人教版八年级数学下册期末复习专项训练 专题07 (特殊)平行四边形期末压轴5高频题型60题

专题07（特殊）平行四边形期末压轴5高频题型题型1证明+计算：先证特殊四边形，再求边长/面积/角度题型2折叠问题：矩形折叠求坐标、菱形（正方形）折叠证全等题型3动点综合：单/双动点，探究平行/垂直/等腰/面积定值题型4多结论选择：正方形背景下4–5个结论判断（易错）题型5最值问题：将军饮马、垂线段最短。题型一证明+计算（共13小题）1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积．【详解】（1）证明：是的垂直平分线，，；∵四边形是平行四边形，，，在和中，，（），，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，，∵四边形的周长是40，∴，设、，则有，，，，在中，由勾股定理得：，，，，整理可得：，∴．2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若的周长为30，且，求四边形的面积．【详解】（1）证明：点是的中点，．，∴四边形是平行四边形．是直角三角形，点是的中点，．四边形是菱形．（2）解：设，．的周长为，．，．在中，由勾股定理得．∵，∴．∵点、分别是、的中点，∴，∵，∴．∴．答：四边形的面积为30．3．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，求的周长．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∵点，分别是，的中点，∴，，∴．又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴的周长为．4．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结．(1)求证：四边形是菱形；(2)如果，四边形的面积是30，求的长．【详解】（1）证明：∵点E是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，是斜边上的中线，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形；（2）解：连结，由（1）知∵∴四边形是平行四边形，∴，∵，即，∴，∴．5．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，，，，，，，即，，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，，，，平分，，，，，，，，平行四边形的周长．6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是等边三角形，且，求的长．【详解】（1）解：∵点为的中点，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，∴，∵点为的中点，∴，∵是等边三角形，∴，∴．7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且．(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；(2)若，求四边形的面积．【详解】（1）解：平行四边形；证明：在菱形中，，∴，∵点分别是的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形．（2）解：连接，交于点，∴在菱形中，，∴，∵，∴，即为中点，同理可得，∴，∵为中点，∴，∴，即，在中，，∴，∵四边形为平行四边形，∴．8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，是对角线的垂直平分线，分别交，，于E，F，O．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的边长．【详解】（1）证明：连接，，四边形是矩形，，，，由题意知：垂直平分，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：由（1）可得，，，在中，由勾股定理得，，，∴，，解得，∴菱形的边长为．9．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形中，是对角线上一点，且．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．【详解】（1）解：连接与交于点，∵平行四边形，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵，平行四边形是菱形，∴，∴，即，∴菱形的面积是．10．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平行四边形中，、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，，求菱形的面积．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴．∵，∴．在和中，∴，∴．又，∴四边形是平行四边形．∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：在中，，，，由勾股定理得．∵四边形是菱形，∴，．∴．∵，∴，，∴，∴，即是的中点，∴．在中，，，∴，∴，∴．11．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，则四边形的周长是____________．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵，，∴，∵，∴，在中，，在中，，∴四边形的周长为：．12．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，，求的长．【详解】（1）证明：∵，交于点，，∴是的中点，∵是的中点，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵是的中点，是的中点，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴的长是．13．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，，，，求的长．【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，即，∴互相平分，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴．题型二折叠问题（共15小题）14．