在x轴正半轴的位置即可得到点B的坐标．【详解】解：∵原点O坐标为0,0，点A坐标为2,3，∴OA=2∵以点O为圆心OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，∴OA=OB=13∴点B坐标为13,0【变式1】在平面直角坐标系中，点P−2,3到原点的距离是（

A．13 B．11 C．5 D．2【答案】A【分析】利用勾股定理求解．【详解】解：∵原点坐标为0,0，点P坐标为−2,3，∴根据勾股定理，点P到原点的距离为：−2−02【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点A，B的坐标分别为0,1，4,4，连接AB，则AB的长度为（

）A．4.8 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为0,1，4,4，∴AB=4−0故选：B．【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点A2,3，点B−2,−3．则AB的长为【答案】2【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用．利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：根据勾股定理得，AB=−2−2故答案为：213题型四勾股定理与网格问题【例4】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（

）

A．3 B．5 C．10 D．13【答案】C【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2【详解】解：根据题意AC=1故选：C．【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC中AB边上的高为（

）A．3 B．3 C．5 D．9【答案】D【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出AB，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出AB边上的高.【详解】解：设AB边上的高为h，BC边上的高为h1∵BC=3,AB=32+∴S△ABC∴3×3=5h，解得：h=9故选：D．【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（

）A．AD B．BC C．AB D．CD【答案】D【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断．【详解】解：由勾股定理可得：AB=32+故长度为无理数的线段是CD，故选：D．【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线AC的距离为_________．【答案】14【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AC边上的高即可．【详解】解：如图，作BD⊥AC，S△ABC由勾股定理得AC=4∵S△ABC∴12解得：BD=14故答案为：145题型五由勾股定理求两条线段的平方和【例5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）在Rt△ABC中，斜边AB=10，则AB2A．100 B．200 C．300 D．400【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．先画图，再利用勾股定理可求BC2+A【详解】解：如图所示，

在Rt△ABC中，A又∵AB=10，∴AB∴AB故选：B．【变式1】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．【变式2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AB=5，CD=13，则【答案】38【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出BC2=OB2+OC2、【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴在Rt△OBC中，B在Rt△OAD中，A在Rt△AOB中，O在Rt△OCD中，O∴BC故答案为：38．【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE平分∠ACB交AD于E，在AC上取点F，连接EF，使∠AEF=1(1)判断△CEF的形状并说明理由．(2)已知CA=CB，①求证：ACCF−AF②若△ABD与△ACD的面积相等，求∠EFC的度数．【答案】(1)△CEF是直角三角形，证明见解析(2)①见解析②∠EFC=60°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠ACE，根据三角形内角和定理可知∠DAC+∠ACE+∠AEF=90°，进而可知∠CEF=90°，即（2）①根据角平分线的定义得到∠DAC=∠DAB=12∠BAC，根据等边对等角得到∠CAB=∠CBA，根据∠AEF=12∠B可知②过D作DM⊥AB交AB于点M，作DN⊥AB交AC于点N，根据角平分线的性质定理得到DM=DN，根据S△ABD=S△ACD得到AB=AC，可知△ABC是等边三角形，即【详解】（1）解：△CEF是直角三角形，理由如下：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠AEF=1∴∠DAC+∠ACE+∠AEF=1∴∠CEF=180°−∠DAC−∠ACE−∠AEF=90°，∴△CEF是直角三角形；（2）①证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=1∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵∠AEF=1∴∠AEF=∠DAC，∴AF=AE，又∵∠CEF=90°，∴C=C==ACCF−AF即ACCF−AF②解：过D作DM⊥AB交AB于点M，作DN⊥AB交AC于点N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∵S△ABD∴12∴AB=AC，又∵CA=CB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECF=30∵∠FEC=90°，∴∠EFC=60°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．题型六勾股定理的证明【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为a+b的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为b−a的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下底为b，高为a+b的梯形面积，∴12∴整理得：a2B、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×1∴整理得：a2C、∵以a与b为两直角边的四个全等三角形面积+边长为b−a的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×1∴整理得：a2D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab+b∴a2根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意．【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式a2−bA．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式a2【详解】解：选项A是推导a+b2=a选项B是推导a2选项C是勾股定理a2选项D表示边长为a+b的大正方形与边长为a−b的小正方形的面积差，等于4个长为a、宽为b的长方形的面积和，符合等式a+b2故选B．【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（

