人教版八年级数学下册期末复习 专题06 一次函数6考点17题型3易错4方法(期末复习知识清单)

专题06一次函数一、一次函数的概念2、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．其中x是自变量，特别地当b=0时，y＝kx+b即y＝kx，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．二、正比函数的图象与性质1、正比例函数的图象：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.2、正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．k越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.三、一次函数的图象与性质1、一次函数图象的画法：两点法：经过两点（0，b）、（−bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．2、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．k越大,y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.3、一次函数图象与系数的关系直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点.当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴上，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；4、一次函数图象的平移将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；四、一次函数的应用1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；得出结果.五、一次函数的方程、不等式的关系1、一次函数与一元一次方程的关系从“数”的角度看:求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.2、一次函数与二元一次方程（组）的关系从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．题型一正比例函数的定义【例1】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（

）A．y=x2 B．y=1x C．【答案】C【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数．根据正比例函数的定义逐一判断即可．【详解】解：A．y=xB．y=1C．y=2x，符合正比例函数的定义，是正比例函数；D．y=2x−1，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数；故选：C．【变式1】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（

）A．y=x+1 B．y=2x−3 C．y=x2 【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如y=kx，其中k为常数且k≠0），对各选项逐一判断.【详解】解：∵正比例函数的定义为形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，∴对各选项分析如下：A选项y=x+1含有常数项1，不符合正比例函数定义；B选项y=2x−3含有常数项−3，不符合正比例函数定义；C选项y=x2中自变量x的次数为D选项y=x可表示为y=1⋅x，其中k=1≠0，符合正比例函数定义；故答案选：D．【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期末）已知函数y=3x+k−1是正比例函数，则k的值为______．【答案】1【分析】根据正比例函数的定义，列出关于k的方程，求解即可得到k的值．【详解】解：∵函数y=3x+k−1是正比例函数，∴k−1=0，∴k=1．【变式3】（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数y=m+1x−m2+1（【答案】1【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为y=kxk≠0，因此常数项必须为0且x【详解】解：∵函数y=m+1x−m∴−m解得m=1，故答案为：1．题型二一次函数的定义【例2】3．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（

）A．y=x2−2xC．y=1x−3 【答案】B【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【详解】解：A、y=x2−2xB、y=xC、y=1D、y=x【变式1】（25-26八年级下·福建南平·期中）下列函数关系式：①y=−x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④y=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①y=−x是一次函数；②y=2x+11是一次函数；③y=x2+x+1其中一次函数的个数是2个．【变式2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）要使y=m−1xm−2−4是关于x的一次函数，则【答案】3【分析】此题考查一次函数的定义，由一次函数定义，得m−2=1且m−1≠0，解得m=3或m=1【详解】解：由一次函数定义，得m−2=1且m−1≠0解得m=3或m=1，当m=1时，m−1=0，不符合条件；当m=3时，m−1=2≠0，符合条件；∴m=3，故答案为：3．【变式3】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知函数y=(m−2)x|m|−1−3是关于x的一次函数，则【答案】−2【分析】本题考查的是一次函数的定义，由定义可得m−2≠0，且m−1=1【详解】解：函数y=(m−2)x|m|−1−3则m−2≠0，且m−1=1解得m=−2，故答案为：−2．题型三求一次函数自变量或函数值【例3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）已知点A1,a在一次函数y=−x+3的图象上，则a的值为（

A．−4 B．−2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数解析式，将点A的横坐标代入解析式即可求出a的值．【详解】解：∵点A1,a在一次函数y=−x+3∴将x=1代入一次函数y=−x+3，得a=−1+3=2，即a的值为2．【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点Pa,b在直线y=2x+1上，则代数式4a−2b+1A．3 B．−1 C．2 D．0【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点Pa,b代入直线解析式得到a与b【详解】解：∵点Pa,b在直线y=2x+1∴b=2a+1，∴2a−b=−1，∴4a−2b+1=2=2×=−2+1=−1．故选：B．【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点Pa,b在一次函数y=2x+5的图象上，则2a−b=_____【答案】−5【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入函数解析式，变形即可求出所求代数式的值．【详解】∵点Pa,b在一次函数y=2x+5∴将点Pa,b坐标代入y=2x+5，得b=2a+5移项整理得：2a−b=−5．【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）若点Pa,b在函数y=3x+2的图象上，则代数式−6a+2b+2的值为____【答案】6【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，关键是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，得到a与b的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值．【详解】解：∵点Pa,b在函数y=3x+2∴得b=3a+2，即b−3a=2，∴−6a+2b+2=2(b−3a)+2=2×2+2=4+2=6；故答案为：6．题型四正比例函数的图象与性质【例4】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数y=2x的图像上的是（

）A．1,4 B．−2,−1 C．−1,−2 D．2,1【答案】C【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=2×1=2≠4，∴此点不在y=2x的图像上．B、∵当x=−2时，y=2×(−2)=−4≠−1，∴此点不在y=2x的图像上．C、∵当x=−1时，y=2×(−1)=−2，∴此点在y=2x的图像上．D、∵当x=2时，y=2×2=4≠1，∴此点不在y=2x的图像上．【变式1】若正比例函数y=kx图象经过第二、四象限，且过点A2a,−8和B−2,a，则k的值为（A．2 B．−2 C．2 D．−【答案】D【分析】先根据正比例函数图象经过二、四象限，确定k<0，再将两点坐标代入解析式得到关于a、k的方程组，通过代入消元法求出k2的值，结合k的正负取值，最终确定k【详解】解：∵正比例函数y=kx图象经过第二、四象限，∴k<0，∵点A(2a,−8)和B(−2,a)都在y=kx上，坐标满足函数解析式：代入A点：−8=k⋅2a，化简得ak=−4，代入B点：a=k⋅(−2)，化简得a=−2k，把a=−2k代入ak=−4得：(−2k)⋅k=−4，整理得：k2结合k<0，得k=−2【变式2】一个正比例函数的图象经过1,m，m,4两点，且过第一、三象限，则这个正比例函数的图象一定也经过点（

