2026年高一数学暑假讲义学生版 （A版）

202026年高一暑假讲义⑷知识点知识点3根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2)(3) (4)如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数．当n为奇数时，，当n为偶数时，.知识点知识点4分式1、形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.2、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为：3、无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式4、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.5、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：①与②与繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.题型探析题型探析题型题型1乘法公式的应用例1、式子可恒等变形为（

）A． B．C． D．【变式训练1】若，则等于．【变式训练2】已知，，则，．【变式训练3】（1）已知，，求的值．（1）已知，求【变式训练4】【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图中，图中；（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：（用含字母，的式子表示）；【应用】请应用这个公式完成下列各题：（3）已知，，则的值为：；计算；【拓展】计算（4）的结果为．题型题型2立方和、立方差公式的应用例2、阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．【变式训练5】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：.根据材料和已学知识解决下列问题(1)因式分解：；(2)先化简，再求值：，其中.(3)利用材料因式分解：【变式训练6】已知函数满足条件：(1)对称轴为；(2)y的最大值为15；(3)的两根立方和为17.求的表达式．题型题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）例3、最简二次根式与能合并，则．【变式训练7】若，，则．【变式训练8】已知x，y为实数，若满足，则的值为．【变式训练9】观察与计算：；；__________；__________．像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；【应用】（1）化简：①；②；（2）化简：．【变式训练10】化简根式：(1);(2);(3);(4)题型题型4指数与指数幂的运算例4、设，下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练11】阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为．【变式训练12】（1）已知，求的值；（2）已知、，求的值．【变式训练13】（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：①，，求和的值；②已知，求的值．题型题型5分式的化简求值例5、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【变式训练14】关于分式，下列说法错误的是（

）A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为【变式训练15】先化简再求值：(1)，其中；(2)，其中．【变式训练16】若实数a，b满足，，则的值等于（

）A．2025 B． C． D．【变式训练17】定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）；(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．题型题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移例6、已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值.【变式训练18】已知函数，求y的取值范围.【变式训练19】求函数的对称中心.【变式训练20】已知函数，求y的取值范围和对称中心.题型题型7齐次式计算：比值消元例7、已知：，则＝．【变式训练21】已知：，且，则＝．【变式训练22】已知：，则＝．【变式训练23】已知，求【变式训练24】若，求课后演练课后演练一、单选题1、在函数中，自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．2、下列结论正确的是（

）A． B．C． D．3、计算的值为（

）A． B． C． D．4、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（

）．A． B．C． D．5、设[a]表示不超过a的最大整数，如，，则（

）．A．5 B．6 C．7 D．8二、多选题6、下列计算正确的是（

）A． B．C． D．7、下列分式化简错误的是（

）A． B．C． D．8、已知实数，满足，，则（

）A． B． C． D．三、填空题9、若分式的值为，则．10、已知，，则________11、已知x，y为实数，若满足，则的值为．四、解答题12、（1）计算：．（2）解方程：．13、先化简，再求值：，其中．14、已知，，求的值．15、【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．【解决问题】(1)仿照上面的解题过程，化简：__________．(2)计算：．(3)已知，，求的值．16、【阅读材料】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以，【尝试应用】（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；【拓广探索】（3）若，，且，．求的值．题型预览因式分解题型预览题型1提取公因式和公式法题型3含参数的十字相乘法题型2不含参数的十字相乘法题型4分组分解法知识梳理知识梳理知识点知识点1公式法【公式1】平方差公式：【公式2】完全平方公式：，.【公式3】立方和公式：【公式4】立方差公式：知识点知识点2十字相乘法1、型的因式分解利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则2、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.知识点3知识点3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.知识点知识点4求根公式法对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.题型探析题型探析题型题型1提取公因式和公式法例1、把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．【变式训练1】分解因式：(1)；(2)；(3)．【变式训练2】若，则的值为．【变式训练3】计算：(1)；(2)．【变式训练4】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了．A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为．(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．题型题型2不含参的十字相乘法例2、阅读下列材料：将分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．②交叉相乘，验中项：．③横向写出两因式：．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．试用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式训练5】已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（

