2026年高一数学暑假讲义教师版 （A版）板块四

2026年高一暑假讲义2026年高一暑假讲义板块四函数的概念与性质题型预览函数的概念及其表示题型预览题型1函数的概念题型8根据函数定义域或值域求参数题型2具体函数的定义域题型9求函数值或由函数值求参数题型3抽象、复合函数的定义域题型10函数的表示方法题型4一次、二次、反比例函数的值域题型11待定系数法求解析式题型5分式型函数的值域题型12换元、配凑法求解析式题型6根式型函数的值域题型13方程组法求解析式题型7判断两个函数是否相等题型14分段函数及其运用知识梳理知识梳理知识点知识点1函数的概念1、函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2、函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3、求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.4、求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.5、求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法.知识点知识点2函数的相等1、函数的相等同一函数：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．2、区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：

(1)区间概念(a，b为实数，且a<b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)知识点知识点3函数的表示方法1、函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2、抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.3、分段函数(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．题型探析题型探析题型题型1函数的概念例1、下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，值域为，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，不是函数的图象；故选：C．【变式训练1】下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（

）A．，对应关系B．，对应关系C．，对应关系D．，对应关系【答案】B【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误；对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确；对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数定义，故C错误；对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误.故选：B.【变式训练2】（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误；对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确；对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误；对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确.故选：BD.【变式训练3】列对应关系是集合到集合的函数的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】ABD【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义．故选：ABD.题型题型2具体函数的定义域方法技巧方法技巧1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.3、零次幂的底数不能为零，即中.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。例2、函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】若函数有意义，有，可得且.故选：D.【变式训练4】函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得函数的定义域为.故选：B.【变式训练5】函数的定义域为.【答案】【详解】对于函数，则，解得且，故函数的定义域为.故答案为：【变式训练6】函数的定义域是．【答案】【详解】由已知，若函数有意义，则，解得，即，故答案为：.【变式训练7】已知函数则函数定义域为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由解析式知，则或，所以函数的定义域为.故选：C题型题型3抽象、复合函数的定义域方法技巧方法技巧1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围;2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域.3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域.例3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的定义域为，由，解得，故函数的定义域为.故选：B【变式训练8】若的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数的定义域是，对于函数，有，有，所以，函数的定义域为.故选：D.【变式训练9】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为的定义域为，所以，则的定义域为，所以函数的定义域为.故选：D【变式训练10】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，所以由，故函数的定义域为，故选：D.【变式训练11】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于的定义域为，故，则，因此，解得，所以的定义域为故选：A【变式训练12】（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：①；②.（2）函数的定义域是，求函数的定义域.【答案】（1）①；②；（2）【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为.②由已知，得，解得，故的定义域为.（2）先求的定义域：因为的定义域是，所以，所以，即的定义域是.再求的定义域：因为，解得，所以的定义域是.题型题型4一次、二次、反比例函数的值域例4、求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)，．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为.（2）因为，所以的值域为.（3）因为所以，所以的值域为；（4）因为，，所以在上单调递增，又，，∴函数，的值域为．【变式训练13】函数的值域为.【答案】【详解】因为，所以，故函数的值域为.故答案为：.【变式训练14】函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令得，，故定义域为，.故选：A【变式训练15】已知集合，，则.【答案】【详解】由，解得，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.题型题型5分式型函数的值域方法技巧方法技巧1、分离常数法

