河南省漯河市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

机密★启用前

2024－2025学年下学期高一期末质量监测

数学试题

本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸

和答题卡的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

2i

z

1.复数i的虚部为（）

A.2B.1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可得z12i，即可得虚部.

2i

【详解】由题意可得：z12i，

i

所以复数z的虚部为2.

故选：D.

2.数据3,8,13,25,17,44的第60%分位数是（）

A.13B.15C.17D.25

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用第60%分位数的定义求解.

【详解】由660%3.6，得3,8,13,17,25,44的第60%分位数是17.

故选：C

3.如图，矩形ABCD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，AB1，

BC2，则原四边形ABCD的面积为（）

A.2B.42C.10D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求矩形ABCD的面积，再根据S原22S直运算求解.

【详解】由题意可知：矩形ABCD的面积为122，

所以原四边形ABCD的面积为22242.

故选：B.

23

4.社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为,，

34

则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（）

11511

A.B.C.D.

1221212

【答案】D

【解析】

11

【分析】由题意可知：两人不能完成该项任务的概率分别为,，根据对立事件以及独立事件概率公式运

34

算求解即可.

11

【详解】由题意可知：两人不能完成该项任务的概率分别为,，

34

111

则此项任务不被甲、乙两人完成的概率为，

3412

111

所以此项任务被甲、乙两人完成的概率为1.

1212

故选：D.

2x

5.若函数fxx2axlg为奇函数，则a（）

2x

A.1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知函数fx的定义域为2,2，根据奇函数定义取特值可得a0，并结合奇函数定义

检验即可.

2x

【详解】令0，解得2x2，可知函数fx的定义域为2,2，

2x

若函数fx为奇函数，则f1f10，

12x

可得1alg31alg2alg30，即a0，则fxx2lg，

32x

22x22x22x2x

可得fxfxxlgxlgxlglg0，

2x2x2x2x

即fxfx，可知函数fx为奇函数，

所以a0.

故选：B.

6.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由

计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，

425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则

这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）

7294

A.B.C.D.

205209

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解.

【详解】由题意可知：共20个随机数，

其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次，

9

所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为.

20

故选：C.

7.将一个直角边长分别为2，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥

外接球的表面积为（）

A.20πB.25πC.32πD.100π

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得：圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径，据此用相似比可得答案.

【详解】由题知所得圆锥的底面半径为2，高为4，则母线长为25，

该圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径.

设圆锥外接球的半径为R，则△ADC与△ACE相似，

ACADlhl25

，R

AEAC2Rl2h2

225

S球4R425

4

故选：B

x

8.已知P1,1为函数fxax图象上的一点，其中x为不超过x的最大整数，则函数

π

π3π

gxfxtanx（0x2π，且x，x）零点的个数为（）

22

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据P1,1在函数图象上，得到fx的解析式，将函数零点个数问题转化为函数图象交点个数

π3π

问题，分0xπ且x和πx2π且x两段讨论fx的解析式，根据函数图象交点判断零点个

22

数.

x1

【详解】因为点P1,1在函数fxax图象上，所以f1aa01，所以a1，

ππ

x

fx1x，

π

x

函数gxfxtanx零点的个数转化为方程fxtanx即1xtanx的解的个数，

π

x

也可转化为函数fx1x的图象与函数ytanx图象交点的个数，

π

x

因为的取值会改变fx的表达式，所以需要分类讨论，

π

πxx

（1）当0xπ且x时，01，0，fxx，

2ππ

ππ

当0x时，tanxtanx，当xπ时，tanxtanx，

22

由图可知，fxx与ytanx图象有2个交点；

3πxx

（2）当πx2π且x时，12，1，fx2x，

2ππ

3π3π

当πx时，tanxtanx，当x2π时，tanxtanx，

22

由图可知，fx2x与ytanx图象有2个交点；

综上，零点个数为224个.

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M“第一枚反面向上”，事件N“第二枚正面向上”，则下列说法正

确的是（）

A.M与N互斥B.PMPN

C.M与N对立D.M与N相互独立

【答案】BD

【解析】

【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，

对于AC，事件M,N可以同时发生，因此事件M与N不互斥，不对立，AC错误；

11

对于B，P(M),P(N)，则P(M)P(N)，B正确；

22

1

对于D，P(MN)P(M)P(N)，M与N相互独立，D正确.

4

故选：BD

10.设P为菱形ABCD所在平面外一点，DB与CA交于O,M为PB上（异于P,B）的一点，则（）

A.OM//PA

B.OM与PC异面

C.若M为PB的中点，则OM//平面PCD

D.若PAPC，则AC平面PBD

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用异面直线的判定定理判断AB；利用线面平行的判定推理判断C；利用线面垂直的判定推理判

断D.

