湖南省衡阳市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

高一下学期期末考试数学试卷

考试时间：120分钟总分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

13i

z

1.已知复数1i（i是虚数单位），则z对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

13i13i1i24i

【详解】z12i，则，

1i1i1i2z12i

则z对应的点1,2在第二象限.

故选：B

π32005π

2.已知sin()，则cos(2)（）

422

1313

A.B.C.D.

2222

【答案】C

【详解】由题可知：

2005πππππ

cos(2)cos(1002π2)cos2cos2cos2，

22224

2005ππ2ππ3

所以cos(2)cos212sin，又sin()，

24442

2

所以2005π31

cos(2)12.

222

故选：C

3.设，是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若，m//，l//，则ml

B.若m，l，m//l，则//

C.若m，l//，l//，则m//l

D.若m，l，m//l，则

【答案】C

【详解】对于A，直线m，l可能平行，相交或异面，故A错误，

对于B，平面，可能相交或平行，故B错误，

对于C，由直线与平面平行性质，可得C正确；

对于D，平面，可能相交或平行，故D错误．

故选：C．

4.已知向量a,b满足a1,a2b2，且(b2a)b，则cosa,b（）

2312

A.B.C.D.

8444

【答案】D

222

【详解】由a2b2，得a4a·b4b44a·b4b3——①

2

再由(b2a)b，得b2a·b0，即b2ab——②

21

联立①②解得b，ab.

24

a·b2

所以cosa,b.

ab4

故选：D

5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90

后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（）

A快递行业从业人员中，“90后”占一半以上

B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%

C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多

D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多

【答案】D

【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%39.6%22.176%，超过

20%，

所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确；

快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为56%17%9.52%，超过“80前”

的人数占总人数的百分比，C正确；

快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占

总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确．

故选：D

6.若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是（）

A.圆柱的侧面积为4πR2B.圆锥的侧面积为5πR2

C.圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和D.三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大

【答案】C

【详解】

对A，圆柱的侧面积等于2πR2R4πR2，A正确；

12

对B，圆锥的母线长为4R2R25R，所以圆锥的侧面积为2πR5R5πR，B正确；

2

12

对C，圆柱的体积为πR22R2πR3，圆锥的体积为πR22RπR3，

33

442

球的体积为πR3，所以πR3πR32πR3，C错误；

333

222

对D，圆柱的表面积S12πR4πR6πR，

圆锥的表面积222，

S25πRπR(51)πR

2

球的表面积为S34πR，由于5146，所以圆柱的表面积最大，D正确.

故选：C．

7.如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接

OA，OD，则OD（）

21

A.OAOBB.OA2OB

33

C.2OAOBD.OA2OB

【答案】C

【详解】由题意知，OCODDCODABODOBOA，

OEOFEF111

由OEFOBC，得，所以OEOB,OFOC，

OBOCBC333

11

在OED中，OFOEOD，

22

111111

即OCOBODOBOD，

323262

111

即(ODOBOA)OBOD，整理得OD2OAOB.

362

故选：C

8.已知矩形ABCD，AB2，AD1，将△ABD沿BD折起到ABD．若点A在平面BCD上的射影

落在△BCD的内部（不包括边界），则四面体ABCD的体积的取值范围是（）

325325325325

A,B.,C.,D.,

2521565615

【答案】D

【详解】在矩形ABCD中，AB2，AD1，过点A作AOBD于O，交边CD于E，如图，

AD15

BD22125，cosADB，

AB55

2

所以，55，22525，

ODADcosADB1AOADDO1

5555

AO25AD55

所以，cosDAE，则AE1，

AD5cosDAE252

5255

则OEAEAO，

2510

把△ABD沿BD折起到ABD的过程中，AOBD，OEBD，

又因为AOOEO，AO、OE平面AOE，所以，BD平面AOE，

因为BD平面BCD，所以，平面AOE平面BCD，

由面面垂直的性质定理可知，点A在平面BCD上的射影在直线OE上，

因为点A在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（不包括边界），则当AO平面BCD时，

25

点A到平面BCD的距离h最大，于是hAOAO，

max5

当AE平面BCD时，点A到平面BCD的距离h最小，如图，此时AEOE，

22

2553325

于是22，从而，

hminAEAOOEh

510225

1

而S211，

BDC2

11325

所以，

VABCDS△BCDhh,.

33615

故选：D.