适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域2、判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域.例5、函数的值域为【答案】【详解】函数的定义域为，，而，则，所以函数的值域是.故答案为：【变式训练16】求函数的值域【答案】【分析】利用分离常数法变形可得，然后观察可得值域.【详解】方法一：分离常数法：设，因为，所以，所以原函数的值域为方法二：反解法：由，可得，所以当时，，所以原函数的值域为【变式训练17】函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为，所以，故值域为．故选：D【变式训练18】函数在上的值域是．【答案】【详解】因为，又，所以，所以，所以，所以.故答案为：【变式训练19】求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解法1：，因为，所以．解法2：由于，则，故．（2）解法1：，因为，所以，故．解法2：由于，则，因为，所以，解得，即．题型题型6根式型函数的值域方法技巧方法技巧通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．例6、函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意知函数定义域为，令，所以，当时，，所以函数的值域为.故选：C.【变式训练20】函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则可得，即，可得，当时，取得最大值2，即；所以其值域为.故选：A【变式训练21】函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，令，则，则函数变为，在上单调递减，其中，，故值域为.故选：D【变式训练22】求函数的值域．【答案】【详解】令，则，所以，故函数的值域为．题型题型7判断两个函数是否相等例7、下列四组函数中，与表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误．故选：B【变式训练23】下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．， B．C． D．【答案】D【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．故选：D.【变式训练24】下列各组函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是；对于B，的定义域均为R，且，B是；对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是；对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：B【变式训练25】下列各组函数中，表示同一函数的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误；对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误；对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确；对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误；故选：C.题型题型8根据函数定义域或值域求参数例8-1、已知函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立，所以由二次函数性质可知，解得，即.故答案为：【变式训练26】函数的定义域为，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为函数的定义域为，所以不等式对于恒成立，当时，不等式为，恒成立，符合题意；当时，有，解得.综上所述，实数的取值范围是.【变式训练27】函数在上有意义，则实数a的取值范围为．【答案】【详解】由题意可知在上恒成立，则，所以满足题意的实数a的取值范围为.故答案为：.【变式训练28】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为【答案】【详解】因为函数的定义域为，所以的解为，即的图象与轴没有交点，当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意；当时，要使的图象与轴没有交点，则，解得，综上所述：实数的取值范围.例8-2、已知函数的值域为，则实数的值为（

）A．或1 B． C．1 D．1或2【答案】A【详解】因为函数，又函数的值域为，则，解得或.故选：A.【变式训练29】若函数的定义域和值域均为，则b的值为．【答案】3【详解】由函数，可得对称轴为，故函数在上是增函数.函数的定义域和值域均为，，即.解得，或.，.【变式训练30】若函数的值域为，则实数a的值为．【答案】2【详解】由，∵，∴，又该函数的值域为，∴．【变式训练31】函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数，由对勾函数的性质可知，由于在上单调递减，在上单调递增，且注意到，，，所以所求a的取值范围是．故选：D题型题型9求函数值或由函数值求参数例9、若函数，则．【答案】3【详解】将代入函数表达式：.【变式训练32】已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，令，可得；令，可得；两式相加可得，令，可得；则，即.故选：D.【变式训练33】已知函数，且，则（

）A． B．3 C． D．17【答案】B【详解】函数，令，则，而，所以.故选：B【变式训练34】已知函数满足．若，则（

）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】C【详解】令，因为，且，所以，可得，故选：C.题型题型10函数的表示法例10、对于函数，部分与的对应关系如下表：则值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由表格可得，，所以.故选：C.【变式训练35】已知函数分别由下表给出：123321123131则．【答案】3【详解】由表可知，，故【变式训练36】既要金山银山，又要绿水青山．为了保护水资源，提倡节约用水，河源市水业集团对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过30的部分2.44元/超过30但不超过40的部分2.98元/超过40的部分4.60元/若某户居民本月交纳的水费为88.1元，则此户居民本月用水量为．【答案】35【详解】设此户居民本月用水量为，当时，，解得，不符合题意；当时，，解得，符合题意；当时，，解得，不符合题意.综上所述，此户居民本月用水量为.题型题型11待定系数法求解析式方法技巧方法技巧已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数.例11、已知一次函数满足，则（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【详解】设，则由，得，即，则,得，则，所以．故选：B【变式训练37】已知一次函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由为一次函数，设，依题意，，整理得，因此，解得，所以．故选：A【变式训练38】若函数是二次函数，满足，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设（），由，则，由，则，整理可得，则，解得，所以.故选：B.【变式训练39】若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，，∵，则，又∵，令，则，∴，即，，令，则，，即，，∴，，.故选：D.【变式训练40】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（