）A．2,1 B．−2,1 C．−1,2 D．−2,−4【答案】D【分析】先设正比例函数的解析式，根据已知两点坐标列方程求出比例系数，结合函数过第一、三象限确定比例系数的取值，得到函数解析式后验证选项即可得到结果．【详解】解：设正比例函数为y=kx，∵正比例函数的图象过第一、三象限，∴k>0，将点1,m，m,4代入y=kx，得，m=k4=mk解得k=2m=2∴正比例函数为y=2x，当x=2时，y=4，∴点2,1不在y=2x的图象上；当x=−2时，y=−4，∴点−2,−4在y=2x的图象上；点−2,1和点−1,2在第二象限，不符合题意；综上，这个正比例函数的图象一定也经过点−2,−4．【变式3】（24-25八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数y=12xA．图象是一条双曲线 B．图象必经过点−1,2C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查正比例函数y=12x【详解】解：选项A：正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线，而非双曲线（双曲线是反比例函数的图象），因此A错误；选项B：将x=−1代入函数，得y=12×−1=−选项C：系数k=12>0选项D：由于k=12>0，函数中y故选：C题型五判断一次函数的图象【例5】（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k<0，∴一次函数y=x+k中，1>0，b=k<0，∴该函数图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有B选项符合题意．【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足ab<0，a>b，则函数y=−ax+b的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用ab<0，a>b得到a>0，b<0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．【详解】解：∵实数a，b满足ab<0，a>b，∴a>0，b<0，∴−a<0，∴函数y=−ax+b的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方．故选：B．【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知点Pm,n，Qm+1,n−2都在一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（A．B．C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据点P、Q的坐标关系，可求解出k=−2，即可排除C、D，结合当k<0时，k的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项．【详解】解：将点Pm,n，Qm+1,n−2代入一次函数表达式得n=km+bn−2=km+1+b即k<0，且k<−1，观察各选项图象，选项A、B满足k<0，∵当k<0时，k的值越小，一次函数所表示的直线越陡，选项A中满足k<−1，选项B满足−1<k<0，故判断出选项A满足题意要求，故选：A．【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y=kxk≠0和y=−kx+kA． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数y=−kx+kk≠0【详解】解：y=−kx+k=−kx−1，一次函数y=−kx+k过点（A、一次函数y=−kx+k过点（1,0)由一次函数的图象可得−k<0，即k>0，而正比例函数图象可得k<0，不合题意；B、一次函数y=−kx+k不过点（1,0)C、一次函数y=−kx+k不过点（1,0)D、一次函数y=−kx+k过点（1,0)由一次函数的图象可得−k>0，即k<0，而正比例函数图象可得k<0，符合题意．故选：D．题型六一次函数图象与坐标轴的交点问题【例6】23．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数y=x−3的图象与x轴的交点坐标是（

）A．3,0 B．−3,0 C．0,3 D．0,−3【答案】A【分析】本题考查一次函数图象与x轴交点坐标的求法，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题关键，只需将y=0代入函数解析式求解x即可得到交点坐标．【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0∴将y=0代入y=x−3中，得0=x−3，解得：x=3，∴该一次函数图象与x轴的交点坐标是3,0．故选：A．【变式1】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）直线y=−2x+6与x轴的交点坐标为（

）A．0,6 B．3,0 C．−3,0 D．6,0【答案】B【分析】把y=0代入即可求出直线y=−2x+6与x轴的交点坐标．【详解】解：当y=0时，0=−2x+6，∴x=3，即直线y=−2x+6与x轴的交点坐标为(3,0)．【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y=3x+2的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（

）A．0,−4 B．0,4 C．0,−2 D．0,2【答案】A【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及函数图象与y轴交点的求法．先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再令x=0求出y的值，即可得到交点坐标．【详解】解：∵一次函数y=3x+2的图象向右平移2个单位长度，∴平移后的函数解析式为y=3x−2对于y=3x−4，令x=0，则y=3×0−4=−4，∴平移后的图象与y轴的交点坐标为0,−4，故选：A．【变式3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值．【详解】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），∴2k+b=6−4k+b=−3解得k=3所以一次函数的表达式为：y=32（2）将直线AB向下平移5个单位后得到y=32x+3﹣5，即y=∵经过点（m，﹣5），∴﹣5=32解得m＝﹣2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象题型七一次函数图象的平移问题【例7】（25-26八年级上·河南开封·期末）直线y=2x−b沿着y轴向上平移5个单位长度后，经过点A−2,0，则b的值为（

