福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测 数学试卷

福建省泉州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测

数学试题

一、单选题

2

1．已知z1i1i，则z（）

A．1iB．1iC．1iD．1i

2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中

部两层共抽取n名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人

数为80，则n（）

A．60B．100C．120D．140

3．已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2,A45,B75，则c（）

A．2B．2C．6D．3

4．设,为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，且m，则下列说法正确的是（）

A．若n//m，则n//

B．若nm，则n或n

C．若n//，n//，则n//m

D．若n与,所成的角相等，则nm

rrrrr

5．已知向量a,b满足a1,b2,aab，则a在b上的投影向量为（）

11

A．bB．bC．bD．b

22

6．已知直三棱柱A1B1C1ABC的顶点均在球面上，且AA123,BAC30,BC1，则该球的表面积为（）

32π4π

A．16πB．C．4πD．

33

7．如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中

香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度

的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（）

A．7天B．11天C．15天D．19天

uuuuruuuruuur

8．在ABC中，ABAC,BC2，动点M满足BMxBCyBA，且2xy1，若N为AB的中点，则MN

的最小值为（）

1213

A．B．C．D．

3322

二、多选题

π

9．已知函数fxAsinxA0,0,的部分图象如图所示，则（）

2

A．A2

B．1

π

C．fx的图象关于原点对称

6

π

D．直线x是fx的图象的对称轴

12

10．已知z1,z2C，则下列说法正确的是（）

A．z1z2z1z2

B．若z1z1，则z1R

222

C．若z1,z2是方程xx20的两根，则z1z25

D．若1z12，则在复平面内z1对应的点的集合所成的图形面积为3π

11．已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，G,M,N分别为AB,BC,A1C1的中点，若

AA12,A1ABA1AC60，则（）

A．AA1BC

22

B．三棱柱ABCA1B1C1的体积为

3

21

C．A1M与AN所成的角的余弦值为

14

311

D．平面MNG截三棱柱所得的截面面积为

4

三、填空题

12．已知一组数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是．

π

13．已知3sincos1，则cos2．

3

14．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，

再分别以点A,B,C为圆心，以AB的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知P为AC上的

一点，Q为AB的中点，若BC4，则PQPC的最大值为，最小值为．

四、解答题

π

15．已知函数fx2sin2x．

3

(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；

π

(2)当x0,时，mfx1，求实数m的取值范围．

4

16．某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测

量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下：

质量指标值分组45,7070,95

频数4060

平均数6383

方差616

乙工厂

(1)求m的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据

用该组区间的中点值作为代表）；

(2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商．

17．如图1，在平行四边形ABCD中，AB2,BC1,ACBC，将ACD沿AC翻折至△ACP（如图2），

使得PB5．

(1)证明：BC平面PAC；

(2)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值；

(3)若点E在平面ABC内，AEBE，当三棱锥PABE的体积最大时，求AE的长．

18．已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2c2a2bc．

(1)求A；

(2)若c4，求ABC的面积的取值范围；

π

(3)如图，若D为ABC外一点，且ABDACB,BDCD,AD15，求a．

4

19．在平面直角坐标系xOy中，点Px,y绕原点O逆时针旋转角后得到点Px,y，其中

xxcosysin,

，称该公式为点的坐标旋转变换公式．

yxsinycos,

π

(1)已知点A1,0可由点Aa,b绕原点O逆时针旋转得到，求a,b的值；

3

2π

(2)若曲线C:ysin2x绕原点O逆时针旋转得到曲线C，求证：直线yx1与C有无数多个公共点；

24

(3)曲线E:yxcosxy上是否存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形？证明你的结

论．

题号12345678910

答案BDCCBAACACABD

题号11

答案ACD

1．B

利用复数的模与除法运算法则可求复数z.

2

22

【详解】由z1i1i，可得z1i1212，

221i21i

所以z1i.

1i1i1i2

故选：B.

2．D

根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可.

80

【详解】

2000

故选：D.

3．C

应用正弦定理计算求解.

【详解】ABC中，若a2,A45,B75，

c2

则C60，再应用正弦定理得32，

22

则c6.