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，将矩形纸片放入以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连结，将纸片沿折叠，使得点C落在边上点处，若，，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：矩形纸片中，，，∴，，中，，，设，则，中，，∴，解得，，又点C在x轴上，点C的坐标为，故选：B．15．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________．【答案】【详解】解：设，则，∵四边形是矩形，∴，，由折叠得，∵在中，，∴，解得，∴，∴．故答案为：16．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________．【答案】【详解】解：∵点的坐标为，∴，，∴在中，，∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，∴，，∴，∴在矩形中，，，，设，则，∵在中，，∴，解得，∴，∴点的坐标为．17．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为___．【答案】【详解】解：过点E作轴于点F，∵，∴，，∵在长方形中，，∴，∵由折叠有，∴，∴，设，则，，∵在长方形中，，∴在中，，即，解得，∴，由折叠可得，∴，∵或，∴，即，∴，∵轴，∴在中，，∴点E的坐标为．故答案为：．18．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平面直角坐标系中，．四边形为矩形，将四边形沿折叠，点B的对应点为点D，连接交y轴于点M，则点M坐标为________．【答案】【详解】解：∵四边形为矩形，∴，∴，∵折叠，∴，∴，∴，∵，∴，设，则：，在中，，∴，解得：，∴，∴点M坐标为．故答案为：19．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是________．【答案】【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，连接，作于点，折叠得到，垂直平分，等积法求出的长，进而求出的长，设，勾股定理列出方程求出的值，进而求出的长，即可得出结果．【详解】解：连接，作于点，∵，∴，∵矩形，∴，∴，∵折叠，∴，垂直平分，∴，∴，∴，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴，∴，∴；故答案为：．20．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为_____【答案】【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，并用勾股定理求出的长．根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出可得点的坐标．【详解】解：四边形为矩形，的坐标为，，，矩形沿折叠，使落在上的点处，，，在中，，，设，则，在中，，即，解得：，即的长为，点的坐标为．故答案为：．21．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________．【答案】【详解】解：设交于点，由折叠得，，，∴，∵四边形是边长为的菱形，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形，∵，，∴是等边三角形，同理，四边形是菱形，是等边三角形，∴，，∴四边形是平行四边形，，，，，，，∴阴影部分的周长为，故答案为：．22．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______．【答案】【详解】解：，，由折叠可知，∴，．故答案为：．延长，相交于点P，设，，，将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处，，，四边形是菱形，，，，，，，，，同时可得，，，将菱形纸片沿折叠，，，，，，．23．（24-25八年级下·江西上饶·期末）已知点，，，连接得到矩形，点在边上，将边沿折叠，点的对应点为．若点到矩形较长两对边的距离之比为，则点的横坐标为___________．【答案】3或或【详解】，，，．分两种情况：（1）当点在矩形的内部时，过点作的垂线交于点，交于点，如图1所示：①当时，，．由折叠的性质得，在中，由勾股定理得，点的横坐标为3．②当时，同理可得点的横坐标为．（2）当点在矩形的外部时，此时点在第四象限，过点作的垂线交于点，交于点，如图2所示：，则，由折叠的性质得，在中，由勾股定理得，点的横坐标为．综上所述：点的横坐标为或或，故答案为或或．24．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点．(1)求证：；(2)求，的长．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，∵把沿折叠得到，，，，，在和中，，∴；（2）解：四边形是正方形，，∵，，设，则为中点，，则，在中，，，解得，∴，．25．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．(1)求证：；(2)若，，则的长是______．【详解】（1）证明：连接，如图，∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质可知，，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，设，则，∴，，在中，，∴，解得，∴．26．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接．(1)求的度数；(2)求的长度．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由折叠得,，∵四边形是正方形，∴，，∴在和中，，，，又，，．（2）解：∵，设，,，在中，，∴．27．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F．【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得．【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由．【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长．【详解】解：探究：猜想，理由如下：如图，连接，四边形是正方形，，，由折叠的性质可得，，，，在和中，，，；应用：设，，，，，，，在中，由勾股定理得，，解得，．28．（24-25八年级下·福建泉州·期末）实践探究：主题特殊四边形的几何变换素材用两张全等的直角三角形的纸片，把它们的一条直角边重合在一起（如图1）已知，，．由全等可知，，，所以四边形是平行四边形．实践探究平移①如图2，把沿平移得到，点在线段上，经过的顶点C，与交于点E，与交于点F．任务一