）A． B．C． D．【变式训练6】阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次项系数．（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．

．（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：(1)(2)(3)【变式训练7】因式分解：（1）；（2）；（3）题型题型3含参的十字相乘法例3、分解因式．【变式训练8】因式分解：（1）；（2）【变式训练9】分解因式： ．【变式训练10】可因式分解为 ．【变式训练11】可因式分解为．【变式训练12】因式分解：（1）；（2）．题型题型4分组分解法例4、分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【变式训练13】因式分解(1)；(2)；(3)；(4)【变式训练14】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解：(1)；(2)．(3)(4)(5)课后演练课后演练单选题1、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．2、下列变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．3、已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（

）A．6 B． C．10 D．4、不能用十字相乘法分解的是（

）A． B．C． D．多选题5、下列代数式变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．6、由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（

）A． B．C． D．填空题7、若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为．8、分解下列因式：（1）；（2）；（3）．四、解答题9、（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）利用因式分解计算：．10、【阅读材料】教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：①分解因式：．②求多项式的最小值：，，当时，有最小值，最小值是．【解决问题】(1)按照上述方法分解因式：；(2)多项式的最小值为4，请求出的值；(3)若实数，满足，请求多项式的最值．题型预览方程题型预览题型1解一元二次方程题型5利用韦达定理求参数题型2解二元二次方程组题型6利用韦达定理求对称式的值题型3试根法解一元三次方程题型7根和系数与判别式的综合应用题型4一元二次方程的根的判别式题型8根据根的分布情况求参数知识梳理知识梳理知识点知识点1一元二次方程根的判别式一元二次方程，用配方法将其变形为：由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.（1）时，（）有两个不相等的实数根；（2）时，（）有两个相等的实数根；（3）时，（）没有实数根.知识点知识点2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程有两个根分别是，则：，，则所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系如果的两个根分别为，则：，这一关系式也被称为韦达定理.题型探析题型探析题型题型1解一元二次方程例1、一元二次方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练1】若将一元二次方程化成的形式，则的值为（

）A． B． C．5 D．17【变式训练2】解方程：(1)；(2)；(3)；（4）【变式训练3】若则代数式的值为（

）A．或3 B．1或 C． D．3【变式训练4】若，则的值为．【变式训练5】已知，则代数式的值是．题型题型2解二元二次方程组例2、解下列方程组：；【变式训练6】解方程组：【变式训练7】题型题型3试根法解一元三次方程方法技巧方法技巧高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。例3、解方程: 【变式训练8】解方程：【变式训练9】解方程：【变式训练10】解方程：题型题型4一元二次方程的根的判别式例4、一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【变式训练11】已知，是关于的方程的两个根，下面结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练12】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．【变式训练13】关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C． D．且题型题型5利用韦达定理求参数例5、若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（

）A． B． C． D．【变式训练14】已知a、b是方程的两个实数根，则的值为．【变式训练15】设，是关于的方程的两个根，且，则．【变式训练16】已知两个不等实数，满足，，则的值为（

）A． B． C．或 D．题型题型6利用韦达定理求对称式的值例6、已知是方程的两个实数根，则．【变式训练17】已知关于的一元二次方程．(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；(2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值．【变式训练18】已知是关于x的一元二次方程两个实数根，则．【变式训练19】关于x的方程的两个实根分别为α，β，则的最小值是．题型题型7根和系数与判别式的综合应用例7、关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（

）A．1或5 B．1或 C． D．5【变式训练20】若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是．【变式训练21】已知关于的一元二次方程.(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值.【变式训练22】(1)方程的两个实数根分别为、，则的值为，的值为．(2)方程的两个实数根分别为、，求的值．(3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．【变式训练23】已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且.(1)求实数的值；(2)求和的值.题型题型8根据根的分布情况求参数方法技巧方法技巧一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.（1）一般考虑以下几方面：①开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况

）.②判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0

恒成立）③判定△符号.④判定对称轴的位置.

