福建省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2024—2025学年度第二学期期末联考

高中一年数学科试卷

完卷时间：120分钟满分：150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，则（）。

M={x|−4<x<2}N={x|−2≤x<3}M∪N=

A．B．

x−4<x<3xx>−4

C．D．

x|−2≤x<2xx<3

2、下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）。

A．B．C．y=D．

1

13−x1

y=xy=x3y=log3x

3、复数满足，则的虚部为（）。

z(1−i)z=2z

A．B．C．D．

−11−ii

4、用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行

问卷

调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为a，第五次被抽到

的

概率为b，则（）。

A．a=，B．a=，C．a=，D．a=，

11111111

50b=1050b=5010b=4610b=10

5、下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（）。

A．B．C．D．

6、要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）。

y=cos(2x+π)y=cos2x

A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移π个单位D．向右平移π个单位

22

7、已知定义在上的奇函数周期为3，当时，，则的值

91

为（）。Rfxx∈3,2fx=5−2xf−2

A．-4B．2C．-2D．4

8、如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面ABC上的动点P，观测点O到

墙

面的距离OA=12m，墙角处点B到点A的距离BA=16m，墙面上ABC60，当动点

P

沿射线BC在墙面上移动时，仰角θ(直线OP与水平面所成的角)正切值的最大值为（）。

A.53​B.53C.53D.3

39124

​​

​​

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，

有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分。

9、下列命题正确的是（）。

A.如果直线a，b和平面满足a//，b//，那么a//b

B.已知平面,和直线m，n，若m，n，m//，n//,则//

，

C.已知平面,和直线mn，若，m，n,mn,则m

，

D.已知平面,和直线mn，若m//，m，n，则m//n

10、甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，

若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概

率

为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，

32

43

则以下说法正确的是（）。

A．每轮活动中，甲获胜的概率为B．每轮活动中，平局的概率为

17

412

C．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为D．甲至少获胜两轮的概率为

15

14432

11、如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是，，的中

B1C1A1B1CD

点，

9

Q是正方形ABCD内的动点，则（）。

2

A．平面AMN截正方体所得截面面积为

9

B．经过A，,P，N四点的球的体积为

D12

C．若PQ垂直于AM,则Q的轨迹长度为6

1

D．三棱锥A-PMN的体积为3

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12、已知一组数据7，7，8，9，10，11，13，16，则这组数据的80%分位数是.

13、在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，点M满足，则.

1

AM=2(AB+AC)MB⋅MD=

14、设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则

131

ABPA=3PB=4PAB=6PA∪B=

四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（13分）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回

地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”，

A1A2

(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件，；

A1A2

(2)计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．

P(A1)P(A2)A1A2

16、（15分）在中，内角所对的边分别为且

22

，△ABCA,B,Ca,b,c,(sinA+sinB)=sinC+

3sinAsinB

(1)求角C；(2)若，求b．

3

cosA=5,c=2

17、（15分）2025年5月25日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛。志愿服务是赛事

成功举办的重要保障。在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取100名候选者，

将其面试成绩按要求分成六组：[40,50)、[50,60)、…、[90,100]，并根据数据绘制了

频率分布直方图（如图所示）。

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)已知落在[50,60)区间内的面试成绩平均数为55，方差为16，落在

[60,70)区间的面试成绩平均数为67，方差为20，试估算在区间[50,70)

内所有面试成绩的平均数和方差。

18、（17分）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固

有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，

平面，若PA=AB=BC=2,E为PB的中点，M,N分别为AE，AC的

P−ABCPA⊥

中点，

ABC

（1）证明：MN//平面PBC；

（2）求MC与AP所成的角的正切值；

（3）若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？

如果F垂直，请B证C明；如果不垂直，AE请F说明理由PB。C

19、（17分）如图，在三棱台中，平面平面，，，

ABC−A1B1C1A1ACC1⊥B1BCC1AC=BCAC⊥BC

且。

AC=2A1A=2A1C1=2C1C=2

(1)证明：；

AC1⊥BC

(2)求直线与平面所成的角的大小；

AC1A1B1C1

(3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切

B1BEE−AC−B

值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由。

3

4BE

高一年级（数学）评分细则

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

题号12345678

答案ABBBDCBA

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对

的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案CDABDABD

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.1313.-14.

15

四、解答题（本4大题共5小12题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

15题

解：（1）设2个红球分别标为，2个黄球分别标为,则从中不放回地依次随机摸出2

个球，用x,y表示可能的结果1,，2x是第一次摸到的球3的,4标号，y是第二次摸到的球的标

号，..............................................................................................................................................1

则试验的样本空间

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)，(4,1),(4,2),(4,3)}，..........3

事件A1“第一次摸到红球”，即x1或2，于是.

