第10章数学活动：探寻纸张规格的秘密 教学设计 （表格式）华东师大版（2024）八年级数学上册

第十章数学活动：探寻纸张规格的秘密课题名称探寻纸张规格的秘密课型新授课教学资源课件教学内容解析内容本节的主要围绕纸张规格展开，引导学生探究国际标准化组织（ISO）制定的国际标准中，以A、B、C三个系列为代表的纸张尺寸之间的规律。具体包括：A、B、C三个系列同一型号纸张的大小关系；A、B、C系列后面表示型号的数字0-10的含义；每个系列不同型号纸张长与宽的关系以及面积之间的关系。内容解析本节课聚焦于探寻纸张规格的数学奥秘，围绕国际标准化组织（ISO）制定的国际标准展开。该标准下纸张尺寸分A、B、C三个系列，通过呈现的纸张尺寸表格，引导学生深入探究其中规律。目标与目标解析单元整体目标课标要求：能从实际问题中抽象出数学关系，进行数学分析与探究。经历数据收集、整理、分析的过程，发展数据分析观念。教材要求：探究A、B、C三个系列纸张同一型号的大小关系。理解A、B、C系列后数字0-10的含义。发现各系列不同型号纸张长与宽、面积之间的关系。课时目标知识维度学生需要了解A、B、C三个系列纸张型号的标识规则，明确数字0-10与纸张大小的对应关系，比如数字越大，纸张尺寸越小。探究同一型号下A、B、C系列纸张的大小比较，以及不同型号纸张长、宽、面积之间的数学关系，像是否存在比例关系、面积倍数关系等。这涉及到长方形的长、宽、面积的计算与规律探寻，运用了数学中的比例、乘法运算等知识。2.能力维度通过对纸张规格数据的观察、分析、计算，培养学生的数据分析能力和逻辑推理能力。学生需要从表格中的数据里发现规律，进行归纳总结。让学生体会数学在生活中的应用，感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。素养维度渗透了数学中的归纳思想，从特殊的纸张型号数据出发，归纳出一般的规律。同时也体现了数学的简洁性和系统性，国际标准下的纸张规格有着内在的数学逻辑，使得纸张的使用和设计更加规范、高效。课时目标解析达成目标1的标志是：学生能依据表格数据，准确阐述同型号下A、B、C系列纸张尺寸的大小排序，比如能清晰说明A0、B0、C0纸张长和宽的大小对比情况。达成目标2的标志是：学生能清晰解释系列后数字0-10的意义，知晓数字越大纸张尺寸越小，且能结合A0到A10等具体型号，说明纸张尺寸随数字的变化规律。达成目标3的标志是：学生能通过观察计算，总结出各系列不同型号纸张长与宽的比例关系（如A系列长与宽比例约为），以及不同型号纸张面积的倍数关系（如A1面积是A0的一半），并能结合具体数据进行阐释。学情分析已有的知识、认知水平学生已掌握长方形的长、宽、面积的计算方法，对比例、倍数等数学概念有一定的认识，具备基本的观察、分析数据的能力，能从表格中提取相关信息；学生处于能够对具体数据进行简单分析和归纳的阶段，但对于从生活实际（纸张规格）中抽象出数学规律，以及探究复杂的数学关系（如不同系列、不同型号纸张尺寸与面积的内在联系），还需要进一步引导和培养.困惑点探索点困惑点：对于A、B、C系列纸张型号后面数字0-10的具体含义，以及不同系列同一型号纸张大小关系的本质原因可能存在疑惑；难以快速发现各系列不同型号纸张长与宽、面积之间的精确数学关系。探索点：探究A、B、C三个系列同一型号纸张大小关系的规律；明确A、B、C系列后面数字0-10的含义；发现每个系列不同型号纸张长与宽的关系，以及它们面积之间的关系.教学重难点教学重点探究A、B、C三个系列纸张同一型号的大小关系；理解A、B、C系列后面表示型号的数字0-10的含义；发现每个系列不同型号纸张长与宽的关系，以及它们面积之间的关系。教学难点深入探究每个系列不同型号纸张长与宽的比例关系，以及不同型号纸张面积之间的倍数关系，并用数学语言准确表述这些规律.教学策略分析（为什么学、学什么、怎么学）为什么学纸张是生活中常见的物品，学生对其有一定的熟悉度。