总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在上根的分布情况①方程有两个不等的实数根;②方程有两个相等的实数根;③方程没有实数根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有两个不等正根；②方程有两个不等负根③方程有一正根和一负根,设两根为例8、已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练24】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为．【变式训练25】关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（

）A．B．C．D．且【变式训练26】关于的方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或课后演练课后演练一、单选题1、下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（

）A． B．C． D．3、若a，b是方程的两个根，则的值是（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．20234、若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且5、方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（

）A．或3 B．3 C． D．或26、若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（

）A． B． C． D．7、已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题8、已知一元二次方程，下列说法正确的有（

）A．B．若是方程的根，则C．若，则方程有两个不等的实数根D．若方程有两个不等的实数根分别为，则有，9、关于的方程有两个不相等的正实数根.则（

）A． B． C． D．10、已知，关于的方程有两个不相等的正实数根，则可取的值为（

）A．2 B． C． D．411、抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．下面正确的结论有（

）A．；B．；C．当时，若点在该抛物线上，则；D．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则．三、填空题12、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么．13、若一元二次方程的两根分别为，则．14、若，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．四、解答题15、已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若方程有一个根为，求的值及另一个根．16、已知关于x的一元二次方程有两根，(1)求m的取值范围；(2)若．求m的值．17、已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．(1)若，求的取值范围；(2)若为两个整数根，为整数，且，求.板块二集合与常用逻辑用语题型预览集合的概念与表示题型预览题型1判断是否构成集合（确定性）题型5利用集合的互异性求参数题型2元素与集合的关系题型6利用集合相等求参数题型3用列举法表示集合题型7利用集合中的元素个数求参数题型4用描述法表示集合知识梳理知识梳理知识点知识点1元素与集合的概念及表示1、元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2、元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点知识点2元素与集合的关系属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．知识点知识点3常用的数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或知识点知识点4列举法与描述法1、列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法(1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(1)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．题型探析题型探析题型题型1判断是否构成集合（确定性）例1、下列对象能构成集合的是（

）A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值C．所有的欧盟成员国 D．2025年全国高考数学试题中所有难题【变式训练1】以下四组对象，能构成集合的是（

）.A．最大的正实数 B．最小的整数C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数【变式训练2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点题型题型2元素与集合的关系例2、给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【变式训练3】已知，则（

）A． B． C． D．【变式训练4】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【变式训练5】已知集合，则集合中所含元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练6】已知集合，若且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型题型3用列举法表示集合例3、用列举法表示集合.【变式训练7】已知集合，则用列举法表示（

）A． B． C． D．【变式训练8】用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)；(3)．(4)．题型题型4用描述法表示集合例4、对集合用描述法来表示，其中正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练9】已知集合，则（

）A． B．C． D．【变式训练10】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线上的点组成的集合；(3)使函数有意义的实数x组成的集合．【变式训练11】(多选)下列各组中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，题型题型5利用集合的互异性求参数例5、已知集合若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【变式训练12】（多选）若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【变式训练13】已知集合，集合.(1)若，求a的值；(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.题型题型6利用集合相等求参数例6、已知集合，且，则（

）A． B．1 C． D．0【变式训练14】已知，集合，且，则.【变式训练15】（多选）已知集合，则的值可能为（）A．0 B．C．1 D．2【变式训练16】含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则．题型题型7利用集合中的元素个数求参数例7、若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【变式训练17】若集合中有2个元素，则的取值范围是.【变式训练18】若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．课后演练课后演练一、单选题1、设集合，集合，则集合中有（）个元素A．4 B．5 C．6 D．72、已知集合，则集合中元素的个数是（