求证：四边形是矩形；对折②如图3，将沿直线对折，点B的对应点刚好落在线段上．

任务二

求证：四边形是菱形；③如图4，若点M、N分别是、的中点，将沿直线对折，点B的对应点为．任务三

求证：点在同一直线上；旋转④如图5，绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点H．任务四

求线段的长．【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析；任务四：【详解】解：任务一：在中，，，∵沿AD平移得到，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，

∴四边形是矩形．任务二：在中，，∴，∵沿直线对折得到，∴，，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．任务三：如图4，连接，，∵M，N分别是BC，AD的中点，∴，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，由对折可知，，，∴，∵，∴，∴，∴点、、在同一直线上．任务四：在，，∴∵，∴．由旋转可知，∴，∴，∵，∴，∴．题型三动点综合（共11小题）29．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．(1)从运动开始，求使需经过多少时间？(2)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)当或或时，为等腰三角形．【详解】（1）解：设运动的时间是，，，，当时，四边形是平行四边形，，即，解得：，从运动开始，使需经过；（2）解：当或或时，为等腰三角形，如下图所示，过点作，则，，，，四边形是矩形，，，，在中，，是等腰三角形，当时，，解得：；如下图所示，当时，，，，解得：；当时，，，，，，整理得：，解得：；综上所述，当或或时，为等腰三角形．30．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形．(1)______；(2)求证：；(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长．(4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值．【详解】（1）解：在矩形中，，∴，，∴，∵点O为对角线的中点，∴，故答案为：5（2）证明：∵点P关于的对称点为点E，∴垂直平分，∴，∵，∴；（3）解：∵，∴∵四边形的面积为20，∴，∵点O为对角线的中点，∴，，当点P在边上时，过点O作，如图，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴；当点P在边上时，过点O作于点G，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴；综上所述，的长为或；（4）解：设，如图，当点P在边上时，设交于点N，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，由（2）得：，，在中，，∴，解得：，即；当点P在边上时，延长交于点M，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，由（2）得：，，在中，，∴，解得：，即；综上所述，的值为或．31．（22-23八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是（）．过点作于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．【详解】（1）证明：设点运动的时间是秒（），∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，∴，∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，∴，∵在中，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：四边形能够成为菱形；理由如下：∵在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵由（1）知四边形为平行四边形，∴若使为菱形，则需，∴，解得，∴当时，四边形为菱形；（3）解：当或时，为直角三角形，理由如下：根据题意，分三种情况讨论：①当时，如图1所示：∵，∴，∴，，∵，∴，，∴在中，，即，解得；②当时，∵，∴此种情况不存在；③当时，如图2所示：由（1）知四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，解得；综上所述，当或时，为直角三角形．32．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒．(1)求线段的长（用含的代数式表示）．(2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值．(3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．【答案】(1)(2)或(3)当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或【详解】（1）解：点运动到点时，共用了，总共运动了，当时，，当时，，综上，；（2）若四边形为平行四边形，则，由（2）得，，根据题意得，，当时，解得：，当时，解得：，综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或．（3）过点作于点，，，，，，四边形是矩形，，，，，，当时，则，，解得：，当，如图所示，过点作，则四边形是矩形，，，，在中，根据勾股定理得，即，解得：或；综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或．33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．(1)当时，求t的值；(2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；(3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)2或6【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，当时，四边形是平行四边形，，，；（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，；（3）解：四边形是平行四边形，，，，如图2，当点的对称点在线段上时，，，是等边三角形，，，；如图3，当点的对称点在线段的延长线上时，，，点的对称点在线段的延长线上，，，，，，，，综上，的值是2或6．34．（23-24八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．