从数学角度探究纸张规格的秘密，能让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，同时也能培养学生从生活现象中发现数学问题、运用数学知识解决问题的能力。学什么1.A、B、C系列同一型号纸张的大小关系：通过对比表格中同一数字型号（如A0与B0、C0，A1与B1、C1等）的纸张长和宽数据，明确它们的大小排序。2.A、B、C系列后数字0-10的含义：理解数字与纸张尺寸的对应关系，即数字越大，纸张尺寸越小。3.各系列不同型号纸张长与宽、面积的关系：探究长与宽的比例规律（如A系列长与宽比例接近），以及面积之间的倍数关系（如A1面积是A0的一半）。怎么学观察法：引导学生仔细观察表格中A、B、C系列不同型号纸张的长、宽数据，初步感知数据间的规律。例如，观察A0到A10纸张的长和宽，看随着型号数字增大，长和宽如何变化。2.计算法：组织学生对纸张的长、宽、面积进行计算，验证猜想的规律。比如计算A0的面积和A1的面积，看两者的倍数关系；计算长与宽的比值，探究比例规律。3.讨论法：开展小组讨论，让学生交流各自发现的规律，在思维的碰撞中完善对纸张规格数学规律的认识。例如，讨论同一型号A、B、C系列纸张大小关系的原因，以及数字型号含义的理解。4.归纳法：在学生观察、计算、讨论的基础上，引导学生归纳总结出纸张规格中长与宽、面积等方面的数学规律，形成系统的认识。教学过程教学环节学习任务设计设计意图初步感知Q1:同学们，拿出你手边现有的纸，你能说出它的型号和尺寸吗？那你常用的纸张都有哪些型号？孩子们可能会说出A3A4B4等（教师出示A3A4A5，贴在黑板上，并引导学生随意调换位置学生们观察三者有何特点）Q2:大家基于对以上三张纸的观察，你能提出哪些问题？有哪些猜想呢？这里，学生可能会说，三张纸形状一样，大小不一样。学生可能会看出三张纸“形状相同”，教师追问：形状相同怎么用数学语言描述？引出长宽比。让学生动手测量一下以上A4纸张的长和宽，并测量比值。（保留四位小数）通过“说出纸张型号”“观察A3、A4、A5特点”等问题，从学生日常接触的物品切入，降低认知门槛。这种设计既符合初中生“从具体到抽象”的认知规律，又能快速激发学生的探究兴趣，自然引出“纸张形状与尺寸关系”的核心议题。探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知A系列：标准纸张初印象请各小组拿出尺子，实际测量一下A4纸的长和宽。有的同学说大约是21厘米×30厘米，实际上精确尺寸是210mm×297mm。大家是否想过，为什么不是200×300这样整数呢？师：请计算A4纸长与宽的比值，保留四位小数。297÷210≈1.4143师：这个数字1.4143让大家想到了什么？，即A4纸的长宽比是：1师：计算A3-A5纸的长宽比（小数点后保留四位数）：型号长宽长宽比A3420297A4297210A5210148……还想验证哪个型号纸张的长宽比？填入下表并计算师：你们发现了什么规律？所有纸张长与宽比值都接近.师：请大家将A4纸对折一下，看看得到什么纸？（A5）结论：所有纸张的长宽比都是:1，这样对折后形状不变，方便放大和缩印。Q3:纸张只有A3A4A5吗？还有其他的吗？师：其实A系列纸张共11种型号，从A0到A10。Q4:我们先来从最初的A0开始，如果要你设计A0尺寸，你该如何设计它的长宽呢？师：其实A0是一个特别完美的尺寸，他的面积是1。师：纸张本质是一个矩形，大家可以尝试从矩形的面积来推导出长和宽吗？（保留三位小数，单位：mm）证明：设A0长为a，宽为b，∵ab=1，a：b=∴，Q5:大家知道为什么长宽比要为吗？生：每个纸张的长宽比为，能保证对折后形状不变，方便印刷，放大不失真，缩小不留白。Q6:原来A0是经过如此精心的设计而来！那么A系列是否还有其他值得研究的问题呢？（教师可以引导学生随意摆弄手中的三张A纸）①型号数字越大，尺寸越小；②前一型号的宽是下一型号的长；前一型号的长的一半是下一型号的宽；③前一型号对折变成下一型号；④面积减半规律等。Q7:不去计算每种型号的面积，只根据A0面积，你能推理出其他A纸张的面积吗？