故选：C

4．C

根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可.

【详解】对于A，n//m，m，则n//或n，A选项错误；

对于B，nm，则n可以不垂直且不垂直，B选项错误；

对于C，如图，记平面ABCD和ADD1A1分别为平面,，直线AD,B1C1分别为m,n，

过直线n的平面BCC1B1,A1B1C1D1分别交,于直线BC,A1D1，记为l,s，

因为n//，n//，所以n//l,n//s，所以l//s，

由线面平行的判定定理可知l//，

因为m，l，所以l//n，所以m//n，C正确.

对于D，如图，若ABCDA1B1C1D1为正方体，

记平面ABCD和ADD1A1分别为平面,，直线AD,BD1分别为m,n，

由正方体性质可知，直线n与,所成角相等，但m,n不垂直，故错误.

故选：C.

5．B

rr

根据题意求得ab，进而利用投影向量的定义求得a在b上的投影向量．

rrrrrr

r2rrrrr2

【详解】因为aab，因为aab0，所以aab0，所以aba1，

ab1

bb

所以a在b上的投影向量为2.

b2

故选：B.

6．A

利用正弦定理求得ABC外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积.

【详解】在ABC中，BAC30,BC1，

1BC11

利用正弦定理可得ABC外接圆的半径AE1，

2sinBAC2sin30

2

又，所以直三棱柱ABCABC的外接球的半径为2，

AA123111OA132

所以该球的表面积为4πOA216π.

故选：A.

7．A

根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数.

152

【详解】由题意可知，设香料收纳盘的高为h，则收纳盘的容积为22622262hh．

33

收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为

2

126222138

646hh，

3223

523814

所以剩余的香料粉的容积为hhh，

333

因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天.

故选：A．

8．C

取BC的中点E，可得M在直线AE，最小值即为N到直线AE的距离，据此计算可得最小值.

【详解】作出示意如图所示：取BC的中点E，

uuuuruuuruuuruuuuruuuruuur

则BC2BE，又BMxBCyBA，所以BM2xBEyBA，

又2xy1，所以M在直线AE上，

所以MN的最小值为N到直线AE的距离，即MNAE，

因为ABAC，所以AEBC，且BE1，所以MN//BC，

111

所以MNBE，所以MN的最小值为.

222

故选：C.

9．AC

1

A项，由图象即可得出A的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出

4

πππ

fx的表达式，得出fx的表达式，令x0得出fx，即得出关于原点对称；D项，将x

6612

πππ

代入表达式，求出2x，写出fx的对称轴满足的方程，得出不存在整数k使得x时，

3612

ππ

2xkπkZ，进而得出结论.

32

【详解】由题意及图得，

π

在fxAsinxA0,0,中，

2

T7πππ

A22，，故A正确，

41234

2π2π

∴Tπ，2，故B错误，

Tπ

∴fx2sin2x，

π

∵图像过,0，

3

π2π

∴2kπkZ，解得：kπkZ，

33

π

∵，

2

ππ

∴，fx2sin2x

33

πππ

∴fx2sin2x2sin2x，

663

ππππ

当x0时，fxf2sin20，

6663

π

∴fx的图象关于原点对称，C正确；

6

πππππ

当x时，2x2，

1231236

πππ

当直线x满足2xkπkZ时，为fx2sin2x的对称轴，

323

πππππ

∴不存在整数k使得x时，kπ，即2xkπkZ，

122332

故D错误；

故选：AC.

10．ABD

根据共轭复数的概念，复数与一元二次方程根的关系，复数的几何意义，逐一判断各选项正误，求出结果.

【详解】设z1abi,z2cdia,b,c,dR，则z1z2abi+cdiacbdi，

由z1z2acbdi，得z1z2acbdi，

所以z1z2z1z2，所以A正确；

当abiabi时，化简得2bi0，即b0，所以z1aR，所以B正确；

2

z1,z2是方程xx20的两根，根据韦达定理可知z1z21,z1z22，

222

则z1z2z1z22z1z23，所以C错误；

当1z12时，复平面内z1对应的点的组成图形为扇环，外侧半径为2，内侧半径为1，

面积为π22π3π，所以D正确；

故选：ABD.