(1)求当t为何值时，四边形是正方形；(2)求当t为何值时，；(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．【答案】(1)当时，四边形是正方形；(2)当时；(3)【详解】（1）解：∵在矩形中，，，，设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，当时，四边形是正方形，∴，解得，∴当时，四边形是正方形；（2）解：∵，，∴四边形为平行四边形，∴当时，四边形为菱形，，∵，，解得，∴当时；（3）解：∵四边形为平行四边形，∴四边形的面积为，即，解得，，，∴四边形的周长，∴矩形的周长，∴矩形的周长与四边形的周长的比值为．35．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）．(1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值；(2)如图2，当点P在边上，时，求t的值；(3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以，在正方形中，，∴当时，四边形为平行四边形，∴，解得：，∴当时，四边形为平行四边形；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵点P在边上，∴，∴，解得：；（3）解：存在，理由如下：由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形，∴四边形的面积为，∵四边形的面积等于正方形的面积的一半，∴，解得：（不符合题意，舍去）；当点P在边上，即，则有，如图，∵四边形的面积等于正方形的面积的一半，∴与的面积之和也为正方形的面积的一半，∴，解得：；综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半．36．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在梯形中，，E是上的一点，且，，，，．点P是线段边上一动点（包括B、C两点），设的长是x．(1)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形．(2)当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．(3)P在BC上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形．【详解】（1）分别过A、D作于M，于N∵，∴∴四边形是矩形，∵，，∴，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，，又∵，∴，，∵，∴，∴，，当P与M点重合时，点为顶点的四边形为直角梯形，；当P与N点重合时，点为顶点的四边形为直角梯形，，综上所述或6时，点为顶点的四边形为直角梯形；（2）解：若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，可有两种情况：①当点在点左侧时，，②当点在点右侧时，可有．∴当的值为0或8时，以点为顶点的四边形为平行四边形．（3）点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形．由（2）可知：①当点在点左侧时，，，平行四边形是菱形，②当点在点右侧时，可有．，平行四边形是菱形.综上所述，点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形．37．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)直接写出边的长为________cm；(2)当四边形是矩形时，求t的值；(3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值；(4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值为或3或；(4)的值为4或6．【详解】（1）解：过点B作于点H，，，，四边形是矩形，，，，在中，．故答案为：．（2）解：，，，当四边形是矩形时，，，解得；（3）解：当时，，，，；当时，；当时，，，在中，，，解得；综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或；（4）当时，如图，四边形是平行四边形此时，由可列方程解得；当时，如图，过点P作于点G，，，，四边形是矩形，，，，若，则，，，，解得；综上所述，当时，t的值为4或6．38．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）．(1)_________．(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值．(3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．(4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【详解】（1）解：如图，过点作，则，，，，，，，．（2）解：如图，同（1），过点作，则，，点在的垂直平分线上，，，在中，，则，化简得，解得．（3）解：点沿射线运动，，四边形是平行四边形，，，，当点未到达点时，即，解得；当点过点后，即，解得．故或．（4）解：如图，当在上时：根据对称的性质，可知，，，，，，，解得；如图，当在延长线上时：此时，点已过点，延长于点，根据对称的性质，可知，，，，，，，，，解得．故或．39．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒．(1)的长为______，的长为______；(2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值；(3)若为等腰三角形，求t的值；(4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值．【答案】(1)，(2)或(3)或或(4)或或【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，，，∴，；∵，，∴，∴，∴；故答案为：，；（2）解：如图，由题意得，∵，∴，∵将的面积分为两部分，即或，且等高，∴或，∴或，∴或，∴或，∴t的值为或；（3）解：如图，过点作，连接，∵四边形为平行四边形，∴，∵，，∴（平行线间距离处处相等），∵，∴，由（1）知，由（2）知，∴，∵为等腰三角形，∴分三种情况，当时，则，解得；当时，∵，，∴，即，则，解得；当时，则，∵，∴，在中，，即，解得；综上，当为等腰三角形，t的值为或或；（4）解：∵点在同一条直线上，点M与点D关于直线对称，如图，当共线时，则，同理（3）得，∴，∴；如图，当时，连接，由对称的性质得，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴点在上，即四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，即，解得；如图，当时，设交于点，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，由对称的性质得，，∴，，在中，，即，整理得，∴，∴，∴，∴，解得或（此时，点P，点D，点M重合，舍去），综上，当直线与的一边平行或共线时，t的值为或或．