）A．1 B．3 C．6 D．93、以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．4、集合，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．5、若，则a的值为（

）A．－1 B．0 C．1 D．2二、多选题6、一次函数与的图象的交点组成的集合是（

）A． B．C． D．三、填空题7、已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为8、已知集合，则四、解答题9、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合C；(3)方程的实数根组成的集合D；(4)函数图象上的所有点组成的集合E；(5)不等式的解组成的集合F．10、已知集合，且，求的值.题型预览集合间的基本关系题型预览题型1判断集合的包含关系题型5空集的概念及性质应用题型2求集合子集、真子集题型6根据集合的包含关系求参数题型3子集、真子集的个数题型7根据两个集合相等求参数题型4判断两个集合是否相等知识梳理知识梳理知识点知识点1子集、真子集与Venn图1、子集一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。2、Venn图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：注：①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．3、真子集如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.注：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A，B，C，AB，且BC，则AC；③若，则与有两种可能的关系：即或；知识点知识点2空集1、定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；2、空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；知识点知识点3集合相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。注：①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合包含两层含义：，或AB包含两层含义：，或若，且，则若AB，且AB，则A＝B若，，则若AB，BC，则AC题型探析题型探析题型题型1判断集合的包含关系例1、下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练1】（多选）若集合，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练2】若集合，，则下面结论中正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练3】已知集合，则（

）A． B． C． D．与的关系不确定题型题型2求集合子集、真子集例2、（多选）下列是集合的子集的为（

）A． B． C． D．【变式训练4】（多选）下列各个选项中，满足⫋的集合A有（

）A． B． C． D．【变式训练5】（多选）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（

）A． B． C． D．【变式训练6】已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16题型题型3子集、真子集的个数方法技巧方法技巧如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．例3、集合的真子集个数为．【变式训练7】已知集合，则的非空子集的个数是.【变式训练8】已知集合，则集合A的真子集个数为（

）A．32 B．4 C．5 D．31【变式训练9】若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A．15 B．16 C．32 D．256【变式训练10】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【变式训练11】设集合，．(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．题型题型4判断两个集合是否相等例4、（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式训练12】（多选）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C．D．【变式训练13】（多选）下面关于集合的表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练14】（多选）下列说法中正确的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4个子集C．集合D．集合题型题型5空集的概念及性质应用例5、下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【变式训练15】下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【变式训练16】（多选）下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练17】（多选）给出下列选项，其中正确的是（

）A． B． C． D．⫋题型题型6根据集合的包含关系求参数例6、设集合，，且，则（

）A．1 B．2 C．1或2 D．-1或2【变式训练18】（多选）已知集合，若，则的可能取值为（

）A． B． C．0 D．【变式训练19】已知集合，，若，则（

）A．1 B． C．1或0 D．1或【变式训练20】已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练21】已知集合，，若M⫋N，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练22】已知集合，，且满足，则实数的取值范围是．【变式训练23】已知．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围．题型题型7根据两个集合相等求参数例7、已知集合，，若，则（

）A．或2 B．或1 C． D．1【变式训练24】已知数集，，若，则.【变式训练25】若集合，则的值为【变式训练26】已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为（

）A．0 B．－ C．2 D．5【变式训练27】已知实数集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2课后演练课后演练一、单选题1、已知集合，且，则M可以是（

）A． B． C． D．2、下列表述中正确的是（

）A． B． C． D．3、已知集合，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．34、已知集合，，则集合的真子集个数为（

）A． B． C． D．二、多选题5、（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（）A． B．C． D．6、（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．7、（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（

