平面向量的概念 讲义 解析版

平面向量的概念【知识梳理】知识点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.知识点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).知识三：.模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.知识四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【题型归纳】题型一：平面向量的概念1．（24-25高一下·全国）下列说法正确的是（

）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．若，，则D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】A【分析】利用向量模的性质判断A，利用向量的终点性质判断B，举反例判断C，D即可.【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，对于两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，当时，与可能不共线，故C错误两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误．故选：A．2．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（）A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反B．若，则C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量【答案】D【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.故选：D3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（

）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行C．模为1的向量都是相等向量D．向量的模可以比较大小【答案】D【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.故选：D.题型二：向量的模4．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据几何关系求解.【详解】如图，，所以M是AC的中点，；故选：C.5．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据，可得，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC，由，得.因为为半圆上的点，所以，所以．故选：A.6．（21-22高一下·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B题型三：零向量和单位向量7．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【答案】C【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可C知正确；对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.8．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（

）．A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项.【详解】和长度相等，方向相反，故A正确；单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．故选：B9．（20-21高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（

）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确；②零向量的方向任意，故错误；③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D题型四：相等向量和平行（共线）向量10．（24-25高一下·全国）给出下列四个命题，其中正确的命题是（

）A．若，则与的方向相同或相反B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C．若，则D．“”的充要条件是“且”【答案】B【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可.【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，，但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误；因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形，若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确；当时，，但不一定有，选项C错误；当时，有且，当且方向相反时，，所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误．故选：B．11．（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（

）A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上B．若与共线，与共线，则与也共线C．若则D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或【答案】D【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C.【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确；若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错；若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错；由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错.故选：D.12．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（

）A．若、都是单位向量，则B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形C．与是两平行向量D．若，则是的相反向量【答案】C【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断.【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误，对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误，对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确，对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误.故选：C.题型五：平面向量的综合问题13．（24-25高一下·全国）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：(1)与向量相等的向量；(2)与向量共线的向量．【答案】(1)(2)，，，，，，．【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以，．．（2）与共线的向量有，，，，，，．14．（24-25高一下·全国）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与的相反向量；(3)写出与模相等的向量.【答案】(1)，(2)，(3)，，，，，，【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；（2）根据相反向量的定义直接求解即可；（3）根据模相等向量的定义求解即可.【详解】（1）由题意，．（2）由题意，与的相反向量为：，．（3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，．15．（22-23高一下·安徽）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)3【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，（2）根据向量的大小和方向，作向量，（3）根据向量的模的定义求.【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）

.【高分达标】一、单选题16．（24-25高一下·全国）下列各量中是向量的为（

）A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度【答案】C【分析】利用向量的定义判断即可．【详解】向量是既有大小，又有方向的量，因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，所以重力是向量，故选：．17．（24-25高一下·全国）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（

）

A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选：B.18．（24-25高一下·全国）下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反C．若为单位向量，则 D．与非零向量共线的单位向量是【答案】A【分析】由零向量的定义判断A；通过举反例判断B；由单位向量的定义判断C；直接写出与非零向量共线的单位向量来判断D．【详解】对于A，只有零向量的模为，故A正确；对于B，当时，显然与共线，但零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可知，单位向量的模相同，但方向是任意的，所以不一定相等，故C错误；对于D，与非零向量共线的单位向量有两个，与方向相同的是，与方向相反的是，故D错误．故选：A．19．（24-25高二上·甘肃临夏）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.故选：B.20．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（

）A．零向量的大小为0，没有方向B．C．起点相同的单位向量，终点必相同D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】B【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD.【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确；对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．故选：B．21．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量平行的意义进行判断即可.【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立；另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立.故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件.故选：B22．（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（

）①两个相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则；③相等的两个向量一定是共线向量；④零向量是唯一没有方向的向量；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解.【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误；对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.故正确的有①③，共两个.故选：B.23．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（

）A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；B．若，则与的长度相等且方向相同或相反；C．若，且与的方向相同，则D．若，则与方向相同或相反【答案】C【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D.【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误：对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误；对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确；对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.故选：C．24．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论.【详解】对于A：当时，，但，得不出，故A错误；对于B：若，则与没有关系，故B错误；对于C：若，则，故C正确；对于D：若，则和不能比较大小，故D错误．故选：C．25．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得’的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件.故选：C.二、多选题26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量与是共线向量，则四点共线C．若非零向量与共线，则D．若，则【答案】ABC【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．故选：ABC.27．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（

）A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上B．若，则或C．若向量满足，且与同向，则D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使【答案】AC【分析】由平面向量共线以及共线定理可判断A错误，D正确，再由数乘运算可得B正确，因为平面向量不能比较大小，可知C错误.【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误；对于B，若，则或，即B正确；对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误；对于D，由平面向量的共线定理可知D正确.故选：AC28．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.【详解】四边形，，是全等的菱形，，即三点共线，，，即，，与共线，且，ABD正确；对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立，如时，，故与共线不一定成立，故选：C.29．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（

）

A．与相等的向量只有1个（不含）B．与的模相等的向量有9个（不含）C．的模恰为的模的倍D．与不相等【答案】ABC【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C.【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确；而在中，，，故，故C正确；由于，因此与是相等的，故D错误．故选：ABC30．（23-24高一下·广西来宾·期末）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】BC【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.故选：BC.31．（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（

）A．若，则，且、、、四点构成平行四边形B．若为非零实数，且，则非零向量与共线C．在中，若，则点一定在角的平分线上D．若向量，则与的方向相同或相反【答案】BC【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C.【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误；对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确；对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误.故选：BC三、填空题32．（23-24高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是.①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．【答案】①③⑤【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解.【详解】对①：由定义知①正确；对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确；对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确；对④：单位向量方向可以不同，故④错误；对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确；故答案为：①③⑤.33．（23-24高一·全国·假期作业）下列说法中正确的是①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量与不共线，则与都是非零向量．【答案】①③【详解】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，正确，不妨设为零向量，则与共线，与与不共线矛盾，故③正确．34．（22-23高一下·广东湛江·阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．【答案】②③④【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.【详解】由零向量的定义可知，①正确；时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；当时，满足，，但不能得到，④错误.故答案为：②③④35．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.

【答案】2【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.因为，所以，，所以，，所以.又M，O，N三点共线，所以，，故相等向量有2对.故答案为：2.四、解答题36．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）