A．−1 B．1 C．−9 D．9【答案】B【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，利用“上加下减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将已知点代入解析式求解b的值即可．【详解】解：∵直线y=2x−b沿y轴向上平移5个单位长度，∴平移后的直线解析式为y=2x−b+5，∵平移后的直线经过点A−2,0∴0=2×−2∴b=1．故选：B．【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）将函数y＝kx+4的图象向右平移m个单位，得到函数y＝3x+3的图象．则m的值为（）．A．13 B．1 C．±1 D．【答案】A【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，掌握好平移的规律是关键．利用“左加右减”的平移法则得到平移后的解析式，再根据对应系数相等列方程求解即可．【详解】解：∵一次函数图象平移遵循“左加右减”（针对自变量x）的法则，∴将函数y=kx+4的图象向右平移m个单位后，解析式为y=k(x−m)+4=kx−km+4，又∵平移后得到函数y=3x+3，∴k=3，且−km+4=3，∴−3m+4=3，解得m=1故选：A．【变式2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线y=2x−1向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________.【答案】y=2x+1【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：直线y=2x−1向上平移2个单位，所得直线的函数表达式为y=2x−1+2=2x+1．【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）请写出直线y=−3x+4关于y轴对称的直线解析式为______．【答案】y=3x+4【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握直线关于y轴对称点的特点是关键．先求得y=−3x+4经过43,0，0,4，设直线y=−3x+4关于y轴对称的直线解析式为y=kx+bk≠0，根据关于y轴对称点的特点得出y=kx+bk≠0经过点【详解】解：∵y=−3x+4，当y=0时x=43，当x=0∴y=−3x+4经过43,043,0关于y设直线y=−3x+4关于y轴对称的直线解析式为y=kx+b∴y=kx+bk≠0线经过点−4∴b=4解得：k=3∴y=3x+4故答案为：y=3x+4．题型八一次函数图象与对称问题【例8】（

）A．1 B．−1 C．3 D．−3【答案】B【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值．【详解】解：∵点x,y关于y轴对称的点为−x,y，对称后的图象经过点1,−3，∴原函数图象上对应点的坐标为−1,−3，将−1,−3代入y=kx−4，得−3=k×−1解得k=−1．【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·月考）已知一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，则一次函数的表达式为________．【答案】y=−x−2【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线y=x+2与y轴的交点为0,2，与x轴的交点为−2,0，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为0,−2，与x轴的交点为−2,0，然后利用待定系数法求解即可．【详解】解：y=x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2，∴直线y=x+2与y轴的交点为0,2，与x轴的交点为−2,0，∵一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，∴一次函数与y轴的交点为0,−2，与x轴的交点为−2,0，设一次函数的解析式为y=mx+n，把0,−2，−2,0代入得，n=−2−2m+n=0解得：m=−1n=−2所以，一次函数的解析式为：y=−x−2．故答案为：y=−x−2．【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数y1与y2的“对偶值”．那么函数y1【答案】−2【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的性质．根据“对偶值”的定义，点P在函数y1=2x+4上，点Q在函数y2=−x+1上，且P与Q关于y轴对称，因此它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数．设点则点Q的坐标为−a,2a+4，代入y2=−x+1求出a=−3，再求【详解】解：设点P的坐标为a,2a+4，由于点P与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为−a,2a+4，又∵点Q在函数y2∴2a+4=−−a即2a+4=a+1，解得a=−3，则对偶值为2×−3故答案为：−2．题型九一次函数图象与旋转问题【例9】已知一次函数y=−12x+2的图象，绕x轴上一点Pm,0旋转180°，所得的图象经过A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】C【分析】先求出直线y=−12x+2与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点Pm,0旋转【详解】解：对于一次函数y=−12x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，∴一次函数y=−12x+2的图象与坐标轴的交点坐标为0,2故图象绕x轴上一点Pm,0旋转180°后的新坐标2m,−2，2m−设新解析式为y=kx+b，根据题意，得2mk+b=−22m−4解得k=−1故函数的解析式为y=−12又图象经过0,−1，∴−1=m−2解得m=1．【变式1】（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线l1:y=−x+6经过点A1,a，将l1绕A点顺时针旋转90°，得到直线l2．点Bm,n在l2A．−2 B．0 C．5 D．6【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点A1,a在直线y=−x+6上求出a=5，根据点A的坐标是1,5，所以当m>1时，n>5，即可知n的值可以是6【详解】解：如下图所示，过点A作AM⊥x轴，当x=1时，y=−x+6=5，∴点A的坐标是1,5，由直线l2的图像可知y随x∴当m>1时，n>5，∴n的值可以是6．故选：D．【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−32x+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与A．（0，﹣1） B．（0，−43） C．（0，−23）【答案】B．【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标．【详解】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，∵直线y=−32x+3分别与x轴y轴交于点A和点∴A（2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，∵AB⊥AC，∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA，∴∠DAB′＝∠OBA，∵AB＝B′A，∵∠ADB′＝∠BOA＝90°，∴△AOB≌△DB′A（AAS），∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，∴B′（﹣1，﹣2），∴直线AB′y=23x∴C（0，−4故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键．【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数y=kx+k+1（k为常数）的图象绕原点顺时针旋转90°，所得图象与y轴交于点0,m，当m>2时，k的取值范围是________．【答案】0<k<1【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数y=kx+k+1中，令y=0，则x=−k+1k，当一次函数绕原点顺时针旋转90°后，则−k+1k,0的对应点为0,k+1k【详解】解：在一次函数中y=kx+k+1，令y=0，则x=−k+1∴直线y=kx+k+1经过点−k+1将一次函数y=kx+k+1的图象绕原点顺时针旋转90°，则−k+1k,0∵旋转后图象与y轴交于点0,m，∴m=k+1∵m>2，∴k+1k当k>0时，k+1>2k，解得k<1，即0<k<1；当k<0时，k+1<2k，解得k>1，与k<0矛盾，无解；∴k的取值范围是0<k<1，故答案为：0<k<1．题型十判断一次函数的增减性【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A−2,y1，B1,y2均在直线y=−kx+bk≠0上．若A．−3 B．−2 C．−1 D．2【答案】D【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意可知，y随着x的增大而减小，进一步得到k>0，即可求出答案．【详解】解：∵点A−2,y1，B1,y2均在直线y=−kx+b∴y随着x的增大而减小，∴−k<0，∴k>0，∴k的值可以为2，故选：D．【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若一次函数y=k+1x的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（A．－1 B．0 C．－2 D．2【答案】C【分析】本题考查一次函数的性质，对于y=mx，当m<0时，y随x的增大而减小．根据一次函数的性质，当k+1小于0时，函数值y随x的增大而减小，列不等式计算即可．【详解】解：∵函数y=k+1x的函数值y随∴k+1<0，即k<−1，观察选项，k=−2<−1，符合条件，故选：C．【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数y=m+2x−3，y随x增大而增大，则m的取值范围是【答案】m>−2【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值y随x的增大而增大，列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x的一次函数y=m+2x−3中，y随∴m+2>0，解得m>−2．故答案为：m>−2．【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期末）若点A−1,y1，B2,y2都在一次函数y=a−3【答案】a>3【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的性质，判断一次函数y=kx+b中k的正负即可．【详解】解：∵点A(−1,y1)和点B(2,y2又∵2>−1，∴y随x的增大而增大，∴a−3>0，∴a>3，故答案为：a>3．题型十一一次函数的性质【例14】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）关于函数y=−2x+1，下列结论正确的是(