）A． B．C． D．三、填空题8、已知集合，，若，则实数的取值范围是．9、已知，若，则．四、解答题10、已知集合．(1)若，写出集合A的所有子集；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值．11、已知.(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若，求实数a的取值范围.12、已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数.(1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集；(2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由.13、定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．(1)求集合的生成集；(2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；(3)若集合，的生成集为，求证．题型预览集合的基本运算题型预览题型1交集的概念与运算题型5交、并、补的混合运算题型2并集的概念与运算题型6由集合的混合运算求参数题型3补集的概念与运算题型7Venn图在集合运算的应用题型4由交、并、补运算求参数题型8容斥定理的应用知识梳理知识梳理知识点知识点1交集、并集与补集1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．知识点知识点2集合的运算性质1、，，．2、，，．3、，，．4、高频结论（1）．（2）,．知识点知识点3区间的概念及表示1、区间的概念：设a，b是两个实数，而且，我们规定集合区间名称闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间2、含有无穷大的表示：全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。集合区间题型探析题型探析题型题型1交集的概念与运算例1、已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练1】已知集合，或，则（

）A． B．C． D．或【变式训练2】已知集合，，那么（

）A． B． C． D．【变式训练3】若集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练4】集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．题型题型2并集的概念与运算例2、已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练5】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练6】集合，则（

）A． B． C． D．【变式训练7】已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练8】设集合，，则A∩B=（

）A． B． C． D．题型题型3补集的概念与运算例3、已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【变式训练9】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练10】已知集合或，则（

）A．或 B．C．或 D．【变式训练11】已知全集，，则（

）A． B． C． D．题型题型4由交、并、补运算求参数例4、已知集合，，若，则实数的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．不存在【变式训练12】设，，若，则实数a的值为.【变式训练13】已知集合，且，则（

）A． B．0 C． D．1【变式训练14】已知集合，.(1)当时，求，；(2)若，求的取值范围.【变式训练15】已知集合(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【变式训练16】设集合，集合．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围．【变式训练17】已知集合，.(1)当时，求；(2)若，且，求实数a的取值范围.题型题型5交、并、补的混合运算例5、设全集，则（

）A． B． C． D．【变式训练18】已知集合，集合，集合．求：(1)求，；(2)求，．【变式训练19】已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【变式训练20】设集合，，，则（

）A． B． C． D．题型6由集合的混合运算求参数题型6由集合的混合运算求参数例6、已知集合，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练21】已知或，，若，则m的取值范围是.【变式训练22】已知集合，若，则的取值范围是.【变式训练23】已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．题型题型7Venn图在集合运算的应用例7、如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【变式训练24】已知全集，则如图所示的阴影部分所表示的集合为

B．或 C． D．【变式训练25】如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【变式训练26】（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．题型题型8容斥定理的应用方法技巧方法技巧若集合A为有限集,则用card(A)表示集合A中元素的个数.如果集合A中含有个元素,那么有card(A).（1）一般地,对于任意两个有限集合A,B,有cardcard(A)card(B)－card.（2）一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有cardcard(A)card(B)－card－card－card＋card.例8、为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(

)A．10 B．9 C．7 D．4【变式训练27】（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【变式训练28】高一1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人课后演练课后演练一、单选题1、已知集合，，则（

）A． B． C． D．2、已知，，则的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．53、）已知集合，则（

）A． B．C． D．4、已知，，则A． B． C． D．5、已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题6、设，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C． D．37、（多选）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．三、填空题8、已知集合，，则.9、定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.解答题10、设全集，集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．11、已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．12、对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.(1)若，求；(2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，.题型预览充分条件与必要条件题型预览题型1命题的判断题型4由条件关系求参数的取值范围题型2充分、必要、充要条件的判断题型5充要条件的证明题型3充分、必要、充要条件的探究知识梳理知识梳理知识点知识点1命题及相关概念1、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.2、命题的分类①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句.(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.知识点知识点2充分、必要与充要条件1、充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件

q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2、充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3、充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇏q，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．4、充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.5、充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.题型探析题型探析题型题型1命题的判断例1、下列语句是命题的是（

）A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊! D．【变式训练1】下列语句中，命题的个数是（

）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A．0B．1 C．2 D．3【变式训练2】已知，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【变式训练3】对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（