二、选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a4,0，b2,2则下列结论正确的是（）

A.(a2b)bB.a2b

π

C.a与b的夹角为D.a在b方向上的投影向量为2,2

4

【答案】BD

【详解】对于A，a2b(4,0)(4,4)(0,4)，(a2b)b(0,4)(2,2)024280，因此

(a2b)b错误，故A错误；

2222

对于B，a(4)0164，2b2222224，因此a2b，故B

正确；

ab(4,0)(2,2)420282

对于C，cosa,b，且a,b(0,π)，因此a与b

ab42282822

3π

的夹角为，故C错误；

4

b2(2,2)

对于D，a在b方向上的投影向量为acosa,b4()1(2,2)(2,2)，故D正

b222

确.

故选：BD.

10.衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量

给出的评分数据，分成50,60，60,70，70,80，80,90，90,100五组，得到如图所示的频率分

布直方图，则下列结论正确的是（）

A.x0.01

B.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，

则应选取评分在70,80的学生8人；

C.该样本数据的中位数和众数均为85；

D.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改

【答案】AB

【详解】对于A，由图可得(x0.0150.0200.0250.030)101，解得x0.01，故A正确；

对于B，由图知，评分低于80分的学生有100(0.010.0150.02)1045人，

22

随机抽取18人，抽样比为，故应选取评分在70,80的学生1000.28人，故B正确；

55

对于C，因前三组的频率之和为0.10.150.20.45，前四组的频率之和为：

0.10.150.20.30.75，

0.50.452458090

故中位数在第四组，中位数为80，众数为85，故C错误；

0.0332

对于D，该样本数据的平均数为：x550.1650.15750.2850.3950.2579.585，

根据此样本认为该校食堂需要整改，故D错误.

故选：AB.

11.在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cb2bcosA，则下列结论正确的有（）

ππ

A.A2BB.B的取值范围为,

63

a1153

C.的取值范围为(2,3)D.2sinA的取值范围为,3

btanBtanA3

【答案】ACD

【详解】因为cb2bcosA，所以由正弦定理得sinCsinB2sinBcosA，

又因为sinCsin(AB)，所以sinABsinB2sinBcosA，

即sinAcosBsinBcosAsinB2sinBcosA，

整理得sinAcosBsinBcosAsinB，即sin(AB)sinB

对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以ABB，即A2B，故A项正确；

对于B项，因为A2B，ABCπ，所以Cπ3B，

ππ

0A02B

22

ππππ

因为A、B、C均为锐角，所以0B，即0B，解得B，

2264

ππ

0C0π3B

22

ππ

所以B的取值范围为,，故B项错误．

64

asinAsin2Bππ

对于C项，由正弦定理得2cosB，B(,)，

bsinBsinB64

23a

所以cosB(,)，所以2cosB(2,3)．故C项正确．

22b

ππππ

对于D项，由A项知，A2B，由B项知，B，所以A，

6432

所以

11tanAtanBsinAcosBsinBcosAsinAB

2sinA2sinA2sinA2sinA

tanBtanAtanBtanAsinBsinAsinBsinA

sinB1ππ

2sinA2sinA，AÎ(,)，

sinBsinAsinA32

31113

令tsinA，则t(,1)，所以2sinA2t，t(,1)，

2tanBtanAt2

1312t213

令h(t)2t，t(,1)，则h(t)20，所以h(t)在(,1)上单调递增，

t2t2t22

353531153

又h()，h(1)3，所以h(t)(,3)，即2sinA范围为(,3)，故D项正确.

233tanBtanA3

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积V12,AB3，若四面体AB1CD1的外接球的表面积为S，则

S的最小值为______.

【答案】17π

【详解】设BCx,BB1y，由于V12,AB3，故xy4；

结合长方体性质可知四面体AB1CD1的外接球即为长方体的外接球，

9x2y2

则外接球半径为r，

2

2

9x2y2

则外接球的表面积为S4πr24ππ9x2y2

2

π92xy17π，当且仅当xy2时取等号，

即S的最小值为17π，

故答案为：17π

13.衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的

强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5

分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________.

311

【答案】##10

33

255204

【详解】设x82，s28，x86.5，s22，，，

1122125209225209

54

则全班学生成绩的平均数为xxx8286.584，

112299

全班学生成绩的方差为

22524231

222，

s1s1xx12s2xx28848228486.5

993

31

故答案为：

3

111

14.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)，P(B)，P(AB)，则P(AB)_______.

234

11

【答案】

12

111

【详解】由概率的性质知P(A)P(AB)P(AB)，因此P(AB)P(A)P(AB)，

244

11112111

P(AB)P(A)P(B)P(AB)(1).

23423412

11

故答案为：.

12

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知z11i,z22i，在复平面内，复数z1z2，z1z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.

