吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试 数学

吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年下学期期末考试

高二年级数学

本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回：

注意事项：

1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．将条形码准确粘贴在考生倍息条形

码粘贴区．

2．答题时请按要求用笔、

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草

稿纸、试卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照．

5．保持卡面湾洁，不要折叠，不要异破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

2

A2,3,4,6Bxx100

1.已知集合，，则AB（）．

A.4,6B.3,4,6C.3,6D.2,3

【答案】A

【详解】因为A2,3,4,6，又2210，3210，4210，6210，

所以AB4,6，故A正确.

故选：A

2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（）

A.r1r2r3r4B.r2r1r3r4C.r1r2r4r3D.r2r1r4r3

【答案】A

【详解】由图知，r1,r2对应的y与x负相关，且r1对应的相关性更强，即r1r20；

r3,r4对应的y与x正相关，且r4对应的相关性更强，即0r3r4，

所以r1r20r3r4.

故选：A

3.ab是ac2bc2的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当ab，c0时，显然ac2bc2不成立；

当ac2bc2时，显然c20，由不等式性质可知，ab，

故ab是ac2bc2的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知fx，gx都是定义域为R的奇函数，则函数yfxgx的部分图象可能为（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【详解】由题知，yfxgx的定义域为R，关于原点对称，

由fxgxf(x)g(x)fxgx，得yfxgx是偶函数，A，B错误.

fx，gx都是定义域为R的奇函数，则f(0)g(0)0，

则yf0g00，D错误，C正确.

故选：C

5.从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（）种

A21B.120C.60D.91

【答案】B

4

【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C9＝126种选法，

44

其中只有男生没有女生的选法有C5＝5种，只有女生没有男生的选法有C4＝1种，

则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种；

故选B．

2xx4

6.已知函数fx，则f2log23的值为（）

fx1x4

A.24B.4C.12D.8

【答案】A

【详解】因为2log234，所以f2log23f3log23，

3log233log23

又3log234，所以f3log232228324.

故选：A.

7.已知正实数m，n满足2mn2mn，则mn的最小值为（）．

33

A.2B.22

22

C.22D.222

【答案】A

11

【详解】2mn2mn可以转化为1，

2mn

111nm3

所以mnmn12，

2mn22mn2

21223

当且仅当n2m，即m，n时等号成立，此时mn的最小值为2.

222

故选：A．

x

21,x2,2

8.已知函数fx若关于x的方程[fx]afxa10有4个不相等的实数根，

x3,x2,

则实数a的取值范围是（）

A.1a0B.0a1C.1a1D.0a1

【答案】A

2x1,x2,

【详解】∵fx，

x3,x2,

当x0时，f(x)在(,0)上为减函数，

当0x2时，f(x)0即f(x)在(0,2)上为增函数，fxf23，

当x2时，f(x)在2,上为增函数，

作出函数f(x)的图象如图所示：

设tf(x)，

当t3时，方程tf(x)有1个解，

当t3时，方程tf(x)有2个解，

当1t3时，方程tf(x)有2个解，

当0t1时，方程tf(x)有3个解，

当t0时，方程tf(x)有2个解，

当1t0时，方程tf(x)有1个解，

当t1时，方程tf(x)有0个解，

2

方程[fx]afxa10等价为t2ata10，

2

要使关于x的方程[fx]afxa10恰有4个不相等的实数根，

2

等价为方程tata10有两个不同的根t1a1,t21，且当t1时，方程tf(x)有1个解，

所以t1a1时，方程tf(x)有3个解，所以0a11，即得1a0.

故选：A．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列叙述正．确．的是（）

11

A.不等式2的解集是xx

x2

2

B.函数yx2与yx是同一函数

C.已知函数f2x1的定义域为1,1，则函数fx的定义域为1,3

2

D.若函数fx1x3x，则fxxx2x1

【答案】CD

112x11

【详解】A：由20，则x(2x1)0，可得x0或x，故解集为xx不对，错；

xx22

2

B：由yx2的定义域为R，而yx的定义域为[0,)，显然不是同一函数，错；

C：由f2x1的定义域为1,1，则12x13，即函数fx的定义域为1,3，对；

D：由解析式tx11，则x(t1)2，

故ft(t1)23(t1)t2t2且t1，

2

所以fxxx2x1，对.

故选：CD

10.下列叙述正确的是（）

A.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法

B.用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个

C.4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法

D.正十二边形的对角线的条数是54

【答案】BCD

5

【详解】A：将5人作全排列有A5120种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，

24

有A2A448，

若甲与丙不相邻，则共有1204872种，错；

13

B：从1、2、3中选一个放在千位有C33种，再把余下的3个数作全排A36种，共有3618种，对；

C：由题意，每个人都有3种选择，故共有3481种，对；

9´12

D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有=54条，对.

2

故选：BCD

11.已知函数fx与gx的定义域均为R，且fxg1x3，gxfx33，若ygx

的图象关于点1,0对称，则（）

A.f03B.gxgx

2025

C.fx2是奇函数D.gi0

i1

【答案】ABD

【详解】由ygx的定义域为R且图象关于点1,0对称，则g(2x)g(x)，且g(1)0，

所以f0g10f(0)g(1)3，则f03，A对；

由fxg1x3，知fx3g4x3，又gxfx33，

所以g4xg(x)，而g4xg(x2)，则g(x)g(x2)，

故g(2x)g(x2)，即gxgx，B对；

由fxg1x3，则fx3g1x，故fx23g1x3g1x，

令x0，则f23g13，显然不满足fx2是奇函数，C错；

由B分析有g4xg(x)，即gxg(x4)，故g(x)是周期为4的函数，

其中g(1)0，g(2)g(0)，g(3)3f(0)0，g(4)g(0)，

所以g(1)g(2)g(3)g(4)0，故

2025

gi506[g(1)g(2)g(3)g(4)]g(2025)0g(1)0，D对.

i1

故选：ABD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

6

1

12.在x的二项展开式中，常数项为__________.

x

【答案】20

63

【详解】1的二项展开式中，常数项为331，

xC6x20

xx

故答案为：20

x2a1x1,x2

13.若函数fx，是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是__________.