题型四多结论选择（共11小题）40．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，对角线交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F、G，连接，与交于点H，在下列结论中：①；②；③；④是等腰直角三角形；⑤，正确结论个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，即，故①正确；∵四边形是正方形，∴，，，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，∵，∴，故②错误；在中，，在中，，∴，故③错误；∵，∴∵，，∴，∴，，∵，∴，则，故为等腰直角三角形，故④正确；设交于点，连接，如图所示，∵为等腰直角三角形，∴，又，∴，在和中，∴，∴，．又，∴为等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理可得，即，故⑤正确；综上，正确的序号为①④⑤，有3个正确，故选：B．41．（24-25九年级下·海南海口·期中）在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中结论正确的有（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【详解】解：在正方形中，；∵，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形；故①正确；∵为等腰直角三角形，∴；在正方形中，；设，则，∴，∴，∴，故②正确；如图，连接，∵，且M是斜边的中点，∴，∴；在正方形中，，∴是线段的垂直平分线；故③正确；取的中点G，连接，∵M是的中点，∴是的中位线，∴，，∴；∵直线是的垂直平分线，且，，∴，∴，∴，由勾股定理即得，故④正确；综上，全部正确；故选：D．42．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：∵四边形为正方形，∴，．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，即，故①正确；∵的平分线交边于点，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴，故②正确；如图：连接，∵，，，∴，∴，∵，∴是直角三角形，即，∴,故③错误；如图，过点P作于点M，过点H作于点N．∴的平分线交边于点，∴，∴，∴的最小值为的长．∵，∴为等腰直角三角形．∵，∴，∴的最小值是，故④正确，故正确的有①②④共3个．故选C．43．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，，对角线与交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，．有下列说法：①；②取中点P，连接，则；③当四边形为正方形时，；④在点E运动过程中，的最小值为．其中正确的序号有（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【详解】解：∵四边形为正方形，对角线与交于点O，∴，∵，∴，∵F为中点，∴为的中位线，∴，∵，∴，则①正确；如图，∵点P为中点，，∴，∴，∴，则②正确；∵四边形为正方形，∴，∵，∴，连接，过点F作交于点H，如图，∵四边形为正方形，∴点E、点G和点O三点共线，，∴，∴，∵F为中点，∴，∴，则③错误；连接，如图，∵点P为中点，，∴，则，那么，，∴的最小值为，则④正确；故选：B．44．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，，即点F是的中点；①正确；过点A作于点，如图所示：四边形是正方形，，，，，在与中，，，，在与中，，，，延长交于点，作，，，，，，在中，，．∵，，，，即是等腰直角三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，②正确；在与中，，∵，∴，∴，∵，，∴是的平分线，∴；③正确；在等腰与等腰中，，，，四边形是正方形，，，，，，，④错误，综上，①②③正确，故选：A．45．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形，E，F分别在边上，将正方形沿折叠，点D的对应点是点G，点C的对应点H在边上，与交于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：在正方形中，，过点E作于N，则为矩形，∴，由轴对称可知，，则，∴，∴，∴，故①正确；由轴对称可知，，则，∴，又∵，∴，故②正确；延长交于R，与交于点T，连接，由轴对称可知，，又∵，∴，∴，则，又∵，∴，∴，则由轴对称可知，点C与点H关于对称，则，∴又∵，∴，即R，T，H在同一直线上，则，过点H作交与W，可知，，∴，∴，又∵，∴，∴，则为等腰直角三角形，∴，故③正确；延长使得，又∵，∴，∴，∵，∴，由上可知，，∴，又∵，∴，∴，而，∴，故④正确；综上，正确的有①②③④，共4个，故选：D．46．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在正方形中，点E为中点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接交于点G，延长交于点H，连接并延长交于点I，连接．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【详解】解：由折叠的性质得，∴，∵点E为中点，∴，∴，∴，即，∴；①正确；∵四边形是正方形，∴，，由折叠的性质得是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，②正确；在和中，，，，∴，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴平分；③正确；作，，垂足分别为，∵，∴，∴四边形是正方形，∴，设正方形的边长为，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，④正确．故选：D．47．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】连接，延长交于点，证明即可证明，由，即可证明②正确；如图，连接交于，可得，，证明，可得③正确，是动点，则是动点，的长度的变化的，可得的长度是变化的，可得④错误．【详解】解：①连接，延长交于点，连接，