）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【详解】根据题意设，则，因为，所以，解得，所以，所以，故选：C题型题型12换元、配凑法求解析式方法技巧方法技巧1、换元法已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式.2、配凑法已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式.例12、已知，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，则，，所以.故选：C【变式训练41】已知，则函数的解析式为（）A． B．（）C．（） D．（）【答案】D【详解】令，则，，所以.故选：D.【变式训练42】已知函数，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，，所以，所以，故选：B.【变式训练43】已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以.故选：D.【变式训练44】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，且，或，当且仅当即时取等.所以.故选：D.题型题型13方程组法求解析式方法技巧方法技巧在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.例13、已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由①，可得②，①②得：，即.故选：A.【变式训练45】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是．【答案】【详解】由，①得，②由得，所以.故答案为：.【变式训练46】已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，用替换可得，从而得方程组，解得，故D正确.故选：D.【变式训练47】若函数，满足，且，则（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】令可得，所以；令可得；令可得，所以，所以，令可得，所以，所以.故选：D.【变式训练48】已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因①，用代替①中的得：②，则得：，解得.故选：D.题型题型14分段函数及其运用例14-1、已知函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．12【答案】A【详解】.故选：A【变式训练49】设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，则，故B正确.故选：B【变式训练50】若，则的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【详解】由题可得：.故选：A例14-2、设函数，若，则实数（

）A．2 B． C． D．或【答案】D【详解】因为函数，且，所以或，解得或.故选：D.【变式训练51】设函数，若，则实数的值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】根据题意，,由，得，则，从而，解得.故选:B．【变式训练52】已知函数，若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去；当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或；所以实数的值为.故选：B【变式训练53】已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】若，则，恒成立，若，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：B【变式训练54】设函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得：，当时，，解得或，所以.当时，，解得，所以.综上所述：不等式的解集为：.故选：A课后演练课后演练一、单选题1、下列表示函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，所以选项ABD均不符合.故选：C.2、已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得．3、函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，解得且，所以定义域为．4、设函数，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【详解】.故选：B5、设，则（

）.A．函数的最大值为3，最小值为1B．函数的最大值为，无最小值C．函数的最大值为，无最小值D．函数的最大值为3，最小值为【答案】C【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值，所以由得（舍去）或，即当时，函数有最大值，无最小值.故选：C6、已知函数的值域为，则实数的值为（

）A．或1 B． C．1 D．1或2【答案】A【详解】因为函数，又函数的值域为，则，解得或.故选：A.二、多选题7、下列函数是同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】BC【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错；对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对；对于C选项，函数、的定义域均为，且，这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对；对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为，对于函数，有，解得或，即函数的定义域为，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错.故选：BC.8、下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为，则函数的定义域为B．和表示同一个函数C．函数的值域为D．定义在上的函数满足，则【答案】ACD【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确；对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误；对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确；对于D：由，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题9、若函数的定义域为，则其值域为．【答案】2【详解】因为，所以,故答案为：210、已知函数，若，则．【答案】【详解】设，，，当时，，，无解，不符合题意；当时，，；当时，，，无解，不符合题意；当时，，．故答案为：11、已知函数的定义域是R，则的取值范围是.【答案】【详解】当时，可得或，当时，符合题意；当时，，显然不符合题意.当时，由于定义域为R，可得，解得：，综上所述：的取值范围是四、解答题12、根据下列条件，求函数的解析式.(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.(2)已知，求的解析式.【答案】(1)或(2)【详解】（1）是一次函数，∴设（k），∴∴或或（2）令则，，13、13、已知函数.(1)求；(2)若，求的值；(3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象.【答案】(1)0；(2)或或(3)图像见解析【详解】（1），（2），当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：；综上的值为：或或（3）14、求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)（）；(4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【详解】（1）∵，∴,∴的值域为.（2），显然,所以,故函数的值域为.（3）由,知.则,当且仅当,即时,上式取“”．∴（）的最小值为8.故函数（）的值域为.（4）设,则,且,所以，由,结合函数的图象得原函数的值域为.

题型预览单调性与最值题型预览题型1定义法判断或证明函数的单调性题型6利用函数的单调性解不等式题型2求函数的单调区间题型7抽象函数的单调性问题题型3复合函数的单调性题型8求函数的最值题型4利用函数的单调性求参数题型9利用函数的最值求参数题型5利用函数的单调性比较大小题型10函数不等式恒（能）成立问题知识梳理知识梳理知识点知识点1函数的单调性1、函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)；

a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)；

a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2、函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点知识点2函数的最值1、函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)∀x∈1，都有f(x)≥m；(2)∃x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2、求函数最值的三种基本方法：(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．(2)运用已学函数的值域．(3)运用函数的单调性：①若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．②若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．题型探析题型探析题型题型1定义法判断或证明函数的单调性方法技巧方法技巧1、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设，为该区间内任意的两个值，且；②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性．2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧（1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解；（2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解；（3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方；（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．例1、已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明.【答案】函数在上单调递减，证明见解析【详解】函数在上单调递减.证明如下：任取，且，则.因为，所以，，，所以，即.所以函数在上是单调递减函数.【变式训练1】若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（