）A．B．C． D． 【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导a2【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为(a+b)2，也可表示为∴(a+b)2=4×对于选项B，梯形的面积可表示为12(a+b)(a+b)，也可表示为∴1展开化简得a2对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出a2对于选项D，大正方形的面积可表示为c2，也可表示为4×∴c化简得c2故选：C．【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a(1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程．(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a=4，b=6，则空白部分的面积为．(3)如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若AD=5，AB=3，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)28(3)EF=【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为a+b2，大的正方形的面积又可以表示为c（2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积=c（3）根据勾股定理求得BF=AF2−AB2=4，进而设EF=x【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为a+b2，大的正方形的面积又可以表示为c∴c2∴c2∴a2（2）解：空白部分的面积=边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积=c∵a=4，b=6，∴空白部分的面积=4（3）解：∵长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．∴AF=AD=5，在Rt△ABF中，AF=5，AB=3由勾股定理得：BF=A∴CF=BC−BF=AD−BF=5−4=1，设EF=x，则DE=EF=x，CE=CD−DE=3−x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：E∴x2解得：x=5即EF=5题型七以弦图为背景的计算题【例7】（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c=15，b−a=3，则每个直角三角形的面积为（）A．64 B．54 C．108 D．48【答案】B【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得a2+b2=【详解】解：由勾股定理，得a2∵b−a=3，∴b2∴225−2ab=9，∴ab=108，∴每个直角三角形的面积为12故选：B．【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为25，则该“火箭”的高度h是（

A．8 B．45 C．10 【答案】C【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果．【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为b，长直角边为a，根据图2，正中心正方形的边长a−b=b，∴a=2b．∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即25∴a2即4b2+b2观察火箭图案可知，火箭的高度h=a+a+b=4+4+2=10；故选：C．【变式2】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交DE于点P．如图所示，若S△CFP−S△AEP=4.5，AE+ED=7A．28 B．29 C．30 D．24【答案】B【分析】首先证明出△AED≌△CGB，得到AE=CG，然后证明出△AEP≌△CGMASA，得到S△AEP=S△CGM，EP=MG，推出S正方形EHGF=9，得到【详解】解：如图所示，设BG，AC交于点M∵AH⊥BG，DE⊥CF，BG∥DE，∴AH∥∴∠EAP=∠GCM，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，∴△AED≌△CGB，∴AE=CG，又∠AEP=∠CGM=90°，∴△AEP≌△CGMASA∴S△AEP=S∵S∴S∴S∴DE−DF∴DE−AE∴D∵AE+ED=7∴AE+ED∴A∴①+②∴A∴正方形ABCD的面积=AD故选：B．【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键．【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期末）我国古代数学家赵爽在注解（周髀算经）时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是80，每个直角三角形的较长直角边与较短直角边的比为2:1，则中间小正方形（阴影部分）的周长为_____．【答案】16【分析】本题主要考查勾股定理，设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为2x，根据勾股定理列方程得出x=4，确定小正方形的边长为2x−x=x=4，求解即可．【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为2x，∵大正方形的面积是80，∴x2解得，x=4或x=−4（舍去），∴小正方形的边长为2x−x=x=4，∴小正方形的周长为4×4=16，故答案为：16．题型八勾股定理与无理数【例8】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（

）A．−5 B．1−5 C．−1−5【答案】C【分析】根据勾股定理求出BC的长，则可得到AC的长，再用点C表示的数减去AC的长即可得到a的值．【详解】解：如图所示，由勾股定理得BC=∴AC=BC=5∴a=−1−5【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）如图，Rt△OBC的直角边BC的长为1，将斜边OB绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（

A．2.2 B．6 C．3 D．5【答案】D【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得OB的长．利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案．【详解】解：∵点C的坐标为−2，点O在原点上，∴OC=2，又BC=1由勾股定理得：OB=O∴OA=OB=5即数轴上点A表示的实数是5，故选：D．【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（