型号尺寸（mm）将A0对折次数面积（mm2）与前一型号面积比与A0的面积比A0841×118901----------------A1594×84111/2==A2420×59421/4==A3297×42031/8==A4210×29741/16==…………An-------n-----师：从A0到A4，面积有什么变化？同一系列中，型号数字每增加1，纸张面积减半。师：分别对折A0几次能得到A1,A2,A3,A4，折叠几次能得到An?分别对折A0长边1234次得到A1A2A3A4.对折A0n次能得到An。师：每对折一次A0长边，得到的新纸张面积有何特点？每对折一次A0长边，得到下一个型号的纸张，纸张面积减少为原纸张面积的一半。师：填写表格中与前一型号面积比，你发现了什么？每一个型号面积都是前一型号面积的1/2。师：填写表格中与A0面积比，你发现了什么？（学生最可能的答案）A1面积是A0面积的1/2.A2面积是A0的1/4,A3面积是A0面积的1/8……所以，型号数字直观地反映了纸张面积是基础0号纸面积的几分之一。师：以上面积比值能不能换一种形式？或许你能发现更直观的规律。引导学生说出：A1面积是A0面积的.A2面积是A0的,A3面积是A0面积的……An面积是A0面积的。所以B系列：比A大一圈的缓冲艺术Q1：我们刚才已经熟悉了常用的A系列纸张，那么现在谁愿意跟老师一起表演一个情景剧？学生扮演打印店老板，老师扮演顾客。顾客：我需要印一份杂志，你能给我推荐合适的纸张吗？老板：A3顾客：太大啦老板：A4A5顾客：太小了。师：那怎么办呢？怎么能找到合适的纸张呢？Q2：请大家帮助老板一起创设一个新系列--B，来满足顾客的需求。师：我们已经知道顾客想要一个比A3小比A4大的纸张了，那么我们怎么设计更合理？需要考虑到哪些条件？（教师出示A3A4如下图）Q3:请大家随意裁剪手中的大纸张，找到刚好介于A3和A4之间的纸张，并说明你的理由。学生大胆尝试，猜想学生可能会取二者长、宽的平均值作为新纸张的长、宽。取名为Bi。型号长宽长宽比A3420297Bi359254A4297210Q4：这样看，我们设计的Bi长、宽介于A3A4中间并且长宽比仍是，看似很合理。有不同意见吗？有更合理的设计吗？给学生深入思考，畅所欲言。Q5：大家的设计从长宽上看具备合理性，那么从面积角度的合理性呢？型号长宽长宽比面积相邻型号面积比A3420297124740Bi35925491886A429721062370Q6：大家通过相邻型号面积比，你发现了什么？生：取算数平均数虽然实现了“介于两者之间”，但是并没有实现和前后两者的“比例一致”。Q7:显然，使用算是平均数不是完全合适，还有其他思路吗？师：其实几何平均值更能均衡地体现“中间值”的特征，比如，c是啊和b的几何平均值，那么就有，那么Bi是A3和A4的几何平均值，有，Q8：依照上述提示，你能推导出Bi的长和宽吗？（取整数）师：很好！其实我们刚算出来的Bi，就是尺寸表中的B4！我们把B4和A3A4放在一起对照一下。B4刚刚好介于A3A4之间！不仅仅是视觉上的，也是数学意义上的中间值！Q9：猜想：B系列有几种型号呢？你能计算出每种型号的尺寸吗？生：B0-B10共11种型号。师：你能根据B4推导出其他B系列的尺寸吗？型号长宽B0B1B2…………B3250x2=500353B4353250B5250?B6…………B7B8B9B10Q10：？处的数值是几生：师：大家觉得这个数值合适吗？生：取整数的话要么是176要么是177，哪个更好？师：我们看下ISOB系列尺寸表！B5宽取值为176.Q11：观察B系列尺寸表，能发现什么规律？此处预设：①型号数字越大，尺寸越小；②前一型号的宽是下一型号的长；前一型号的长的一半是下一型号的宽；③前一型号对折变成下一型号；④面积减半规律⑤。Q12：观察AB系列尺寸表，你能得到哪些信息？此处预设：①②T同型号下的B比A尺寸大一圈Q13：现在回归到最初的老板的那个问题，你能帮老板解决这个问题了吗？（B系列存在的必要意义？）