）A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数【答案】B【详解】因为，所以和异号，所以当时，，当时，，故在上是严格减函数，故B正确.故选：B【变式训练2】已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”，如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减，故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.【变式训练3】已知定义在上的函数，满足．(1)求的解析式；(2)求证：在上是增函数．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以，所以的解析式为.（2）且，则，因为，所以，所以，所以，所以在上是增函数.【变式训练4】已知函数的图象过点和．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】(1)；(2)函数在上为减函数.证明见解析.【详解】（1）根据题意函数的图象过点和，则，，解得，，则.（2）函数在上单调递减，证明：任取，，设，则，又因为，则，，，，则；所以,故函数在上为减函数.题型题型2求函数的单调区间例2、如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和，故选：C.【变式训练5】函数的单调递增区间是．【答案】和【详解】作出的图象如下图所示，由图象可知，的单调递增区间是和，故答案为：和.【变式训练6】函数的严格减区间是.【答案】和【详解】函数，可作出函数的图像，如图，由图可知，函数的严格减区间为：和.故答案为：和【变式训练7】函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，则在单调递减，单调递增，当时，则在单调递增，所以的减区间为，故选：B.【变式训练9】函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．，【答案】D【详解】函数的定义域为，又的图象是由向右平移个单位而来，的单调递增区间为，，所以的单调递增区间为，.故选：D题型3复合函数的单调性题型3复合函数的单调性方法技巧方法技巧对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.例3、函数的单调减区间为.【答案】/【详解】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．故答案为：.【变式训练10】函数的单调递减区间是.【答案】（开闭都对）【详解】，解得，所以函数的定义域为，令，二次函数开口向下，对称轴为，由为增函数所以函数的单调递减区间为.故答案为：（开闭都对）【变式训练11】函数的单调增区间为.【答案】【详解】由得，函数的定义域是R，设，则在上是减函数，在上是增函数，∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是故答案为：【变式训练12】函数的单调递减区间是.【答案】【详解】由题得.设，函数的对称轴为，在单调递增，在单调递减.所以函数的单调递减区间为.故答案为：题型4利用函数的单调性求参数题型4利用函数的单调性求参数方法技巧方法技巧利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，例4、“”是函数在上是增函数的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为在上是增函数，可得，即，显然“”能推出“”，反之则不成立，所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件.故选：A.【变式训练13】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在上具有单调性，所以或，解得或，即实数的取值范围是.故选：B【变式训练14】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，在上单调递增，满足题意，当时，，满足题意，当时，，由对勾函数的性质知，若满足题意则，解得．综上，.故选：B．【变式训练15】函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，在区间上单调递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故选：C【变式训练16】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于函数是定义在上的减函数，所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【变式训练17】已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为对任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.题型5利用函数的单调性比较大小题型5利用函数的单调性比较大小方法技巧方法技巧比大小常用的方法是：利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。例5、若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为在上是增函数，且，所以．故选：．【变式训练18】若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，即，由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立．故选：D【变式训练19】设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，当时；当时；所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A题型6利用函数的单调性解不等式题型6利用函数的单调性解不等式方法技巧方法技巧解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．例6、已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或．故选：B【变式训练20】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数是定义在上的增函数，由，得，解得，即，故选：B【变式训练21】定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为对任意的（），都有，所以在R上单调递增．因为，所以的解集为，则的解集为．故选：C【变式训练22】设函数，若，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由函数解析式知在上单调递增，且，则，由单调性知，解得.故答案为：题型7抽象函数的单调性问题题型7抽象函数的单调性问题方法技巧方法技巧解决此类问题的关键是把x1写成x1−x2具体如下：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.=1\*GB3①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;=2\*GB3②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.例7、已知函数满足任意的实数，都有，且当时，．(1)求的值；(2)判断在上的单调性并证明．【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有，令，则，所以．（2）在上单调递增．证明如下：设且，则，因，则，故，所以，即，所以在上单调递增．【变式训练23】已知函数在上满足，且当时，；当时，．(1)求的值；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)在R上单调递减，证明见解析；(3).【详解】（1）令，则，故，可得，令，则，当，则，即，与题设不符，所以；（2）在R上单调递减，证明如下：当时，；当时，，由（1）知，由，当，即，，，所以，即在上单调递减，当，则，，，所以，即在上单调递减，综上，结合，易知在R上单调递减，得证.（3）令，则，故，即，所以，则，由（2）知，，即，可得或，所以不等式解集为.【变式训练23】已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为.【答案】【详解】由题意有：令有：，令有：，对任意的且，所以，即，所以，即，所以，所以在上单调递增，又，所以，所以，故答案为：.【变式训练24】函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．(1)求，；(2)判断并证明的单调性；(3)解不等式：．【答案】(1)；；(2)在上单调递增，证明见解析；(3)或【详解】（1）令，则，，令，则，又，；（2）任取，且，则，∵，∴，∴，即，所以在上单调递增．（3）由，即，也就是，即，因为在上是增函数，所以，可得不等式解集为或.题型8求函数的最值题型8求函数的最值方法技巧方法技巧（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值．【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值．例8、函数的最小值和最大值分别是（