）A．1 B．3 C．3−5 D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得AE=AB=3，然后通过勾股定理求出DE=5【详解】解：由题意可得，∠ADC=90°，AE=AB=3，∵AD2+D∴22∴DE=5∴CE=CD−DE=3−5故选：C．【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（

）A．−1+32 B．1−3 C．−1+【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键．根据正方形的面积求出AD=DC=1的长，再根据勾股定理求得AE=AC=2，再结合数轴确定点E【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴AD=DC=1，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧），∴AE=AC=2∵点A表示的数是1，∴点E所表示的数为1−2故选：D．题型九利用三边关系判定直角三角形【例9】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（

）A．9、12、16 B．41、40、9 C．1、2、3 D．6、8、10【答案】A可．【详解】解：选项A：92选项B：92选项C：12选项D：62【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（

）A．2，3，4 B．7，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足a2【详解】解：A、22B、72C、52D、62【变式2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1,1,2 B．5，12，13 C．3，5，7 【答案】C【分析】若三角形三边中，两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是，逐一验证即可得到答案．【详解】解：选项A：∵12+∴1选项B：∵52+∴5选项C：∵32+∴3选项D：∵1.52+∴1.5【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（

）A．a=2，b=3，c=4 B．a:b:c=5:12:13C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．∠A=∠B=∠C【答案】B【分析】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到结果．【详解】解：对选项A：∵a=2，b=3，c=4，∴a2+b∵13≠16，∴不能判定△ABC为直角三角形，不符合要求；对选项B：∵a:b:c=5:12:13，设a=5k，b=12k，c=13kk>0，∴a2+b∴a2∴能判定△ABC为直角三角形，符合要求；对选项C：∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴最大角∠C=5×15°=75°≠90°，∴不能判定△ABC为直角三角形，不符合要求；对选项D：∵∠A=∠B=∠C，三角形内角和为180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，△ABC是等边三角形，∴不能判定为直角三角形，不符合要求．题型十勾股数【例12】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．15，【答案】C【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可．【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；C、7，24，25都是正整数，且72D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．1,【答案】D【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得．【详解】解：A、32B、52C、72D、1,2故选：D．【变式2】下列各组数中，是勾股数的一组是（

）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．4，4，7 D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解．根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断．【详解】解：22勾股数是整数，0.3，0.4，0.5不是整数，故B不符合；4252故选：D．【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5【答案】D【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可．【详解】解：A、∵3不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意；B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意；C、∵52+132=25+169=194D、∵32题型十一勾股定理及其逆定理解决面积问题【例10】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12A．30m2 B．24m2 C．【答案】B【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接AC，由AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°利用勾股定理可求出AC的长，再根据AB=13m，BC=12【详解】解：连接AC，∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°∴AC∴AC=5m∵AB=13m，BC=12∴AB2=∴AB2=BC2∴这块地的面积为S△ABC故选：B．【变式1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（

）A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积．先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积．【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．∵52∴52∴这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．∴沙田的面积为12故选：A．【变式2】（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地ABCD，测得∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17A．104m2 B．114m2 C．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接AC，先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°，最后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD【详解】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m∴AC=A∵CD=8m，AD=17∴AC2+C∴AC∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°，∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，===54+60=114m∴这块菜地的面积为114m故选：B．【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在一块四边形ABCD空地上种植草皮，测得∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元【答案】C【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出AC=5m，再由勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°【详解】解：如图，连接AC，∵∠B=90°，AB=3m，BC=4∴AC=A∵CD=12m，AD=13∴AC∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=1∴学校要投入资金为：200×36=7200（元），故选：C．题型十二图形上与已知两点构成直角三角形的点【例11】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，．【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．【变式2】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（A．2个 B．4个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当AB是斜边时有四个Rt△ABC，当AB是直角边时有2个Rt【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选C．【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段H1（4）在图4中画出一个周长为32+10【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；（2）根据勾股定理画出边长为13的正方形，即可；（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；（4）根据勾股定理画出长为2，22，10【详解】（1）∵S△ABC∴△ABC即为所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=22∴正方形DEFG的面积为13；（3）HI=32（4）∵KL=12+12=且(∴△JKL是直角三角形，且周长为32【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型十三在网格中判断直角三角形【例12】（2025八年级上·上海·专题练习）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点A,B,C构成一个三角形，则这个三角形是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=【详解】解：∵设正方形地砖边长为1，∴ACABBC在△ABC中，∵AC2+A∴AC∴△ABC是直角三角形．故选：A．【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点A，B，C都在格点上，则下列说法不正确的是（