【详解】对于AB，在菱形ABCD中，O是AC的中点，PA,PC平面PAC，O平面PAC，

OPA,OPC，而M平面PAC，因此OM与PA,OM与PC都是异面直线，A错误，B正确；

对于C，在菱形ABCD中，O是BD的中点，M为PB的中点，则OM//PD，

而PD平面PCD，OM平面PCD，因此OM//平面PCD，C正确；

对于D，由PAPC，O是AC的中点，得POAC，而BDAC，POBDO，

PO,BD平面PBD，因此AC平面PBD，D正确.

故选：BCD

3BC

11.已知ABC的面积为43，ABtanBtanC，CD为ACB的平分线，则（）

cosB

π

A.CB.AB4

3

C.CD的最大值为23D.CD的最小值为22

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理及逆用正弦两角和公式化简可得tanC3，即可对A判断；由ABC的面积可得

163

ab16，再由余弦定理及基本不等式可对B判断求解；由S△ABCS△ACDS△BCD，可得CD，

ab

163

再结合基本不等式可对C判断求解；结合C中CD，讨论当a或b趋近于无穷大时，则ab趋近

ab

于无穷大，CD趋近于0，可对D判断求解.

3BC3a

【详解】A：由题意，ABtanBtanC，即ctanBtanC，

cosBcosB

sinBsinC3sinAsinBcosCsinCcosB3sinA

化简整理：sinC，即sinC，

cosBcosCcosBcosBcosCcosB

sinBC3sinA

即sinC，又因ABCπ，

cosBcosCcosB

sinA3sinA

所以sinC，又因为0Bπ，0Cπ，

cosBcosCcosB

sinCπ

所以tanC3，所以C.故A正确；

cosC3

113

B：由ABC的面积SabsinCab43，解得ab16，

ABC222

π

余弦定理可得c2a2b22abcosa2b2ab2a2b2ab16，

3

当且仅当ab4时取等号，此时cAB4，故B错误；

C：由S△ABCS△ACDS△BCD，即

1π1π1π

43CDACsinCDBCsinCDsinab，

262626

163163163

即CD23，当且仅当ab4时取等号，故C正确；

ab2ab8

163

D：由CD，当a或b趋近于无穷大时，则ab趋近于无穷大，CD趋近于0，无最小值，故D

ab

错误；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位

置．

12.已知平面向量a1,x，b3,4，若a与ab垂直，则x______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意可得ab4,x4，结合向量垂直的坐标表示运算求解.

【详解】因为平面向量a1,x，b3,4，则ab4,x4，

2

若a与ab垂直，则4xx4x20，所以x2.

故答案为：2.

13.非零复数z的共轭复数为z，若|z(1i)|zz，则z______．

【答案】2

【解析】

【分析】设出复数z的代数形式，再利用共轭复数的意义、复数乘法及复数模的意义求解.

【详解】设zxyi,x,yR，则(xyi)(1i)(xy)(xy)i，

zz(xyi)(xyi)x2y2，由|z(1i)|zz，得(xy)2(xy)2x2y2，

整理得2(x2y2)x2y2，而z0，即x2y20，则x2y22，

所以|z|x2y22.

故答案为：2

14.如图，在ABC中，BO2OC，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，设ABxAM，

14

ACyAN，则的最小值为______．

xy

42

【答案】3

3

【解析】

x2y

【分析】根据题意结合三点共线可得AOABAC，再结合平面向量基本定理可得1，利

xy33

用乘“1”法结合基本不等式运算求解.

【详解】因为M,O,N三点共线，则AOAMAN，且1，

11

且ABxAM，ACyAN，即AMAB，ANAC，

xy

可得AOABAC，

xy

2212

又因为BO2OC，则AOABBOABBCABACABABAC，

3333

1x

x33x2y

可得，则，可得1，

22y

33

y33

14x2y142y4x2y4x42

显然x0,y0，则3323，

xy33xy3x3y3x3y3

2y4x3

当且仅当，即y2x42时，等号成立，

3x3y7

1442

所以的最小值为3.

xy3

42

故答案为：3.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知向量a(1,x),b(2x3,x)c(3,5),xR．

（1）若a∥b，求|2ab|的值；

（2）若a与c的夹角是钝角，求x的取值范围．

【答案】（1）1或35

553

（2）,,

335

【解析】

【分析】（1）先根据向量共线的坐标表示求出x的值，进而求出a,b及2ab的坐标，再根据向量模的坐标

计算式计算即可；

（2）先分析出若a与c的夹角是钝角，则ac0，且a与c不共线，再列出不等式组，求解即可.

【小问1详解】

若a∥b，则有1xx2x30，解得x0或x2.