）A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6【答案】C【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得．【变式训练25】已知，则的最小值为．【答案】-3【详解】当时，令，当时，，当时，单调递减，最小值为，综上，的最小值为-3.【变式训练26】（多选）下列关于函数，下列结论正确的有（

）A．的定义域为 B．的值域为C．当时， D．在上是增函数【答案】ABD【详解】由，对于A，的定义域为，A正确；对于B，的值域为，B正确；对于C，因为在上单调递减，在上单调递增，而，，则时，，C错误；对于D，由C知知C在上单调递增，D正确．故选：ABD．【变式训练27】已知函数，.(1)判断并证明函数的单调性；(2)求函数的最大值与最小值.【答案】(1)减函数，证明见解析；(2)最小值为，最大值为【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下：任取且，，因为且，所以，，，所以，即，所以是上的减函数.（2）由（1）知是上的减函数，所以，.【变式训练28】已知函数．(1)若，求函数的最值；(2)若，求函数的最值．【答案】(1)最小值为，最大值为；(2)答案见解析【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，∴在上单调递减，在上单调递增，且．∴，．（2）由（1）知对称轴为直线，①当，即时，，．②当，即时，，．③当，即时，，．④当，即时，，．设函数的最大值为，最小值为，则有，.题型9利用函数的最值求参数题型9利用函数的最值求参数例9、（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取的最小值为，当或时，函数值为，函数的定义域为，值域为，所以，实数的值可能为．故选：ABC【变式训练29】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以当时，函数取得最小值2，因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2，所以.故选：D【变式训练30】若函数在区间内的最大值为3，则（

）A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【详解】，当时，，不符合题意；当，即时，在内单调递减，，符合题意；当，即时，在内单调递增，，解得，与矛盾，舍去．综上所述，．故选：【变式训练31】已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；若，则时，是减函数，，时，，因此在时是增函数，由得，所以，当时，，的最小值是，不是，不合题意，综上，的取值范围是．题型10函数不等式恒（能）成立问题题型10函数不等式恒（能）成立问题例10、已知函数.若恒成立，则的取值可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，不等式，依题意，恒成立，而当时，，当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是.故选：D【变式训练32】已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则该函数在上为增函数，当时，，因为对均有，所以，，则，解得.故选：D.【变式训练33】已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】不妨设，，故，令，则，所以在R上单调递增，因为，所以，，所以，解得.故选：C课后演练课后演练一、单选题1、如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据图象知的单调递增区间为，故选：D.2、函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和．3、若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（

）A．6 B．3 C． D．【答案】C【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，．4、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意，当时，因为为二次函数，且函数在区间上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：.5、已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题设，在定义域上单调递减，且，所以，在上，在上，所以，当时，当时，当时，由，可得解集为.故选：C6、若函数在上的最大值为，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】因为，所以当时，在上单调递减，则，解得，与矛盾，不符合题意；当时，根据对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，所以，解得，符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，不符合题意；综上所述，.故选：D二、多选题7、下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增．8、下列关于函数的结论正确的是（

）A．在和上单调递增B．在和上单调递减C．在上为增函数D．在上为增函数【答案】ABC【详解】对于A，函数，定义域为，由函数和在和上都单调递增，所以在和上单调递增，A正确；对于B，函数，其图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，由于反比例函数在和上单调递减，所以在和上单调递减，B正确；对于C，当时，函数，所以在上为增函数，C正确；对于D，函数在上单调递减，上单调递增，D错误.故选：ABC.9、已知函数，则（