为正方形的对角线，，，，，，，∴，，，，，，∵，∴，故①错误；，，，故②正确；③如图，连接交于，∵四边形是正方形，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故③正确；④∵是动点，则是动点，的长度的变化的，∴的长度是变化的，故④错误；综上：②③正确；故选B48．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法：①；②、分别是、的角平分线；③当时，的面积最小其中正确说法的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，∵四边形为正方形，∴，，由旋转的性质可得：，，，，，，∴，∴点、、在同一直线上，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴、分别是、的角平分线，故②正确；∵，∴，∵，∴，由得：，∴，故①正确；由可得：，∵的长固定不变，为正方形的边长，∴当的值最小时，的面积最小，设，，则，当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，∴当时，的面积最小，∵，，∴，∴，，∴，∴当时，的面积最小，故③正确；综上所述，正确的有①②③，共个，故选：A．49．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点E是线段上一点，四边形和四边形均为正方形，连接，分别交于点M、N，延长交于点H，连接、、．若已知的面积，则一定能求出（

）

A．四边形的面积 B．四边形的面积C．的面积 D．与的面积之和【答案】C【详解】解：如图所示，连接，∵四边形和四边形均为正方形，∴，，∴，即，由正方形的性质可得，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，由正方形的对称性可得，∴，∴四边形是菱形，∴；∵，∴，∴，∴；∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，故选：C．

50．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．

其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：在正方形中，，，过点作交于，交于，则为矩形，

∴，，由轴对称可知，，则，∴，∴，∴，，故①正确；由轴对称可知，，，则，∴，又∵，∴，故②正确；延长交于，与交于点，连接，，由轴对称可知，，，，又∵，∴，∴，，则，又∵，∴，∴，，则由轴对称可知，点与点关于对称，则，，

∴又∵，∴，即，，在同一直线上，则，过点作交与，可知，，，∴，∴，又∵，∴，∴，则为等腰直角三角形，∴，则，∴，又∵，∴，由上可知，，∴，故③正确；延长使得，

又∵，，∴，∴，，∵，∴，由上可知，，∴，又∵，∴，∴，而，∴，故④正确；综上，正确的有①②③④，共4个，故选：D．题型五最值问题（共10小题）51．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，是学校操场旁的一块空地，设计人员在规划绿叶用地时，过点作交于点，且平分，过点作交于点，交于点，线段上有一动点，过点作，交于点．若与之间距离为，，连接、，学校计划在点处安装一个摄像头，则摄像头分别到点、的距离之和的最小值是（

）m．A．35 B． C． D．【答案】C【详解】解：过点作，作关于的轴对称线段，并在上取点的对应点，∴，，∵，，，∴，又∵，∴，，，过点作，交于，延长交于点∴，∴四边形、是矩形，∴，，，，∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，与之间距离为，，∴，由对称可知：，∴∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴当、、三点在同一条直线上时最小，最小值为，在中，，故选C．52．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___．【答案】【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示：∵在中，，，，∴，∵，∴，∵，，∴，则，∴，当点与点重合时，则的值最小，且为，过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示：则，∴，∵，∴，即，∵，，∴（平行线之间距离处处相等），同理得，依题意，，则，∴，在中，，∴，即，在中，，即的值最小值为，故答案为：．53．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____．【答案】【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，∴，∵四边形是正方形，且边长为，∴，，∵点在上且，∴是直角三角形，由勾股定理得：，∵，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴，∵于点，∴是直角三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，，在中，，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得：，∵，∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为，∴的最小值为．故答案为：．54．（24-25八年级下·福建福州·期末）在矩形中，，，点为矩形内部的一点，，连接，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则长度的最大值是______．【答案】【详解】解：连结，交于点O，取的中点H，连结，，，，四边形是矩形，，，，，，，在中，，，，，，，，点是的中点，，，点是的中点，，，，，当点H在上时，取最大值．故答案为：．55．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________．【答案】【详解】解：如图：过点B作，取，连接，∵为等腰三角形，且，∴，又∵，∴，∴，∴当取最小值时，也取最小值．∵点E是射线上一点，∴最小值为点G到射线的距离，如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值．∵，四边形为平行四边形，，∴，，∴，，又∵，∴，，∴，，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∴．∴最小值为．故答案为：．56．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列材料：材料一：已知平面直角坐标系内两点，，，，则这两点间的距离可用下列公式计算：，例如：已知，，则这两点间的距离为．材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下：，，．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：，，．根据上述材料，完成下列题目：(1)已知，，则________；(2)如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，．①________；②连接，．求证：．(3)如图②，是的中线，若，，求周长的最大值．【详解】（1）解：根据题意：；（2）解：①∵四边形为平行四边形，∴，，∵，，∴，∴；②连接，过点作，垂足分别为，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，，即，，，，；（3）解：分别过点作的