）A．AC=5 B．AB=25 C．∠BAC=90° 【答案】D【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用．先由勾股定理求解AB,AC,BC，再由勾股定理逆定理证明∠BAC=90°，即可求解△ABC的面积．【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，∴由勾股定理得，AC=1∴AC2+A∴AC∴∠BAC=90°，∴S△ABC故D错误，A、B、C正确，故选：D．【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（）A．AC=10 B．C．只有两条边长为无理数 D．AC边上的高为2【答案】C【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式．根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可．【详解】解：AC=1AB=12+则AB2+B设AC边上的高为h，则12×2故选：C．【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）在4×4的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理，求出三边的长；再根据勾股定理的逆定理，验证是否满足直角三角形．【详解】解：A、由勾股定理求得三边长分别为32+12=∵10∴构成直角三角形，故A选项符合题意；B、由勾股定理求得三边长分别为32+12=∵102∴不构成直角三角形，故B选项不符合题意；C、由勾股定理求得三边长分别为22+1∵132∴不构成直角三角形，故C选项不符合题意；D、由勾股定理求得三边长分别为22+22=∵132∴不构成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．题型十四勾股定理的实际应用【例12】（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高4.5米（即AB=CD=4.5米），施救点E距离地面的高度EC为19.5米，此时云梯的长度AE为25米．(1)求云梯底部A到楼房的距离AD．(2)消防员发现在E处上方9米的F处有人未撤离，为了救出F处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部A需沿AD方向前进多少米？【答案】(1)20米(2)13米【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．（1）根据已知求得ED=15，在Rt△ADE中，根据勾股定理，即可求得AD（2）根据勾股定理求得ND=7，根据AN=AD−ND，即可求解．【详解】（1）∵EC=19.5，CD=4.5，AE=25∴ED=EC−CD=19.5−4.5=15．在Rt△ADE中，AD=AE2答：云梯底部A到楼房的距离AD为20米．（2）由题意，得EF=9，NF=25由（1）可知ED=15∴FD=EF+ED=9+15=24．在Rt△FDN中，ND=FN2由（1）可知AD=20∴AN=AD−ND=20−7=13米答：云梯底部A需沿AD方向前进13米．【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点A为风筝所在的位置，BC为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离，测得BC长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米，小华的身高为1.8米．(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度AD．(2)如图2，若想要风筝沿DA方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线BC方向前进多少米？【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8米(2)他应该朝射线BC方向前进4米【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．（1）首先根据勾股定理求出AC=A（2）首先得到CE=AC+AE=7+8=15米，EF=AB=25米，然后根据勾股定理求出CF=E【详解】（1）解：Rt△ABCAC=A∴AD=AC+CD=7+1.8=8.8米，答：此时风筝离地面的垂直高度AD为8.8米；（2）解：CE=AC+AE=7+8=15米，由题意可得：EF=AB=25米，Rt△EFCCF=E∴BF=BC−CF=24−20=4米．答：他应该朝射线BC方向前进4米．【变式2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米．(1)求旗杆AB的高度；(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（3≈1.732【答案】(1)旗杆AB的高度为12米(2)小明需要后退约1.3米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC=x+8米，由勾股定理可得x（2）过E作EG⊥AB于点G，可证明AB∥DE，EG∥BD，BG=DE=2米，EG=BD，利用勾股定理求出EG的长，进而求出CD的长即可得到答案．【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为x米，则AC=x+8在Rt△ABC中，由勾股定理得A∴x2解得x=12，答：旗杆AB的高度为12米；（2）解：如图，过E作EG⊥AB于点G，由题意得，AB⊥BD，∴AB∥DE，又∵EG⊥AB，∴EG∥BD，∴BG=DE=2米，EG=BD，∴AG=AB−BG=12−2=10（米），由（1）可知，AE=AC=12+8=20（米），在Rt△AGE中，由勾股定理得EG=∴BD=103∴CD=BD−BC=103−16答：小明需要后退约1.3米．【变式3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB=500km，以台风中心为圆心周围250(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若海港C受台风影响，且台风影响海港C持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2)台风中心移动的速度为20【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）过点C作CD⊥AB于点D，通过勾股定理逆定理判断△ACB是直角三角形，利用面积法求出CD的长，比较CD与250km（2）设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，利用勾股定理求出ED的长度，进而得到EF的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：过点C作CD⊥AB于点D，如图：∵AC=300km、BC=400km∴A∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°∴即300×400=500CD∴CD=240∵240∴海港C受台风影响；（2）解：设台风中心移动到点E、F处时刚好影响海港，连接CE、CF，如图，∴EC=FC=250km时，正好影响海港C，在Rt△CDEED=∴EF=140∵台风影响海港C持续的时间为7小时∴140÷7=20∴台风中心移动的速度为20答：台风中心移动的速度20千米/小时．题型十五勾股定理的逆定理的实际应用【例13】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4km/h，且2h后分别到达A，B点，若A，B两点的直线距离为10km，甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（）A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°【答案】C．【分析】根据题意得到OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），根据勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°，根据平角的定义即可得到结论．【详解】解：∵甲、乙两位探险者的速度分别为3km/h、4km/h，且2h后分别到达A，B点，∴OA＝3×2＝6（km），OB＝4×2＝8（km），∵AB＝10km，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵甲探险者沿着北偏东30°的方向行走，∴乙探险者的行走方向可能是南偏东60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确地判断出∠AOB＝90°是解题的关键．【变式1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则30mA．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向【答案】A【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可．【详解】解∶如图，AB=50m，AC=40m∴AB2=∴AC∴∠ACB=90°，∵AC=40m∴BC=30m故选∶A．【变式2】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西50°方向航行，乙船同时从港口O出发，沿OA方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（