；......................................................................4

A1{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}

事件A2“第二次摸到黄球”，即y3或4，于是

..........................................................................6

A2{(1,3),(2,3),(4,3),(1,4),(2,4),(3,4)}

（2）事件和事件不独立，理由如下：

�1�2

由（1）得=12，=6，=6..................................................................................8

�(Ω)�(�1)�(�2)

又因为={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}，所以=4..................................................9

�1�2�(�1�2)

所以，，................................................................10

�(�)61�(�)61

�(�)=�(Ω)=12=2�(�2)=�(Ω)=12=2

所以，.............................................................................................11

�(�1�2)41

�(�1�2)=�(Ω)=12=3

因为，.................................................................................12

111

����2=2×2=4≠��1�2

所以事件和事件不独立．..............................................................................................13

��

16题【答案】（1）（2）

π46+92

�=3�=15

【详解】（1）因为，

22

(sin�+sin�)=sin�+3sin�sin�

所以,（2分），

222

sin�+2sin�sin�+sin�=sin�+3sin�sin�

化简得（3分），

222

sin�+sin�−sin�=sin�sin�

所以由正弦定理得：（4分），

222

�+�−�=��

所以由余弦定理可得（分），

2225

�+�−�

cos�=2��

所以（分），

��1

cos�=2��=26

因为，所以（7分）．

π

�∈(0,π)�=3

（2）由，，又，解得（9分），

3224

cos�=5sin�+cos�=1�∈0,πsin�=5

因为，所以（11分），

�=π−�−�sin�=sin(�+�)=sin�cos�+sin�cos�

所以（分）,

ππ41334+33

sin�=sin�cos3+cos�sin3=5×2+5×2=1012

在中，由正弦定理得（分），

���2

4+33�

△���sin�=sin�10=sin314

所以（分）．

46+92

�=1515

17【详解】【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，得

0.005+0.01+0.02+a+0.025+

分

0.01×10=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

解得a0.030，分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4

由

450.05550.1650.2750.3850.25950.174分

⋯⋯⋯⋯6

得样本成绩的平均数为74分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7

（2）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的人数为1000.110，分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8

成绩在[60,70)的人数为1000.220，分

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9

所以落在[50,70)所有候选者的面试成绩的平均数分

55×10+67×20

z=10+20=63⋯⋯⋯⋯⋯⋯11

方差.分

2122152

s=10+2010×16+63−55+20×20+63−67=3⋯⋯⋯⋯14

估计落在[50,70)所有候选者的面试成绩的方差为分

152

3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15

18题(用空间向量完成答案对统一扣2分）

【详解】（1）方法一：

证明：连接，如图，

𝐶

因为分别是的中点，所以.………………2分

�,�𝐶,����∥𝐶

又平面平面，……4分

��⊄���,𝐶⊂���

所以平面.………………5分

��∥���

方法二：如图，取的中点为，连接，则.

�����,����∥��

又平面平面，

��⊄���,��⊂���

所以平面.…………2分

��∥���

同理可证平面，

��∥���

因为，平面，

��∩��=���,��⊂���

所以平面平面.…………4分

���∥���

又平面，所以平面.……5分

��⊂�����∥���

(2)因为底面，所以PAAB

��⊥���⊥

过M点作MHAB，交AB于H点，则MH//PA，所以MC和AP所成的角是∠HMC，…7

⊥

分

在∆PAB中，PA=AB，E为PB中点，M为AE中点，所以MH==…8分

11

4��2

连接HC，在Rt∆HBC中，HB=，BC=2，所以HC==…9分

3225

2��+��2

所以tan∠HMC=…………10分

��

��=5

（3）平面与平面垂直.

𝐶����

证明如下：因为底面底面，所以.

��⊥���,��⊂�����⊥��

由题意知为直角三角形且，所以.

△�����=����⊥��

又平面，

��∩��=�,��,��⊂���

所以平面.………………13分

��⊥���

又平面，所以.

𝐶⊂�����⊥𝐶

因为为的中点，所以.

��=��,���𝐶⊥��

又平面，所以平面.…………16分

��∩��=�,��,��⊂���𝐶⊥���

因为平面，所以平面平面.……17分

𝐶⊂𝐶�𝐶�⊥���

19（17分）（1）5分（2）5分（3）7分(用空间向量完成答案对统一扣3分）

（1）证明：在三棱台中，，，

���−�1 �1�1��//�1 �1��=2�1�=2�1�1=2�1�=2

在等腰梯形中，1，则1分

(��−�1 �1)

21∘

�1���1cos∠���1=�1�=2∠���1=60⋯⋯⋯⋯

由余弦定理得，2分

222

1111

则��=，��+��−2��⋅��cos∠���=3⋯⋯⋯⋯3分

222

11

即��=��，+��⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

��1⊥�1�

而平面平面，平面平面4分

�1���1⊥�1���1�1���1∩�1���1=�1�,⋯⋯⋯⋯⋯

平面，则平面，

��1⊂�1���1��1⊥�1���1

又平面，所以.5分

��⊂�1���1��1⊥��⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（2）解：过作，垂足为，

�1�1�⊥���

因为，又，，平面，

��1⊥����⊥����1∩��=���1,��⊂�1���1

所以平面，6分

��⊥�1���1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

平面，则，7分

�1�⊂�1���1��⊥�1�⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

又，平面，则平面，8分

��∩��=���,��⊂����1�⊥���⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

则为与平面所成的角，

∠�1����1���

则，

∘∘∘∘

∠�1��=∠�1��=90−∠���1=90−60=30

（或者:则，则，）9分

��13∘

cos∠�1��=cos∠�1��=��=2∠�1��=30⋯⋯⋯⋯⋯

又平面平面，所以与平面所成的角为.10分

∘

���//�1�1�1��1�1�1�130⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（3）解：三棱台侧棱延长线交于点，

���−�1�1�1��1,��1,��1