)A．函数必经过点(−2,1) B．y随x的值增大而增大C．与x轴交于0,1 D．图象经过第一、二、四象限【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质，逐一验证各选项即可得到答案.【详解】解：函数为y=−2x+1，其中k=−2，b=1，∵当x=−2时，y=−2×(−2)+1=5≠1，∴函数不经过点(−2,1)，A错误；∵k=−2<0，∴y随x的值增大而减小，B错误；∵函数与x轴相交时y=0，令y=0得0=−2x+1，解得x=1∴函数与x轴交于(1∵k=−2<0，b=1>0，∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确.【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数y=2x−8，下列结论正确的是（

）A．函数图象经过点(1,−4)B．函数图象与y轴的交点坐标是(0,8)C．函数的图象不经过第一象限D．函数图象向左平移4个单位得到函数y=2x的图象【答案】D【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案．【详解】A、当x=1时，y=2×1−8=−6≠−4，函数图象不经过点1,−4，此选项错误，不符合题意；B、当x=0时，y=2×0−8=−8，函数图象与y轴的交点坐标是0,−8，此选项错误，不符合题意；C、在y=2x−8中，k=2>0，b=−8<0，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为y=2x+4故选：D．【变式2】下列关于一次函数y=1A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第二象限C．图象经过点6,0 D．图象与y轴的交点坐标是0,3【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断选项A，B，求出x=6时的函数值，即可判断选项C，把x=0代入解析式，求出函数值即可得到图象与y轴的交点坐标，即可判断选项D．【详解】解：A选项：∵一次函数y=12x−3∴y随x的增大而增大，故本选项正确；B选项：∵一次函数y=12x−3中，∴一次函数图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故本选项正确；C选项：当x=6时，y=1∴图象经过点6,0，故本选项正确；D选项：当x=0时，y=∴图象与y轴的交点坐标是0,−3，不是0,3，故本选项错误．【变式3】关于一次函数y=−3x+5，下列说法正确的是（

）A．图像与x轴的交点0,5B．y随着x的增大而增大C．图像经过第一、二、四象限D．其图像可由y=3x的图像向上平移5个单位长度得到【答案】C【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可．【详解】解：A．令y=0，得−3x+5=0，解得x=53，因此图象与x轴交点为B．∵一次函数y=−3x+5中k=−3<0，∴y随x的增大而减小，B错误，不符合题意．C．∵k=−3<0，b=5>0，∴图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意．D．y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=−3x+5，D错误，不符合题意．题型十二根据一次函数增减性求参数【例11】已知一次函数y=(k−2)x+1，y随x的增大而减小，则k的取值范围是(

)A．k>2 B．k<2 C．k≥2 D．k≤2【答案】B【分析】一次函数y=mx+b(m≠0)中，当m<0时，y随x的增大而减小，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵一次函数y=(k−2)x+1中，y随x的增大而减小∴一次项系数满足k−2<0解不等式得k<2．【变式1】已知点−2,y1和4,y2都在直线y=k−5x+4上，若A．k>0 B．k<0 C．k>5 D．k<5【答案】C【分析】本题利用一次函数的增减性求解，根据x和对应y的大小关系，判断一次函数一次项系数的正负，进而求出k的取值范围．【详解】解：∵已知−2<4，且y1<y∴y随x的增大而增大，可得一次项系数大于0，即k−5>0，解得k>5．【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数y=mx+1−3x，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（