）A．南偏西40°方向B．西偏南50°方向C．西偏南40°方向 D．西南方向【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接AB，根据题意可得：AO=16（海里），BO=12（海里），AB=20（海里），∠AOM=50°，然后利用勾股定理逆定理得AB2=OA2【详解】解：如图：连接AB，由题意得：AO=16×1=16（海里），BO=1×12=12（海里），AB=20（海里），∠AOM=50°，∵202=16∴∠AOB=90°，∴∠BON=180°−90°−50°=40°，∴乙船航行的方向是南偏西40°方向，故选：A．【变式3】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价．【详解】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，当BD⊥AC时BD最短，造价最低．∵S△ABC=12AB•BC=12∴BD=AB⋅BCAC，即BD=5×12∴6013答：最低造价为1200万元．题型十六勾股定理及逆定理的综合应用【例3】已知：如图，在△ABC中，E是BC中点，D是AB上一点，F是AC上一点，若∠DEF=90°，且∠BAC=90°，求证：BD【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．如图：延长FE到G使GE=FE，连接DG，BG证△BEG≌△CEF，推出BG=FC，【详解】证明：如图：延长FE到G使GE=FE，连接BG，DG，∵E是BC中点，∴BE=CE，在△BEG和△CEF中，BE=CE∠BEG=∠CEF∴△BEG≌∴BG=CF，∴BG∥∴∠GBD+∠BAC=180°，∴∠GBD=90°，∴BG∵DE⊥EF，∴DG=DF，∴BD【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD=3，BD=1，∠ACB=30°(1)求证∠BAC=90°；(2)若CP平分∠ACB交AB于点P，求AP的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，证明∠BAC=90°是解题的关键．（1）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AB，AC，（2）过点P作PE⊥BC于点E，由角平分线的性质得到AP=EP，根据S△ABC【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AD=3，∴AB=A在Rt△ACD中，∠ACB=30°，AD=∴AC=2AD=23∴CD=A∴BC=BD+CD=1+3=4，∵AB∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；（2）解：如图所示，过点P作PE⊥BC于点E，∵CP平分∠ACB，PE⊥BC，∠BAC=90°，∴AP=EP，∵S△ABC∴12∴12∴AP=43【变式2】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；证明∠CPE＝45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP＝60°；其次证明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90°PC＝EC＝2；BE＝PA＝3；由勾股定理得：PE2＝22+22＝8；∵PB2＝1，BE2＝9，∴BE2＝PE2+PB2，∴∠BPE＝90°，∵∠CPE＝45°，∴∠BPC＝135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3；∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+CQ2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝∠AQC＝150°．【变式3】【问题背景】（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥DB；【变式迁移】（2）如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，点E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使ED=FD，连接AF，若BE⊥AF，请判断AF、BE、BC三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF=9，CF=3，请直接写出【答案】（1）见解析；（2）AF2【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．（1）通过证明△PAC≌△PBDSAS即可证明AC（2）连接CE，根据条件证明△ADF≌△CDESAS可得∠FAD=∠ECD,AF=CE，进而得到BE⊥CE（3）延长FD到T，使DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，即可证明△ADF≌△BDTSAS，利用全等三角形的性质可得△AFC≌△CJB【详解】（1）证明：∵点P是线段AB，CD的中点，∴AP=PB,DP=CP，∵∠APC=∠BPD，∴△PAC≌△PBDSAS∴∠A=∠B，∴AC∥（2）解：连接CE，如图，