）A．和都是真命题 B．和都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题题型题型2充分、必要、充要条件的判断例2、“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练4】“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练5】已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练6】已知，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练7】“月相变化”即地球上所看到的月球被日光照亮的不同形象．当地球位于月球和太阳之间时，我们可以看到整个被太阳直射的月球部分，这就是“满月”；当月球位于地球和太阳之间时，我们只能看到月球不被太阳照射的部分，这就是“朔月”；当地月连线和日地连线正好成直角时，若我们正好可以看到月球西半边亮且呈半圆形，这就是“上弦月”，若我们正好可以看到月球东半边亮且呈半圆形，这就是“下弦月”．根据以上信息可知“地月连线和日地连线正好成直角”是“下弦月”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练8】满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（

）A． B．C． D．题型题型3充分、必要、充要条件的探究例3、“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【变式训练9】使“或”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．或C． D．或【变式训练10】一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【变式训练11】（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．题型题型4由条件关系求参数的取值范围例4、已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（

）A．B． C． D．【变式训练12】已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【变式训练13】（多选）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（

）A．2 B． C． D．0【变式训练14】已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式训练15】若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练16】已知集合或，.(1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围；(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；(3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围；(4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围.【变式训练17】已知集合，集合，.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．题型题型5充要条件的证明例5、求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．【变式训练18】已知，求证：成立的充要条件是．提示：【变式训练19】已知是实数，集合，．(1)若，请写出集合的所有子集；(2)求证：“”是“”的充要条件．课后演练课后演练一、单选题1、“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、下列命题为真命题的是（

）A．“且”是“”的充要条件B．“”是“”的充分条件C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形”3、下列命题中，为假命题的是（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要条件4、已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5、在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（

）A． B．C．且 D．，，6、已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．三、填空题7、已知，，则“”是“”的条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.8、已知．（1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是；（2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是．四、解答题9、设为实数，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．题型预览全称量词与存在量词题型预览题型1全称量词命题、存在量词命题的辨析题型4根据全称量词命题的真假求参数题型2全称量词命题、存在量词命题的真假题型5根据存在量词命题的真假求参数题型3全称量词命题、存在量词命题的否定题型6常用逻辑用语与集合问题的综合考查知识梳理知识梳理知识点知识点1全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”3、全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.知识点知识点2存在量词命题与存在量词命题的否定1、全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2、对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3、对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．知识点知识点3命题的否定与原命题的真假1、命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2、命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.题型探析题型探析题型题型1全称量词命题、存在量词命题的辨析例1、（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（

）A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立【变式训练1】下列命题是全称量词命题的是（

）A． B．存在一个菱形的四条边不相等C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数【变式训练2】下列命题中是存在量词命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．，C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数【变式训练3】下列命题中的存在量词命题是（

）A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似题型题型2全称量词命题、存在量词命题的真假例2、下列命题中为真命题的是（

）A． B．是整数C． D．【变式训练4】（多选）下列命题正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练5】下列四个命题中真命题是（

）A．， B．，C．，使 D．，【变式训练6】下列含有量词的命题中为真命题的是（

）A．任意实数的平方都大于0B．，C．存在整数，使得D．，一元二次方程有实根题型题型3全称量词命题、存在量词命题的否定例3、已知命题，则为（

）A． B．C． D．【变式训练7】已知命题，，则命题为（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练8】若命题，则（

）A．是真命题，且B．是真命题，且C．是假命题，且D．是假命题，且【变式训练9】已知，，则（

）A．是假命题，，B．是假命题，，C．是真命题，，D．是真命题，，题型题型4根据全称量词命题的真假求参数方法技巧方法技巧1.常以一次函数、二次函数等为载体，题目中常出现“恒成立”等词语。2.求参数的取值范围时，从真命题的角度容易列关系式，如果已知一个存在量词命题是假命题，可以写出该命题的否定，利用该命题的否定是真命题求得参数的取值范围。3.若情况较多的时候，也可以采用正难则反的思路进行求解例4、已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练10】若命题“，”是假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练11】已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【变式训练12】若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（