）A．m>0 B．m<0 C．m<3 D．m>3【答案】C【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据y随x增大而减小的性质列不等式求解即可．【详解】首先整理一次函数得y=mx+1−3x=∵一次函数y随x的增大而减小，∴一次项系数m−3<0，解不等式得m<3．故选C．【变式3】若一次函数y=（m+1）x+m−2的图像不经过第二象限，则m的取值范围是__________．【答案】−1<m≤2【分析】由一次函数y=(m+1)x+m−2的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可．【详解】解：一次函数y=(m+1)x+m−2的图象是直线且不经过第二象限，因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限，有：m+1>0m−2≤0，解得，−1<m≤2题型十三比较一次函数的值的大小【例12】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知点A−3,y1，B2,y2都在正比例函数y=−1A．y1>y2 B．y1【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．根据正比例函数的k值判断函数的增减性，再结合两点的横坐标大小比较函数值即可.【详解】解：∵正比例函数解析式为y=−13∴y随x的增大而减小∵点A−3,y1，∴y1故选：A．【变式1】已知一次函数y=2x+1，点x1,y1,A．y1>y2 B．y1【答案】C【分析】根据一次函数解析式中k的符号判断y随x的变化规律，结合x的大小关系即可得到y的大小关系.【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2>0，∴y随x的增大而增大.∵x1<x∴y1【变式2】Ax1,y1，BA．x1−xC．x1−x2【答案】C【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数y=−4x+5的性质，函数y=−4x+5中，y随x的增大而减小，通过分类讨论进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y=−4x+5中k=−4<0，∴y随x的增大而减小，当x1<x∴x1−∴x1当x2<x∴x1−∴x1综上所述，x1【变式3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点−2,y1，−1,y2，1,y3都在直线y=−3x+bA．y3>y1>y2 B．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可．【详解】解：∵直线y=−3x+b中，k=−3<0，∴y随着x的增大而减小．∵−2<−1<1，∴y1故选：B．题型十四求一次函数的解析式【例13】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数的图象经过A(−2,1)，B(2,3)两点．(1)求这个一次函数的关系式；(2)试判断点(4,5)是否在这个一次函数的图象上并说明理由．【答案】(1)y=1(2)不在，理由见解析．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键．（1）利用待定系数法，将点A(−2,1)，B(2,3)代入一次函数y=kx+b，解方程组求k和b即可；（2）将点(4,5)的横坐标代入函数解析式，计算y值，与点的纵坐标比较即可判断．【详解】（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b，由条件可得：−2k+b=12k+b=3，解得k=∴这个一次函数的关系式为y=1（2）解：点4,5不在y=1当x=4时，y=1∴点4,5不在一次函数y=1【变式1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）已知y是x的一次函数，且当x=4时，y=9；当x=6时，y=−1．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x=−12时，求【答案】(1)y=−5x+29(2)31.5【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）设这个一次函数的表达式为y=kx+b，利用待定系数法求解；（2）将x=−1【详解】（1）解：设此一次函数的表达式y=kx+b，将x=4，y=9；x=6，y=−1分别代入此表达式，即9=4k+b−1=6k+b解得：k=−5b=29∴此一次函数的表达式为y=−5x+29；（2）解:由（1）知，y=−5x+29；则当x=−12【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点2,−1,(1)求一次函数的表达式；(2)将一次函数的图象向左平移___________个单位长度恰好经过坐标原点．【答案】(1)y=−2x+3(2)3【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答．（2）先理解题意，设将一次函数的图象向左平移r个单位长度恰好经过坐标原点，故y=−2x+r+3，再把0,0代入y=−2x+r【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为y=kx+bk≠0依题意，把点2,−1,0,3代入得−1=2k+b3=k×0+b解得k=−2b=3∴y=−2x+3；（2）解：由（1）得y=−2x+3，设将一次函数的图象向左平移r个单位长度恰好经过坐标原点，∴y=−2依题意，把0,0代入y=−2x+r得0=−2解得r=3∴一次函数的图象向左平移32【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,−1，且与直线y=2x(1)求该一次函数的解析式；(2)试判断点1,4是否在此函数图象上，说明理由．【答案】(1)y=2x+3(2)点1,4不在此函数图象上，理由见解析【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（1）根据题意可得k=2，再利用待定系数法求解即可；（2）求出x=1时的函数值即可得到答案．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b与直线y=2x平行，∴k=2，∵一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,−1∴−2k+b=−1，即−2×2+b=−1，∴b=3，∴该一次函数解析式为y=2x+3；（2）解：点1,4不在此函数图象上，理由如下：在y=2x+3中，当x=1时，y=2×1+3=5，∴点1,4不在此函数图象上．题型十五一次函数与方程【例15】如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点Pm,2，则关于x的方程kx+b=2x的解是（

A．x=12 B．x=1 C．x=2 【答案】B【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键．根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可．【详解】解：把点Pm,2代入y=2x与y=kx+b∴2m=2，∴m=1，∴P1,2∵直线y=2x与y=kx+b相交于点P，∴关于x的方程kx+b=2x的解是x=1，故选：B．【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，直线y=mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n=0的解是（

）A．x=3 B．x=−4 C．x=0 D．x=−1【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线y=mx+n过点B(−4,0)，即可得解．【详解】解：∵直线y=mx+n过点B(−4,0)，∴关于x的方程mx+n=0的解是x=−4．故选：B．【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，两条直线l1:y=x+b和l2:y=kx+2相交于点A−2,3，作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线lA．x=−2y=−3 B．x=−12y=−7 C．x=−14y=−9【答案】C【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确“两直线的交点坐标就是对应方程组的解”．先求出直线l1:y=x+5，直线l2:y=−12x+2，再求出直线l2:y=−12x+2与x轴交于点4,0，由作直线l2【详解】解：∵直线l1:y=x+b和l2∴3=−2+b,3=−2k+2，解得b=5,k=−1∴直线l1:y=x+5，直线令y=−12x+2=0∴直线l2:y=−12x+2作直线l2:y=kx+2关于x轴对称的直线l3:y=mx−2，则直线将点4,0代入l3:y=mx−2，则解得m=1∴直线l3解方程组y=x+5y=解得x=−14y=−9故选：C．【变式3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y=k1x+b1的图象中，yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与二元一次方程组的关系．关键是：一次函数的增减性由k的正负决定，b是函数图象与y轴交点的纵坐标；一元一次方程k2x+b2=0【详解】解：①∵一次函数y=k∴k1<0，y的值随着②∵一次函数y=k1x+b1的图象与y∴b1>0，b2③∵一次函数y=k2x+b2∴当y=0时，x=1，即方程k2x+b④∵两个一次函数的图象交点坐标为(2,1∴方程组k1x+b综上，4个结论均正确，故选：D．题型十六一次函数与不等式【例16】（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数y=kx+b的图像如图所示，那么下列说法错误的是（