生：B系列是为了弥补A系列的空白，它刚好可以填补A系列相邻两个纸张之间的空缺，提供了更广阔的选择，一般用于杂志海报等。C系列的使命Q1:除了AB两个系列之外，你认为还有其他系列存在的必要吗？师：老师用A4纸写了一封信，想邮寄出去，我需要用什么包装？生：信封师：用多大尺寸的信封？生：A3A4B3B4等，教师出示对比图，说明不合理原因。生：用A3太大了用B4也很大A4又完全重合B5又太小Q2:既然B4太大，A4又装不下，你能设计一张纸用来装A4的信吗？课堂预设：之前提过“几何平均值”，学生们大概率能想到用几何平均值算出新纸张的长宽。（取整数）型号长宽A4297210Ci？？B4353250Q3：我们用彩纸将Ci裁剪出来，看下是否适合装A4信封。师：通过对比，我们设计的Ci似乎更适合做A4信纸的信封！看来，C系列确有必要！Q4：其实我们刚设计的Ci，就是国际标准中的C4，你能推算出C系列其他型号纸张的尺寸吗？型号长宽C0C1C2…………C3229x2=458324C4324229C5229324/2=162C6…………C7C8C9C10Q5：对比ABC三个系列的纸张，你有什么发现？课堂预设：B纸张＞C纸张＞A纸张（尺寸大小）Q6：至此，我们已经发现了ABC三个系列的纸张尺寸，合并在一起就成了ISO纸张尺寸表。你还有其他发现吗？Q7：我们已经知道了三种系列相同型号纸张之间长与宽的关系（），那么面积上有什么关联吗？纸张型号尺寸（mm）面积（mm）A0841×11891B01000×14141.414C0917×12971.189课堂预设：①A0和B0之间有怎样的数量关系②CO与A0、B0之间的数量关系③A0CO面积之间的关系？即，师：你能用数学公式表达这种关系吗？结论：不同系列间存在固定的比例关系：B是A的倍，C是A的倍，C是A和B的几何平均值。未来一张纸：D系列会存在吗？Q1：我们已经了解，ABC三个系列确有存在的必要，它们能满足日常的全部需求吗？是否还需要D系列纸张来填补空白？D系列会存在吗？安排“测量长宽比值”的实践任务，是为了让学生从直观感知“形状相同”过渡到数学语言“长宽比恒定”，为后续探究系列纸张的比例规律埋下伏笔。同时，动手操作能调动学生的参与积极性，培养实践观察能力。从A4纸的精确尺寸切入，通过计算长宽比（≈1.4143）关联，再推导A0纸的“面积1平方米”与长宽比的适配关系，帮助学生理解纸张规格的数学设计逻辑，突破“为何不是整数尺寸”的认知困惑。通过“对折实验”“面积推理”等活动，引导学生自主发现“型号数字越大尺寸越小”“前一型号对折得下一型号”“面积随型号递增减半”等规律，既巩固了长方形面积计算、比例等基础知识，又培养了数据分析与归纳能力。设计“打印店选纸”情景剧，模拟真实需求冲突（A3太大、A4太小），让学生直观感受A系列的尺寸局限。这种基于实际问题的驱动式设计，使B系列的出现具备合理性与必要性，避免了规律讲解的生硬感。先让学生尝试“取长宽算数平均数”设计纸张，再通过“面积比例不一致”的矛盾点引出几何平均值，既深化了对“尺寸中间值”的数学理解，又让学生体会到数学方法在实际设计中的精准性。以“装A4信纸选信封”的现实问题为切入点，通过“A3太大、B4不适”的对比，凸显新系列的需求刚性。这种设计延续了“问题—解决”的逻辑主线，让学生明白数学规律的发现始终服务于实际需求。引导学生运用B系列的“几何平均值”经验推导C4尺寸，既是对已有知识的巩固迁移，也是对“系列设计逻辑一致性”的强化，帮助学生形成“需求—设计—规律”的完整思维链。通过对比A、B、C系列的尺寸与面积数据，总结“B是A的倍、C是A和B的几何平均值”等规律，将分散的系列知识系统化，培养学生的整体认知能力。提出“D系列是否存在必要”的问题，不给出固定答案，而是引导学生结合前三个系列的设计逻辑进行思考，旨在打破思维定式，培养创新意识与批判性思维。总结本节课以“探寻纸张规格的秘密”为主题，聚焦国际标准化组织（ISO）制定的A、B、C三大系列纸张规格，通过“感知—探究—拓展”的逻辑主线，引导学生从生活现象中抽象数学规律，实现知识、能力与素养的协同发展。教学开篇以学生熟悉的纸张