）A． B．C． D．题型题型5根据存在量词命题的真假求参数例5、（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A.（2）若命题“，”为真命题，求实数a的最小值.【变式训练13】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练14】已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练15】已知，，；，使得.(1)若是真命题，求的最大值；(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.题型题型6常用逻辑用语与集合问题的综合考查例6、设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练16】已知命题：集合，命题，则命题与的推出关系是（

）A． B．C． D．以上都不对【变式训练17】已知集合，．(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．【变式训练18】已知命题“，方程有实根”是真命题.(1)求实数m的取值集合A；(2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.课后演练课后演练一、单选题1、下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（

）A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使2、命题“对任意，都有”的否定为（

）A．对任意，都有 B．不存在，使得C．存在，使得 D．存在，使得3、命题，都有，则（

）A．是假命题， B．是真命题，C．是假命题， D．是真命题，4、已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5、命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（

）A． B．C． D．二、多选题6、下列命题是真命题的是（

）A． B．C． D．7、下列四个结论正确的是（

）A．若，则或B．命题“”的否定是“”C．“”是“”的必要不充分条件D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件”三、填空题8、命题“，”的否定是．9、若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是．四、解答题10、已知集合，或．(1)求，；(2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围．11、已知命题，；命题，.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.板块三一元二次函数、方程和不等式题型预览等式性质与不等式性质题型预览题型1用不等式（组）表示不等关系题型4利用不等式的性质求数（式）的取值范围题型2比较两数（式）的大小题型5利用不等式的性质证明不等式题型3利用不等式性质判断命题真假知识梳理知识梳理知识点知识点1不等关系1、不等式的概念用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式.2、常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3、不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．知识点知识点2比较大小1、两个实数大小的比较如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或知识点知识点3等式性质与不等式性质1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：；②假分数的性质：.题型探析题型探析题型题型1用不等式（组）表示不等关系例1、在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【变式训练1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（

）．A． B．C． D．【变式训练2】一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为.题型题型2比较两数（式）的大小例2-1、已知，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式训练3】已知，，设，，则与的大小关系为．【变式训练4】若，设，则M，N的大小关系是．例2-2、已知a是实数，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式训练5】设，，则（

）．A． B． C． D．【变式训练6】从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.题型题型3利用不等式性质判断命题真假例3、下列命题是假命题的为（

）A．若，则 B．若且，则C．若且则； D．若，则【变式训练7】（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练8】（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若且，则D．若，则题型题型4利用不等式的性质求数（式）的取值范围方法技巧方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：已知，，求的取值范围.第一步：设；第二步：经过恒等变形，求得待定系数；第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围．例4、（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练9】已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练10】（多选）已知实数满足，，则（

）A． B．C． D．【变式训练11】（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【变式训练12】（多选）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练13】已知实数满足，则（

）A． B． C． D．题型题型5利用不等式的性质证明不等式例5、（1）比较和的大小；（2）已知，，证明：【变式训练14】已知实数，满足，．(1)求和的取值范围；(2)证明：．【变式训练15】设，，.(1)证明：；(2)若，证明.课后演练课后演练一、单选题1、对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2、对于实数，下列命题正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么3、如果，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5、设，则P，Q，R的大小关系是（

）A． B． C． D．6、下列说法正确的是（

）A．若，，且，则 B．若，，则C．若，，且，则 D．若，，且，则三、填空题7、某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为.8、已知实数a，b满足，则的取值范围为.四、解答题9、（1）已知，，求，及的取值范围．（2）设、均为正实数，试比较和的大小．10、（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由；（2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由.11、（1）已知，，，求证：；（2）证明：．题型预览基本不等式题型预览题型1基