（1）求|BC|；

（2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形ABCD，求D点坐标以及cosABC的值.

【答案】（1）13

765

（2）cosABC

65

【小问1详解】

由题意知z1z232i,z1z21,z1z21i2i13i，

故A(3,2),B(1,0),C(1,3)，

2

则BC2,3，故BC22313；

【小问2详解】

因为四点A、B、C、D组成平行四边形ABCD，故ABDC，

1x4

设D(x,y)，则4,21x,3y，即，

3y2

x5

解得，即D(5,5)；

y5

BABC14765

又，则cosBA,BC，

BA4,2,BC2,322

BABC42222365

765

即cosABC.

65

23

16.甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负

55

互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三

胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子

向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，

并说明理由；

（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.

【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由见解析

44

（2）

125

【小问1详解】

抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为(a,b)，则共有36种情况，如下：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，

其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)，共16种情况，

16445

故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为1，故方案二被选择的可能性更大.

36999

【小问2详解】

224

若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：；

5525

23212

②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：

555125

32212

，

555125

4121244

因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：.

25125125125

17.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点．

（1）证明：EF//平面ABCD．

（2）求异面直线AF与BC1所成角的大小．

（3）求直线BD与平面D1EF所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）30；

3

（3）.

3

【小问1详解】

证明：连接AC交BD于点O，

E,F分别为AD1，CD1的中点，

EF//AC，

AC平面ABCD，且EF平面ABCD，

EF//平面ABCD；

【小问2详解】

BC1//AD1，

AF与BC1所成角大小等于与FAD1，

ACAD1CD1,F为CD1的中点，

FAD130，即AF与BC1所成角的大小为30；

【小问3详解】

连接D1O，过D作DGD1O于点G，

DD1平面ABCD，且AC平面ABCD，

DD1AC，又BDAC且DD1BDD,且两直线在平面内，

AC平面D1DO，

DG平面D1DO，

DGAC，又DGD1O，且ACD1OO，,且两直线在平面内，

DG平面ACD1，

直线BD与平面D1EF所成角大小等于DOD1，

正方体的边长为1，

26

DO,DD1,DO

2112

DO3

cosDOD1.

D1O3

3

18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足cacosBb.

5

（1）求cosA的值；

（2）当BC与BC边上的中线长均为2时，求ABC的周长；

（3）当ABC内切圆半径为1时，求ABC面积的最小值.

3

【答案】（1）cosA

5

（2）225

（3）35

【小问1详解】

3

因为cacosBb，

5

3

由正弦定理得sinCsinAcosBsinB，

5

3

又由sinCsinABsinAcosBcosAsinB，得cosAsinBsinB.

5

3

因为sinB0，所以cosA；

5

【小问2详解】

由余弦定理得a2b2c22bccosA，

6

即4b2c2bc，①

5

设BC的中点为D，则2ADABBC，

2222

则4ADABACABAC2ABAC，

6

则16b2c2bc，②

5

由①②得b2c210，

b2c210

联立，解得，

226bc25

4bcbc

5

所以abc225，即ABC的周长为225；

【小问3详解】

4

由（1）得sinA，

5

114

由ABC内切圆半径为1，得abc1bcsinA，即abcbc，

225

2

222646

由余弦定理得abcbc，所以bcbcb2c2bc，

555

22

得bcbc2，因为bc2bc，所以bc22bc，

55

15551555

解得bc或0bc，

22

2

又因为ABC的面积大于其内切圆面积，即bcπ，

5

5π15551555

得bc，所以bc，

222

55

当且仅当bc时，ABC的面积取到最小值35.

2

19.定义非零向量OMa,b的“相伴函数”为fxasinxbcosx，xR，向量OMa,b称

为函数fxasinxbcosxxR的“相伴向量”（其中点O为坐标原点）．

（1）设函数hx2sinxcosx，求函数hx的“相伴向量”OM的坐标；

36

（2）记OM0,2的“相伴函数”为fx，设函数gxfx23|sinx|1，x0,2，若方

程gxk有四个不同实数根，求实数k的取值范围；

b

（）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取

3Ma,bb00,3OMfxxx0

a

得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围．

13

【答案】（1）OM,

22

（2）[1,3)

（）

3tan2x0(,0)[3,)

【小问1详解】

解：hx2sinxcosx

36

2sincosx2cossinxcoscosxsinsinx

3366

3113

3cosxsinxcosxsinxsinxcosx，

2222

13

所以函数h(x)的相伴向量OM,．

22

【小问2详解】

解：由题知：f(x)0sinx2cosx2cosx，

所以g(x)