11．ACD

利用向量的线性计算结合数量积的运算律可得AA1BC0，可判断A；利用线面垂直作出三棱柱的高，再

用三棱柱体积公式计算即可判断B；利用定义作出异面直线所成角，结合余弦定理计算出角的余弦值可判

断C；作图确定截面为梯形，利用公式求其面积可判断D.

【详解】对于选项A，BCBAAC，A1ABA1AC60，

AA1BCAA1·BAACAA1BAAA1AC22cos12022cos60

11

22220，

22

AA1BC,故选项AA正确.

,,

对于选项B，连接AM,A1MA1CA1B，

底面是边长为2的正三角形，AA12,A1ABA1AC60，则

ABACBCAA1A1BA1C2，

ABC和A1BC都是边长为2等边三角形，

M为BC中点，AMA1M3，

34336

在AMA1中，利用余弦定理可得cosA1AM，sinAAM，

43313

过点A1作A1OAM于点O，

由上可知，AA1BC,AMBC,AA1AMA,AA1,AM平面AA1M，BC平面AA1M，

又A1O平面AA1M，则A1OBC，

由A1OAM，A1OBC，AMBCM,AM,BC平面ABC，可得A1O平面ABC，

26

所以A1O就是三棱柱ABCA1B1C1的高，且AO2sinAAM,

113

126

又SABC233，所以三棱柱的体积VSh322，故选项B错误.

2ABC3

2

114AN

对于选项C，连接AN，在AA1N中，AA1N120，利用余弦定理可得cosAAN，

12212

解得AN7，

延长CA至点Q，使AQNA1，连接A1Q,QM，则A1Q//NA且A1QAN7，

QA1M即为A1M与AN所成的角（或其补角），

21

在QCM中，QC213,CM1,QCM60,利用余弦定理可得QM912317，QM7，

2

73721

则在A1QM中，A1Q7,A1M3，QM7，利用余弦定理可得cosQA1M，故选

27314

项C正确.

对于选项D，连接GM,A1G,C1M，

QG,M分别为AB,BC的中点，MG//AC//A1C1,

M,G,A1,C1四点共面，则平面MNG截三棱柱所得的截面即为梯形A1GMC1，

A1GA1M3,A1GM为等腰三角形，

22

2

底边上的高2GM111，即梯形的高为11，

GMhA1G3

2222

11

12

梯形AGMC的面积为311，故选项D正确.

11S2

24

故选：ACD.

12．9

根据第p百分位数的概念，求一组数的第p百分位数.

【详解】共有10个数，则100.757.5，

则第75百分位数是第8个数,即9.

故答案为：9.

1

13．

2

π1

利用辅助角公式可得sin，利用二倍角的余弦公式可求解.

62

31π1

【详解】由3sincos1，可得2sincos1，所以sin，

2262

2

ππ2π11

所以cos2cos212sin12.

36622

1

故答案为：.

2

14．42087

建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角恒等变换可求PQPC的最值.

【详解】以B为坐标原点，BC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，

π

则Q1,3，C4,0，P(4cosθ,4sinθ)，0，

3

则PQ14cos,34sin,PC44cos,4sin，

所以PQPC14cos44cos4sin34sin

44cos16cos16cos243sin16sin2

53

2020cos43sin2087cossin

2727

53

2087sin，其中sin,cos，

2727

5πππ

则tan3，则，所以，

3323

π

所以当时，PQPC2087，

2min

π

当时，PQPC4.

3max

故答案为：4；2087.

5ππ

15．(1)π，kπ,kπ,kZ

1212

1

(2),

2

（1）利用正弦型函数的最小正周期公式求得最小正周期，利用整体法，结合正弦函数的单调性求得单调递

增区间；

π1

（2）利用x0,，求得fx1,2，由已知可得m，可求实数m的取值范围；法二：令

4fx

tfx1t2，分m0与m0两种情况求得实数m的取值范围.