3a2x3,x2

23

【答案】,

34

a1

2

2

23

【详解】由题知，3a20，解得：a.

34

42a1123a23

23

故答案为：,.

34

14.甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若

未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均

为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第n次听写的人是

甲的概率_______．

n1

2121

【答案】①.##0.4②.

5653

【详解】根据题意，记“第n次听写的人是甲”为事件An，“第n次听写的人是乙”为事件Bn，

设PAnpn，依题可知PBn1pn.

则PAn1PAnAn1PBnAn1PAnPAn1|AnPBnPAn1|Bn.

即Pn10.6Pn0.21Pn0.4Pn0.2.

121111

变形可得，又，则

pn1pnp1p.

3532136

112

则数列p是首项为，公比为的等比数列.

n365

n1

即121

pn.

653

21

所以第次听写的人是甲的概率为1212

2p2.

6535

n1

所以第n次听写的人是甲的概率为121

pn.

653

n1

2121

故答案为：；.

5653

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知函数fxx33x29x1．

（1）求函数fx在x0处切线的方程；

（2）求函数fx的极值．

【答案】（1）9xy10

（2）极大值为6，极小值为-26

【小问1详解】

因为函数fxx33x29x1，

2

所以求导得fx3x6x9.

所以f09.又f01，

所以函数在x0处的切线方程为y19x0，即9xy10.

【小问2详解】

22

因为fx3x6x93x2x33x3x1.

令fx0，解得x3或x1.

当x3或x1时，fx0；当1x3时，fx0.

所以fx在,1,3,上单调递增，在1,3上单调递减.

32

所以fx的极大值为f113916，极小值为f333393126.

16.为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽

取100名学生进行调查统计．数据如下：

数学成绩

整理数学错题习惯合计

优秀非优秀

有203050

没有104050

合计3070100

（1）依据小概率值0.05的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；

（2）在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组

建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用X表示访谈时成绩优秀的人数，求X的分布

列及数学期望．

2

nadbc

附：2

abcdacbd

2

Pk0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.635787910.828

6

【答案】（1）有关；（2）分布列见解析，期望为.

5

【小问1详解】

零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联

2

10010302040

由题设24.7623.841，

30705050

故依据小概率值0.05的独立性检验，不能认为零假设成立，

故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联；

【小问2详解】

由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀，

C31C1C26

所以优秀学生人数，且3，23，

X0,1,2P(X0)3P(X1)3

C510C510

C2C13

23，

P(X2)3

C510

故分布列如下，

X012

163

P

101010

1636

则E(X)012.

1010105

x

17.已知函数fxx2e．

（1）求fx的单调区间及最值；

（2）求出方程fxkkR的解的个数．

【答案】（1）答案见解析；

（2）答案见解析.

【小问1详解】

由题设fxx3ex，故x3时有fx0，x3时有fx0，

1

所以f(x)在(,3)上单调递减，在(3,)上单调递增，且f(x)f(3)，

e3

1

当x趋向时f(x)趋向0，x趋向时f(x)趋向，故f(x)[,)，

e3

1

综上，f(x)的递减区间为(,3)，递增区间为(3,)，最小值为，无最大值；

e3

【小问2详解】

由（1）分析，可得f(x)的大致图象如下：

1

当k时，fxk无解；

e3

1

当k0时，fxk有两个不同解；

e3

1

当k或k0时，fxk有且仅有一个解.

e3

18.已知定义域都为R的函数fx与gx满足：fx是偶函数，gx是奇函数，且

fxgx23x．

（1）求函数fx、gx的解析式；

2

（2）直接说明函数gx的单调性，并解关于x不等式：gx4xgx60；

3x2

（3）设px，hxf2x2gx2m3，对于x1R，都x20,，使得

3x2

px1hx2，求实数m的取值范围．

【答案】（1）f(x)3x3x，g(x)3x3x；

（2）gx单调递增，不等式解集为(,6)(1,)；

1

（3）m.

2

【小问1详解】

由题设，f(x)g(x)f(x)g(x)23x，且fxgx23x，

f(x)3x3x，

两式相减可得g(x)3x3x；

【小问2详解】

由y3x,y3x在R上均单调递增，故g(x)在R上单调递增，

由gx24xgx60，则gx24xgx6g(6x)，

所以x24x6x，即x25x6(x6)(x1)0，可得x6或x1，

所以解集为(,6)(1,)；

【小问3详解】

3x244

xR时，px1，又02，故p(x)(1,1)，

3x23x23x2

x0时，

hxf2x2gx2m332x32x2(3x3x)2m3(3x3x)22(3x3x)2m1，

令t3x3x，则t0，

2

则hxFtt22t2m1t12m22m2，

1

由xR，都x0,，使得pxhx，只需2m21，即m.

12122

ke

19.设随机变量X的概率分布为PXk，kN，其中是大于0的常数，e为自然对数的底

k!

数.则称X服从参数为的泊松分布，记为X~π.

（1）若2，求PX1；

（2）已知当n20，0p0.05时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于Y~Bn,p，X~πnp，

有PYkPXk.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若Y~B20,p，0p0.05，

212

PY2，求实数p的取值范围；

223

（3）若X