）A．k<0 B．b=3C．当x>2时，y>0 D．当y>3时，x<0【答案】C【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数y=kx+b中k、b的几何意义进行判断即可．【详解】解：由图象可知，直线经过点(0,3)和(2,0)，且y随x的增大而减小，∴k<0，故A选项说法正确；∵图象与y轴交于点(0,3)，∴b=3，故B选项说法正确；观察图象可知，当x>2时，图象位于x轴下方，即y<0，故C选项说法错误；当y>3时，图象位于y轴左侧，即x<0，故D选项说法正确．【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点A−1,2，若y>2，则x的范围是（A．x>−1 B．x<0 C．x<2 D．x>−2【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想．根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可．【详解】解：由图象可知，当y>2时，x>−1，故选：A．【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是（

）A．x<3 B．x≥2 C．x≤2 D．【答案】C【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当kx+b≥0时，函数的图象在x轴的上方，再写出对应x的取值范围即可．【详解】解：由一次函数y=kx+b的图象可知，当kx+b≥0时，x≤2，故选：C．【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）经过A0,2和B−6,0两点，则关于x的不等式组0<kx+b<2的解集为

【答案】−6<x<0【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在y的左侧所对应的自变量的值即可．【详解】解：∵直线y=kx+b经过A0,2和B∴当−6<x<0时，0<y<2，∴关于x的不等式0<kx+b<2的解集是−6<x<0，故答案为：−6<x<0．题型十七一次函数的实际应用【例13】（25-26八年级下·云南昆明·期中）春季的邀约，总是写在风里．本学期，昆明三中“樱为有你”活动在樱花烂漫的时节如约落幕．活动中，某班的同学们怀揣善意，以笔寄情、以墨传暖，计划购进甲、乙两种笔记本共60本进行义卖，所得善款将悉数用于公益帮扶．现将两种笔记本的进价与售价列于下表：价格类型进价（元/本）售价（元/本）甲a10乙b20(1)已知购进10本甲种笔记本、50本乙种笔记本共花费580元，购进20本甲种笔记本、40本乙种笔记本共花费560元．求甲、乙两种笔记本的进价分别为多少元？(2)若设甲笔记本的数量为x本（x<60），销售完甲、乙两种笔记本的利润为y元．已知乙笔记本的数量不能超过甲笔记本数量的2倍，为让爱心帮扶的善款更多一些，当甲笔记本购进多少本，同学们在销售完这两种笔记本后能获得利润最多？并求出最大利润．【答案】(1)甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元，(2)购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，列出函数关系以及二元一次方程组．（1）根据题意，列出二元一次方程组，然后求解即可；（2）设利润为y元，根据题意，列出y与x的函数关系，根据题意确定x范围，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得，10a+50b=58020a+40b=560，解得a=8答：甲种笔记本进价为8元，乙种笔记本进价为10元；（2）解：由题意可得，乙种笔记本为60−x本，根据题意可得，60−x≤2x，解得x≥20，设利润为y元，由题意可得，y=10−8∵k=−8<0，∴y随x增大而减小，又∵20≤x<60∴当x=20时，y最大为440元，答：购进甲笔记本20本时获得利润最大，最大利润为440元．【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元．(1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元(2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元【分析】（1）根据题干给出的两个总花费条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到两种吉祥物的单价．（2）设购买冰墩墩的数量，根据资金范围列一元一次不等式组得到数量的取值范围，再列出总资金的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可求出最小资金和对应购买方案．【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要x元，一个“马墩墩”需要y元．根据题意得x+3y=3323x+2y=380解得x=68y=88答：购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元．（2）解：设购买m个“冰墩墩”，则购买30−m个“马墩墩”，总投入资金为w元．根据题意得w=68m+8830−m由投入资金不少于2160元又不多于2200元，可得2160≤−20m+2640≤2200，解得22≤m≤24，∵−20<0，∴w随m的增大而减小，∴当m=24时，w取得最小值，w最小此时30−m=30−24=6，答：应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元．【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）随着我国科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，工作一段时间后乙机器人停工保养，保养结束后，乙继续和甲机器人一起工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与甲机器人的工作时间x（分钟）之间的函数关系如图．(1)m的值为___________；(2)求AB所在直线的函数表达式；(3)已知该快递公司当天分拣快递的总数为5450件，求乙机器人当天的工作时长．【答案】(1)3800(2)y=55x−600(3)90分钟【分析】（1）根据两台机器人的分拣速度不变即可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）把y=5450代入（2）中所求解析式中即可求解．【详解】（1）解：在前40分钟与第60分钟到第80分钟，两台机器人分拣的速度不变，则m−270080−60解得m=3800；（2）解：由（1）知，B80,3800∵直线AB过A60,2700、B∴设AB所在直线的函数关系式为y=kx+b，将A60,2700、B80,3800代入得2700=60k+b3800=80k+b∴AB所在直线的函数关系式为y=55x−600．（3）解：把y=5450代入y=55x−600得5450=55x−600，