2π2π

【详解】（1）依题意得fx的最小正周期为Tπ

2

πππ5ππ

由2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ

2321212

5ππ

所以函数fx的单调递增区间kπ,kπ,kZ；

1212

πππ5ππ1

（2）由x0,，得2x,，所以sin2x,1，

433632

π

所以fx2sin2x1,2，

3

π1

解法一：当x0,时，由mfx1，且fx1,2，得m，

4fx

1

只需满足m，

fx

min

111

因为函数y在区间1,2上单调递减，所以，

fx2

smin

11

所以m，即实数m的取值范围,．

22

解法二：令tfx1t2，可设gtmt，则原题意等价于gt1，

当m0时，不等式显然成立；

当m0时，因为函数gtmt是单调函数，

g11m11

所以只需满足，即，解得m且m0，

g212m12

1

综上，实数m的取值范围为,．

2

16．(1)m0.02，样本平均数75，样本方差129；

(2)建议选择乙工厂生产的产品.

（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出m0.02，再利用平均数和方差公式计算即可；

（2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大

小，即可得出结论.

【详解】（1）因为0.0060.014m0.0240.036101，所以m0.02，

所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为

x甲=500.06+600.14+700.24+800.36+900.2=75，

222222

方差为s甲0.06250.14150.2450.3650.215129.

4063+6083

（2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为x乙==75，

100

22232

方差为s乙=6+6375168375108，

55

22

所以x甲=x乙，s甲s乙，

以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较

小，产品质量比较稳定，

故建议选择乙工厂生产的产品．

17．(1)证明见解析

3

(2)；

4

(3)AE2

（1）利用勾股定理可得BCPC，结合已知可证BC平面APC；

（2）过点A作AHPC于点H，连结HB，利用线线垂直证明线面垂直，进而可证ABH为直线AB与平

面PBC所成的角的正弦值，求解即可；法二：过点A作AHPC于点H，连结HB，利用面面垂直的性质

AH平面PBC，下同解法一；法三：设点A到平面PBC的距离为h，利用等体积法求得h，进而可求直线

AB与平面PBC所成的角的正弦值；

11

（3）由题意可得VS△PAAEBE，法一：利用基本不等式求得AEBE的最大值即可.法二：

PABE3ABE6

212

设AEx0x2，则BE4x，可得VPABEx4x，利用换元法与二次函数的性质可求最值.

6

π1

法三：设EAB0，可得VPABEsin2，可求最大值.