∵△ABC是等腰三角形，BD是底边AC上的高线，∴AD=DC，∵ED=FD，∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDESAS∴∠FAD=∠ECD,AF=CE，∴AF∥CE，∵BE⊥AF，∴BE⊥CE，∴CE∴AF（3）解：延长FD到T，使DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，如图，

∵点D为AB中点，∴AD=BD，∵DT=DF，∠ADF=∠BDT，∴△ADF≌△BDTSAS∴AF=BT=9，∠T=∠AFD，∴AF∥BT，∵AF⊥CJ，∴BT⊥CJ，∴∠AFC=∠CJB=∠ACB=90°，∵∠ACF+∠BCJ=90°，∠CBJ+∠BCJ=90°，∴∠ACF=∠CBJ，∵AC=BC，∴△AFC≌△CJBAAS∴CF=BJ=3,AF=CJ，∴CJ=BT=9，∴FJ=JT=9−3=6，∵∠FJT=90°，∴FT=2∴DF=1题型一巧添辅助线构造直角三角形【例1】如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝．【答案】4.5．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后根据角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答．【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AC2+BC2＝92+122＝225，AB2＝152＝225，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，∴12AC•BC=12AC•CD+1∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE，∴9×12＝9CD+15DE，∴CD＝DE＝4.5，故答案为：4.5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为．【答案】30．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE＝13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE＝90°，即可求解．【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．在△ADC与△EDB中，AD=DE∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝13．S△BDE＝S△ADC，∴S△ABE＝S△ABC，在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，∴AB2+AE2＝BE2，∴∠BAE＝90°．∴S△ABC＝S△ABE=12×AB故答案为：30．【变式2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接AC．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2，∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．（2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，∵∠ABC＝90°，∴AC2＝18k2，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，∴18k2＝172+k2，∴k=17∴CD=17，AB＝BC＝317∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+717．【变式3】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝；（2）分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积．【答案】（1）14﹣x；（2）84．【分析】作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理可得132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，计算出x的值，再由勾股定理求出AD的长即可得出三角形ABC的面积．【详解】解：（1）作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得x＝9；（3）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=A∴S△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型二勾股定理与折叠问题【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=10，BC=8，点E为线段AD延长线上的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F恰好落在直线CD上时，则DE的长为（