①当x0时，a(1,0),b(3,0)，2ab1,0，

所以|2ab|1；

②当x2时，a(1,2),b(1,2)，2ab3,6，

所以22

|2ab|3635.

所以|2ab|是1或35；

【小问2详解】

若a与c的夹角是钝角，则ac0，且a与c不共线，

135x035

，解得x<且x，

153x053

553

即x的取值范围为,,.

335

16.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,ππ)的部分图象如图所示.

（1）求f(x)的解析式及单调递增区间；

5π

（2）将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数yg(x)图象，若不等式g(x)m4对

12

π

任意x[0,]成立，求m的取值范围.

4

2π7

【答案】（1）f(x)3sin(2xπ)；[kπ,πkπ]，kZ

31212

（2）m1

【解析】

【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定A，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，

再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解；

（2）首先求函数gx的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数gx的只有，再将不等式恒成立

问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解.

【小问1详解】

2π17ππ

由图象可知，A3，，得2，

4123

7π7ππ2π

当x时，22kπ，kZ，得2kπ，kZ，

121223

2π

因为ππ，所以，

3

2π

所以fx3sin2x，

3

π2ππ

令2kπ2x2kπ，kZ，

232

π7π

得kπxkπ，kZ，

1212

π7π

所以函数的单调递增区间是kπ,kπ，kZ；

1212

【小问2详解】

5π2ππ

gx3sin2x3sin2x，

1236

πππ2π

当x0,时，2x,，

4663

π3

则3sin2x,3，

62

π

若不等方式g(x)m4对任意x[0,]成立，则3m4，

4

得m1.

17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2b2c2ab，且a2，3sinAsinB．

3π

（1）若C，求；

4

（2）若ABC的面积S6，求ABC内切圆的周长．

【答案】（1）2

（2）2410π

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可得a2b2c22ab，结合题意即可得结果；

π

（2）由正弦定理可得b6，利用面积公式可得C，结合三角形内切圆半径公式运算求解即可.

2

【小问1详解】

3πa2b2c22

因为C，由余弦定理可得cosC，

42ab2

整理可得a2b2c22ab，

又因为a2b2c2ab，所以2.

【小问2详解】

因为sinB3sinA，a2，由正弦定理可得b3a6，

1

又因为ABC的面积SabsinC6sinC6，即sinC1，

2

可得sinC1，且C0,π，

π

则C，可得ca2b2210，

2

1

226

则内切圆的半径2S△，

ABCrABC2410

L周长26210

所以ABC内切圆的周长2πr2410π.

18.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某

网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100

人按成绩分组：第1组50,60，第2组60,70，第3组70,80，第4组80,90，第5组90,100，

得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求a；

（2）求样本数据的中位数与第35百分位数；

（3）已知直方图中成绩在80,90内的平均数为85，方差为10，90,100内的平均数为95，方差为15，

求成绩在80,100内的平均数与方差．

【答案】（1）a0.005

（2）中位数为80，第35百分位数为75

（3）平均数为89，方差为36

【解析】

【分析】（1）由所有矩形面积之和为1可得答案；

（2）由（1）中结果可估计中位数与百分位数；

（3）由题可得成绩在80,90，90,100内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法

得答案.

【小问1详解】

由a0.0150.0200.0032101，得a0.005

【小问2详解】

前三组频率之和为0.050.150.0300.5，

所以样本数据的中位数为80；

前两组频率之和为0.0050.015100.2

则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x，

则x700.030.350.2x75；

【小问3详解】

由题意，成绩在80,90，90,100内的人数分别为30，20．

设内数据的平均数为，方差为2，

80,90xSx

内数据的平均数为，方差为2，总平均数为，方差为2，

90,100ySyzS

85309520

依题意，，，22，则，

x85y95Sx10,Sy15z89

50

3022023222

S2S2zxS2zy10898515899536.

50x50y55

所以，成绩在80,100内的平均数为89，方差为36．

19.如图，四棱锥MABCD中，平面MAD平面ABCD，△MAD是边长为6的等边三角形，AD∥BC，

BC2AD，点N在棱MD上，且MN2ND．

（1）求证：MB∥平面NAC；

（2）已知ACCD．

①若二面角MACD的正切值为2，求三棱锥MACD的体积；

ππ

②若ADC，设直线NC与平面ABCD所成的角为，若，求tan的取值范围．

43

【答案】（1）证明见解析

273921

（2）①；②,

2137

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到NO//MB，进而证明出线面平行；

（2）①作出辅助线，MFE为二面角MACD的平面角，根据二面角的正切值求出

331

EFCD2EF33，求出其他各边长，利用VMACDS△ACDME求出体积；

23

②作出辅助线，得到NCH为NC与平面ABCD所成角，即NCH，求出各边长，其中CD6cos，

ππ2