解得x=110，∴110−60−40答：该快递公司当天分拣快递的总数为5450件时，乙机器人工作了90分钟．【变式3】甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和y（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间x（单位：天）之间的关系如图所示．(1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米．(2)求乙工程队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天．【答案】(1)30；3(2)y=3x+120(30<x≤60)(3)10【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．（1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可；（2）设乙工程队停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；（3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为a，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可．【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，∴甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天，∴甲每天铺设300−210÷30=3故答案为：30；3；（2）解：设乙工程队停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，将(30,210)和(60,300)两个点代入，可得210=30k+b300=60k+b解得k=3b=120∴y=3x+120(30<x≤60)；（3）解：甲工程队每天铺设沥青300−21060−30甲乙合作每天铺设沥青21030∴乙工程队每天铺设沥青7−3=4（米），乙工程队铺设沥青的总长度为30×4=120（米），设乙工程队已停工的天数为a，则3(30+a)=120，解得：a=10，答：乙工程队已停工的天数为10天．题型一一次函数与规律探究【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线l:y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2⊥xA．24046 B．24047 C．24048【答案】B【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键．根据题意，分别算出S1，S2，【详解】解：将x=0代入y=x+1得，y=1，∴A1∴OA∵OB∴OB∴S1∵A2B1⊥x轴，且点∴A2∴B1∴S2依此类推，S3=12×4×4=8=∴Sn=2当n=2025时，S2025故选：B．【变式1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点A12,2在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1A．322024 B．322025 C．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出AnBn=32n−1【详解】解：∵点A12,2，且∴点B1将x=2代入y=12x∴点B1的坐标为2,1则A1∵△A∴A1∴xC将x=3分别代入y=x和y=12x得，y∴A2依次类推，A3B3∴An当n=2026时，A2026故选：B．【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A1的坐标为2,0，以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点A．21013 B．22026 C．21013【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线l的表达式为y=x可得，直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°，由点A1的坐标为2,0，可得OB1=OA1=2，由作图过程可知，△OB1A2是等腰直角三角形，O【详解】解：∵直线l的表达式为y=x，∴直线l平分第一象限，即直线l与x轴正半轴的夹角为45°，∵点A1的坐标为2∴OA由作图过程可知，OB又∵B∴△OB∴OA同理可得，OA3=22，所以OAn=当n=2026时，OA∴点A的横坐标为21013故选：C．【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，解析式为y=3x+1的直线a，解析式为y=33x的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形OAB，过点B作y轴的平行线交直线a于点A1，以A．22019 B．22020 C．4038【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解．【详解】解：如图，延长A1B交x轴于点当x=0时，y=3∴OA=1，即第1个等边三角形的边长为1；∵△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠EOB=30°，∵A1∴BE⊥OE，∴BE=1∴OE=3当x=32时，∴A1∴A1∴A1即第2个等边三角形的边长为2；延长A2B1交x轴于点F，同理可得A同理得A3B2⋯⋯可得第2020个等边三角形的边长为22019故选：A．题型二一次函数与几何最值问题【例2】（23-24八年级下湖北武汉期末）如图，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交DO的延长线于点F，则线段DF的最小值是（