）A．8 B．10 C．14 D．12【答案】D【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得BF=AB=10，根据勾股定理求得BF，进而在Rt△DFE中，E【详解】解：∵在长方形纸片ABCD中，AB=10，BC=8，∴CD=AB=10,AD=BC=8，∠BCF=∠ACD=∠ADC=∠EDF=90°∵把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F恰好落在直线CD上∴BF=AB=10，在Rt△BCF中，∴DF=DC+CF=10+6=16，设DE=x，则EF=AE=AD+DE=8+x，在Rt△DFE中，∴8+x解得：x=12，即DE的长为12，故选：D．【变式1】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=25，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，交BC于点G，则DE的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根据折叠得到AD=AB=15，DE=CE，∠EDG=∠C，∠B=∠ADB，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出∠ADE=90°，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠性质得：AD=AB=15，DE=CE，∠EDG=∠C，∠B=∠ADB，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°∴∠ADB+∠EDC=90°∴∠ADE=180°−∴A∵AC=AE+CE=25，∴AE+DE=25，∴AE=25−DE，∴15∴DE=8．【变式2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形ABCD中，CD=6,AD=8．将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】根据勾股定理可得AC的长，再由折叠的性质可得CF=CD=6,EF=DE，∠CFE=∠D=90°，从而得到AF=AC−CF=4，∠AFE=90°，设EF=DE=x，则AE=8−x，在Rt△AEF【详解】解：在长方形ABCD中，CD=6,AD=8，∠D=90°，∴AC=A由折叠的性质得：CF=CD=6,EF=DE，∠CFE=∠D=90°，∴AF=AC−CF=4，∠AFE=90°，设EF=DE=x，则AE=8−x，在Rt△AEF中，∵A∴8−x2解得：x=3，即EF=3．【变式3】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜边上的点A′处，再沿DE折叠，使点B落在DA′的延长线上的点B′处．若图中∠A=90°，DE=3cm【答案】12【分析】根据折叠的性质可得出∠CDE=90°，再利用勾股定理求出CE=5cm【详解】解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点A落在斜边上的点A′处，∴∠DA′C=∠A=90°∴DA∵再沿DE折叠，使点B落在DA′的延长线上的点B∴∠ADA′+∠BD∴∠CDE=∠A∵DE=3cm，CD=4∴CE=D∵S△CDE∴DA题型三分类讨论思想在勾股定理中的应用【例3】△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【答案】D．【分析】由勾股定理求出BD、CD的长，再分两种情况分别计算即可．【详解】解：如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝20，AD＝12，∴BD=A又∵AC＝13，∴CD=A∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面积=1如图2，BC＝BD﹣CD＝11，∴△ABC的面积=1综上所述，△ABC的面积为126或66，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．【变式1】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．【答案】10或310【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案．【详解】解：若△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，∵12AB•CD=∴CD＝3，∴由勾股定理可知：AD＝4，∴BD＝1，∴BC=10若△ABC是钝角三角形时，同理可求出得BC＝310，故答案为：10或310【变式2】如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．4【答案】C．【分析】注意题目表述为射线DC，所以分为两种情况，一种是点E在线段DC上，另一种是点E在DC的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：①如图1，当点E在线段DC上时，∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，∴B，D′，E三点共线，∵S△ABE=12×AB×AD=1∴BE＝AB＝5，∵BD′=A∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；②如图2，当点E在DC的延长线上时，∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴BD′＝4，设CE＝x，则：D′E＝DE＝x+5，∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，∵CE2+BC2＝BE2，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，综上，DE的值为1或9．故选：C．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是分两种情况讨论，特别时第二种比较容易遗漏．【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．（1）求AC与AB的长．（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．【分析】（1）由勾股定理直接求得AC，设AB＝x，由勾股定理列出x的方程，便可求得AB；（2）分三种情况：AP＝AD；AP＝DP；AD＝DP．分别进行解答便可．【详解】解：（1）由勾股定理得，AC=A设AB＝BC＝x，则BD＝x﹣1，在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2﹣（x﹣1）2＝32，解得x＝5，∴AB＝5；（2）当AP＝AD＝3时，，△ADP为等腰三角形；当AP＝DP时，如图，∴