）A．函数的定义域为B．函数在单调递减C．函数值域为D．不等式的解集为【答案】ABD【详解】对于A，函数有意义，则，解得，的定义域为，A正确；对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确；对于C，，函数值域为，C错误；对于D，由，得，则，解得，的解集为，D正确.故选：ABD三、填空题10、函数的单调递减区间为.【答案】【详解】由，解得或，则函数的定义域是，二次函数的开口向上，对称轴为，所以的单调递减区间是.故答案为：11、函数在上的最大值为，则.【答案】【详解】易知，是由向左平移1个单位得到，当时，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得，与矛盾；当时，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得.故答案为：.四、解答题12、已知函数(1)求的值；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)求不等式的解集．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）当时，，则，当时，，则，（2）任取，故，由于,所以，因此，故，因此函数在区间上是增函数，（3）当时，由时，，解得或，当时，由时，，解得，综上可得不等式的解集为．13、已知函数经过，两点.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；(3)当时，，求实数的最小值.【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【详解】（1），，，解得，.（2）在上单调递增，证明如下：任取，，且，则，，，且，，，，，即，所以函数在上单调递增.（3）由（2）知函数在上单调递增，由对勾函数性质得在上单调递减，函数在上的最大值为，由知，，所以的最小值为.题型预览奇偶性及其应用题型预览题型1函数奇偶性的判断题型5利用函数的奇偶性解不等式题型2由函数奇偶性求函数值、解析式题型6函数图象的识别与判断题型3利用函数的奇偶性求最值题型7抽象函数的奇偶性问题题型4利用函数的奇偶性求参数题型8函数性质的综合运用知识梳理知识梳理知识点知识点1函数的奇偶性1、函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.2、函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.3、函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点知识点2函数的图象1、函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2、函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.3、对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.题型探析题型探析题型1函数奇偶性的判断题型1函数奇偶性的判断方法技巧方法技巧1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．2、验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．例1、下列函数中是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意；对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意；对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意；对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意.故选：C.【变式训练1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】A选项在其定义域内是增函数，C选项在其定义域内为偶函数，D选项在其定义域内为非奇非偶函数，B选项在其定义域内既是奇函数，又是减函数.故选：B【变式训练2】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数．（2）因为的定义域为，它关于原点对称，又，所以为奇函数．（3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称，且，所以，所以，所以，所以是奇函数．题型2由函数奇偶性求函数值、解析式题型2由函数奇偶性求函数值、解析式方法技巧方法技巧1、利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．2、利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．3、已知奇函数+M，，则；例2-1、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则．【答案】【详解】由偶函数性质可得，又当时，，所以，即.【变式训练3】已知是定义在上的奇函数，当时，，则.【答案】【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，因为时，，所以，则.故答案为：.【变式训练4】已知函数是定义在上的偶函数，则.【答案】4【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.故答案为：4.例2-2、已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，即有，再由是定义在上的奇函数，所以，即有，所以当时，，当时，，综上可得：，故选：C.【变式训练5】已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数为偶函数，所以.当时，，所以当时，.故选：A.【变式训练6】已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则.【答案】【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①，所以，，即②，联立①②得，，故.故答案为：.例2-3、已知，其中为常数，若，则.【答案】2【详解】，.故答案为：2.【变式训练7】已知函数，且，则．【答案】【详解】令，，，则，，所以为奇函数，为偶函数，又，且，，所以，，又，所以.故答案为：【变式训练8】已知函数，其中为常数，若，则（