）A．455 B．855 C．【答案】B【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键．根据OD的最小值就是OC的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当OC⊥AB时，OC的值最小，即OD有最小值，由此可知DF有最小值，根据等面积法即可求出OC的长，由此即可求解．【详解】解：如图，连接CD，OC∵CF∥x轴，点C关于x轴的对称点是点D∴CD⊥CF，即∠DCF=90°，∴在Rt△CDF中，OC=OD，即△COD即∠ODC=∠OCD，∵∠CFD+∠CDF=∠DCO+∠OCF=90°，∴∠OCF=∠OFC，∴CO=OF，∴DF=2OC，∵直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，当x=0时，y=4；当y=0时，2x+4=0，解得x=−2，∴A−2,0，B0,4，即OA=2，在Rt△AOBAB=O根据点到直线的垂线段最短，可知:当OC⊥AB时，OC最小，∵S∴OC=OA·OB∴OC的最小值为2×42∵点D与点C关于x轴对称，∴OD的最小值就是OC的最小值，∴DF最小值为：8故选：B【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为m，0、0，2和5，3．则当【答案】2【分析】本题考查利用将军饮马求三角形的最短周长，待定系数法求一次函数的解析式；作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，根据A、B′、C共线时△ABC的周长最小时，得【详解】解：作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，当A、B′、∵B，B′关于x轴对称，B0，∴B′设B′C则−2=b3=5k+b解得b=−2k=1∴B′C所在直线的解析式为当y=0时，x=2，即m=2，故答案为2．【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=−x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y2=1(1)求b的值；(2)当y1>y(3)若有动点Pm,1，当AP+PC取最小值时，求m【答案】(1)b的值是6(2)x<4(3)10【分析】（1）由y2=12x可求出A4,2，把（2）由数形结合思想直接可得，当y1＞y2时，x的取值范围是x<4；（3）作A关于直线y=1的对称点A′，根据A4,2、A′关于直线y=1对称，得AP=A′P，A′4,0，即知P在线段A′C上时，A′P+PC最小，即AP+PC最小，设直线【详解】（1）解：在y2=12x∴A4,2把A4,2代入y1=−x+b∴b=6；（2）由图象可得，当y1>y2时，（3）作A关于直线y=1的对称点A′∵A4,2、A′关于直线∴AP=A′P∴AP+PC=A∴P在线段A′C上时，A′由（1）知b=6，即点C0,6设直线A′C为将A′4,0代入得：0=4k+6，解得∴直线A′C为将Pm,1代入y=−32解得m=10【变式3】在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求点C，D的坐标；(2)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C(2)M【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用正方形的性质可得出AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，易证△BCE≌△ABO，△DAF≌△ABO，再利用全等三角形的性质结合点C，D所在的位置，即可得出点C，D的坐标；（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'D交x轴于点M，此时BM+DM取得最小值，即△MDB的周长最小，由点B的坐标可得出点B'的坐标，利用待定系数法可求出直线【详解】（1）解：当x=0时，y=0+1=1，∴点B的坐标为(0,1)，∴OB=1；当y=0时，x+1=0，解得：x=−1，∴点A的坐标为(−1,0)，∴OA=1．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°．过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵∠CBE+∠ABC+∠ABO=180°，∠ABC=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBE=∠BAO．在△BCE和△ABO中，∠BEC=∠AOB=90°∠CBE=∠BAO∴△BCE≌△ABO(AAS∴BE=AO=1，CE=BO=1，∴点C的坐标为(−1,1+1)，即(−1,2)；同理，可证出：△DAF≌△ABO，∴DF=AO=1，AF=BO=1，∴点D的坐标为(−1−1,1)，即(−2,1)．（2）解：作点B关于x轴的对称点B'，连接B'D交x轴于点M，此时BM+DM∵点B的坐标为(0,1)，∴点B'的坐标为(0,−1)设直线B'D的解析式为将B'(0,−1)，D(−2,1)代入得：b=−1−2k+b=1，解得：k=−1∴直线B'D的解析式为当y=0时，−x−1=0，解得：x=−1，∴点M的坐标为(−1,0)．∴在x轴上存在点M，使△MDB的周长最小，点M的坐标为(−1,0)．题型三一次函数与方案选择问题【例3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买11件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为40元．各商店的优惠条件见下表：商店优惠条件甲商店前10件按原价销售，其余每件享受七折优惠乙商店每件均享受九折优惠(1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？(2)该公司准备购买30件纪念品，到乙商店购买更合算吗？【答案】(1)当x=15时，甲乙两商店一样合算，当11≤x<15时，选择乙商店更合算，当x>15时，选择甲商店更合算(2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是x件时，y1、y2与（2）分别求出在甲、乙两个商店购买30件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算．【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是x件，选择甲商店时所需的费用为y1元，选择乙商店时，所需的费用为y根据题意得：y1=40×10+40×0.7×x−10由y1=y解得：x=15；由y1>y解得：x<15；由y1<y解得：x>15；∴当x=15时，甲乙两商店一样合算，当11≤x<15时，选择乙商店更合算，当x>15时，选择甲商店更合算；（2）解：当x=30时，可得：y1=28×30+120=840+120=960，∵960<1080，∴到甲商店购买30件纪念品更合算，到乙商店购买30件纪念品不合算．【变式1】（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯【背景】某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：y1=0.3x+15；轻享套餐：收费公式为：y2=0.7x．其中，y1【理解模型】（1）请解释“经济套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义．【应用模型】（2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱．【决策分析】（3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议．【答案】（1）意义见解析；（2）小宇选择经济套餐更省钱；（3）建议见解析【分析】（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可；（2）根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可；（3）令0.3x+15=0.7x，求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可．【详解】解：（1）由题意得，经济套餐中，“0.3”表示每分钟可视通话的收费标准为0.3元；“15”表示每月固定收取的套餐基础费；轻享套餐中，“0.7”表示每分钟可视通话的收费标准为0.7元；（2）由题意得，小宇每月总可视通话时长为30+42=72分钟，∴经济套餐为y=21.6+15=36.6（元）；轻享套餐为y2∵36.6<50.4，∴小宇应选择经济套餐更省钱；（3）由题意得，令0.3x+15=0.7x，0.7x−0.3x=150.4x=15解得x=37.5，∴当每月可视通话时长x<37.5分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱；当每月可视通话时长x=37.5分钟时：两种套餐费用完全相同；当每月可视通话时长x>37.5分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱．【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值，是一次函数解决实际决策问题的典型范例．【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1（千元）、乙厂的总费用y2（千元）与印制证书数量(1)甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用y1与证书数量x(2)当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x(3)印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？(4)若该单位需印制证书数量为8千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由．【答案】(1)1，0.5，y1(2)1.5，y2(3)印制证书1千个或6千个时，两厂实际收费相同；(4)选择乙厂更节省费用，见解析．【分析】（1）结合图象可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，一次函数的k为0.5即为证书印刷费的单价；（2）用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解，然后利用用待定系数法即可求出乙厂的总费用y2与证书数量x（3）y相等时，分两种情况列出方程，然后解方程即可；（4）将x=8分别代入两个函数，求出费用，然后比较即可．【详解】（1）解：设甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=mx+n，则4=6m+n∴y1当x=0时，y=1，则甲厂的制版费为1千元，印刷费为平均每个4−1÷6=0.5（2）解：当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个=3÷2=1.5（元），当印制证书数量超过2千个时，设乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y由图可知，当x=6时，y2=6，当x=2时，∴函数图象经过点2,3和6,4，代入得2k+b=36k+b=4，解得：k=∴y2（3）解：当印制证书数量超过2千个时，由图可知，14解得：x=6时，当印制证书数量不超过2千个时，由上可得，y2∴0.5x+1=1.5x，解得x=1；∴印制证书1千个或6千个时，两厂实际收费相