23

【详解】（1）因为PCDCAB2,BC1,PB5，所以PC2BC2PB2，所以BCPC，

又因为BCAC,ACIPCC，所以BC平面APC；

（2）解法一：过点A作AHPC于点H，连结HB

因为BC平面APC，AH平面APC，所以BCAH，

又因为BCPCC，所以AH平面PBC，

所以HB为斜线AB在平面PBC上的射影，ABH为直线AB与平面PBC所成的角，

在平行四边形ABCD中，AD//BC，因为ACBC，所以ADAC，

所以PAAC，在Rt△PAC中，PCDCAB2,BC1，

PAAC3

由勾股定理可得AC3，根据等面积法可得AH

PC2

AH3

在Rt△PAB中，AB2，所以sinABH，

AB4

3

即直线PB与平面ABC所成的角的正弦值为；

4

解法二：因为BC平面APC，BC平面ABC，所以平面PBC平面APC，

过点A作AHPC于点H，连结HB

又因为平面PB平面APCPC，AH平面APC，

所以AH平面PBC，

下同解法一：

解法三：在平行四边形ABCD中，AD//BC，

因为ACBC，所以ADAC，所以PAAC，

因为BC平面APC，PA平面APC，所以BCPA，

又因为ACBCC，所以PA平面ABC，

设点A到平面PBC的距离为h，直线AB与平面PBC所成的角为，

V3VPAS3

hAPBCPABC△ABC

根据等体积法可得1SS2，

S△PBC△PBC

3△PBC

h3

因为AB2，所以sin，

AB4

3

即直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为；

4

1111

（3）由（2）知PA平面ABC，又因为AEBE，所以VS△PAAEBEAEBE，

PABE3ABE326

解法一：因为AE2BE2AB24，

AE2BE2

所以AEBE2，当且仅当AEBE2时等号成立，

2

所以当AE2时，三棱锥PABE的体积取得最大值．

212

解法二：设AEx0x2，则BE4x，所以VPABEx4x，

6

112

令tx20t4，则Vt4tt24，

PABE66

所以当t2，即AE2时，三棱锥PABE的体积取得最大值．

π

解法三：设EAB0，

2

在RtAEB中，AEABcos,BEABsin，

11

所以VAB2sincossin2，

PABE63

π

因为0，所以02π，

2

ππ

所以当2，即时，三棱锥PABE的体积取得最大值，

24

所以当AE2时，三棱锥PABE的体积取得最大值．

π

18．(1)A

3

(2)23,83

(3)a6

1

（1）变形得到b2c2a2bc，由余弦定理求出cosA，得到答案；

2

23ππ

（2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到b2，并由锐角三角形得到C,，求出b2,8，

tanC62

由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；

SABC3b

解法二：由余弦定理cosB0，且cosC0，得到不等式，并将a2b24b16代入两不等式，解得2b8，

由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；

SABC3b

ππ

解法三：考查ABC,ACB的极端位置情况，当ABC时，b8，当ACB时，b2，从而得到

22

，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围；

2b8SABC3b

π26

（3）解法一：求出CBD，设CDx，表达出其他各边长，在ABC中，由正弦定理得ABx①，

63

π

在△ABD中，由余弦定理可得AD2AB2BD22ABBDcos②，将①式代入②式得到方程，求出x3，

4

故a6；

π5ππ

解法二：求出CBD，设CDx，表达出其他各边长，求出ABC，DCA，在ABC中，

61212

23

由正弦定理可得AC，在△ACE中，用含x的式子表达出AE,CE，求出DEx，在ADE中，由勾股

3

定理和AD15可得方程，求出x3，故a6．

【详解】（1）因为b2c2a2bc，所以b2c2a2bc，

b2c2a2bc1

由余弦定理得cosA，

2bc2bc2

π

因为A0,π，所以A；

3

bc

（2）解法一：在ABC中，由正弦定理得，

sinBsinC

π

又c4,A，

3

2π2π2π

csinC4sincosCcossinC

所以csinB33323，

b2

sinCsinCsinCtanC

ππ

因为ABC是锐角三角形，所以C,，

62

3

所以tanC,，所以b2,8，

3

11π

因为SbcsinAb4sin3b，

ABC223

所以ABC的面积的取值范围是23,83；

解法二：因为ABC是锐角三角形，

c2a2b2a2b2c2

所以cosB0，且cosC0，

2ca2ab

所以c2a2b20，且a2b2c20，

又因为a2b2c2bc,c4，所以a2b24b16，

所以16b24b16b20，且b24b16b2160，解得2b8，

11π

因为SbcsinAb4sin3b，

ABC223

所以ABC的面积的取值范围是23,83；

解法三：因为ABC是锐角三角形，所以ABC,ACB均为锐角，

根据图形变化，考查ABC,ACB的极端位置情况，

c

πb8

当ABC时，π，

2cos

3

ππ

当ACB时，bccos2，

23

可得当且仅当2b8时，ABC是锐角三角形；

11π

因为SbcsinAb4sin3b，

△ABC223

所以ABC的面积的取值范围是23,83；

ππππππ

（3）解法一：因为A,ABDACB，所以CBDπ，

344436

因为BDCD，设CDx，则BCa2x,BD3x，

π

ABBCBCsin

26

在ABC中，由正弦定理可得ππ，即AB4x①，

sinsinπ3

43sin

3

π

在△ABD中，由余弦定理可得AD2AB2BD22ABBDcos②，

4

8262

将①式代入②式得x23x22x3x15，

332

化简得x29，解得x3，故a6．

解法二：过点A作AEDE交DC的延长线于点E，

ππππππ

因为A,ABDACB，所以CBDπ，

344436

因为BDCD，设CDx，则BCa2x,BD3x，

ππ5ππππ

又因为ABCπ,DCA，

43123412

5π

ACBCBCsin

6

所以在ABC中，由正弦定理可得5ππ，即AC122x

sinsi