）A． B．7 C． D．4【答案】A【详解】函数的定义域为R，令，则，所以是奇函数，因此，而，所以.故选：A.题型3利用函数的奇偶性求最值题型3利用函数的奇偶性求最值方法技巧方法技巧1、奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则2、偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。例3、函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】设，，则，所以函数为奇函数，则，即.故选：D.【变式训练9】若函数在区间[－2025，2025]上的最大值为4，则最小值为．【答案】0【详解】因为，令x∈[－2025，2025]，则，因为，所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以在[－2025，2025]上的最大值和最小值之和为0，即，则，因，故.故答案为：【变式训练10】已知函数的最大值为，最小值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】由，得，函数的定义域为，令，定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以，则的图象关于点对称，所以.故选：C.【变式训练11】设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为．【答案】【详解】，构造函数定义域为，则，故为奇函数，所以，所以，故答案为：2题型4利用函数的奇偶性求参数题型4利用函数的奇偶性求参数方法技巧方法技巧1、若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.2、一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.例4、已知为实数，且函数是偶函数，则.【答案】【详解】因为函数是偶函数，所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称，所以，且，所以.故答案为：.【变式训练12】已知定义域为的奇函数，则的值为．【答案】0【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以．【变式训练13】若为奇函数，则【答案】【详解】的定义域为，因为为奇函数，则，由，，所以，解得，故答案为：【变式训练14】已知函数为奇函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】由题意可得：，所以，可得：，所以，.故选：C题型5利用函数的奇偶性解不等式题型5利用函数的奇偶性解不等式例5、已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是．【答案】【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或．【变式训练15】已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为用集合表示【答案】或【详解】因为是偶函数，所以，所以，又因为在上单调递减，所以，解得：或故答案为：或【变式训练16】设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知的解集是的解集是．因为不等式等价于不等式组或所以不等式的解集是．故选：B.【变式训练17】已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为当且，时，恒成立，则在内单调递减，又因为函数为奇函数，可知在内单调递减，所以函数在内单调递减，若，则，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.题型6函数图象的识别与判断题型6函数图象的识别与判断例6、函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，且，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB；当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除D，C满足.故选：C【变式训练18】函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】∵的定义域为，关于原点对称，且，∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B；又，故排除选项D；又，故排除选项C；故选：A．【变式训练19】函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】对于函数，定义域为，因为，所以函数为偶函数，故B，C错误，当时，，又在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，故A错误，D正确．故选：D．【变式训练20】函数的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C；当时，，则在上单调递增，排除D，故选：A题型7抽象函数的奇偶性问题题型7抽象函数的奇偶性问题方法技巧方法技巧这类抽象函数问题的一般解题方法是赋值法，通过对自变量赋予特殊值（如0、−x等），结合已知函数关系式，推导函数的特殊值、奇偶性等性质。例7、已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B． C．为增函数 D．为奇函数【答案】C【详解】对于A，令，则，又因为，所以，令，则，解得，故A错误；对于B，令，则，又，解得，故B错误；对于C，令，则有，又因为，所以，所以函数为单调递增函数，故C正确；对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.【变式训练21】（多选）已知函数的定义域为，则（

）A．B．C．是偶函数D．若对于任意的，有，则在上单调递增【答案】ABC【详解】A：令，对；B：令，则，对；C：令，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，对；D：令，则，所以，又对于任意的，有，则所以，所以在上不可能单调递增，错.故选：ABC【变式训练22】已知函数对任意实数恒有，当时，，且.(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间上的最大值；(3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)；(3).【详解】（1）取，则，所以，取，则，所以对任意恒成立，所以为奇函数．（2）任取且，则，所以，所以，又为奇函数，所以，所以．故为上的减函数．所以在上的最大值为，因为，所以，故在上的最大值为6．（3）因为在上是减函数，所以，因为，对所有，恒成立．所以，对所有恒成立，即，对所有恒成立，令，则，即，解得：或．所以实数的取值范围为．题型8函数性质的综合运用题型8函数性质的综合运用例8、函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式．【答案】(1)；(2)证明见解析；；(3).【详解】（1）是定义在上的奇函数，，即，，则，，，函数解析式为．（2）任取，且，，，则，，，，即，是上的增函数．（3），，是上的奇函数，，，为上的增函数，，解得，不等式的解集为．【变式训练23】知函数是上的偶函数．(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)如果对，都有成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)单调递增，理由见解析；(3)【详解】（1）因为函数是上的偶函数，所以有，因为，所以；（2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：设是上任意两个实数，且，即，，因为，所以，所以函数在区间上单调递增；（3）由（2）可知：函数在区间上单调递增，而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，，所以在上的值域为，由恒成立，即，也就是，则，得，所以的取值范围为.课后演练课后演练一、单选题1、下列函数为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足．2、函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A，因为，定义域为所以，故为偶函数，排除C，时，，排除D．故选：B3、已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将不等式变形可得，因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于，所以