安徽省江淮协作区2024-2025学年高二下学期期末联合监测 数学试卷

安徽省2024-2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测

高二数学

满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形

码粘贴区.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、

笔迹清晰.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.关于样本相关系数，下列说法正确的是（）

A.样本相关系数r-1,1

B.当样本相关系数r0时，称成对数据成正相关

C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1

D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1

【答案】A

【详解】根据相关系数r1，可知A正确；

r0时，数据成负相关，r0时，数据成正相关，故B错误；

r越接近1，线性相关性越强，r越接近0，相关性越弱，故C错误；

对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近1，故D错误.

故选：A.

x2y2

2.已知双曲线-1a0,b0的渐近线方程为y3x，则该双曲线的离心率为（）

a2b2

2333

A.3B.C.D.2

32

【答案】D

x2y2

【详解】因为双曲线1a0,b0的渐近线方程为y3x，

a2b2

b

所以3，

a

c2a2b2b2

e214，

a2a2a2

所以双曲线的离心率为2.

故选：D.

1

3.已知随机变量X服从正态分布N3,2，若PX2，则P3X4（）

6

1215

A.B.C.D.

3396

【答案】A

1

【详解】由对称性可知PX4PX2，

6

111

故P3X4.

263

故选：A

2222

4.已知圆C1:xy40，圆C2:xy4x4y80，则两圆的位置关系是（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】C

22

【详解】C1:xy4，圆心C10,0，半径r12，

2222

C2:xy4x4y80可化简为x2y216，

，

则圆C2的圆心为C222，半径r24，

，所以两圆相交.

242C1C222426

故选：C.

1

5.记S为等比数列a的前n项和，若a，a2a，则S（）

nn13464

121534140

A.B.C.D.

3333

【答案】D

q2

【详解】设等比数列an的公比为，又a4a6，

211

所以23655，

a4a1qqa6a1qqq3

93

140

所以Saaaa139.

4123433

故选：D.

6.江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、

大通茶干、八公山豆腐这4种特色美食，每天至少选择一种（4种美食不重复选择且每天美食的选择不分先

后顺序），游客三天后恰好品尝完这4种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A.24种B.36种C.42种D.48种

【答案】B

【详解】根据题意，4种美食的分配给3天的分配方案为2,1,1，

C2C1C1A3

所以不同的选法有4213种.

236

A2

故选：B.

12

7.已知函数fxx3x2bx在x1处的切线与直线y1平行，且在区间a8,a内存在最小

33

值，则实数a的取值范围是（）

A.1,9B.1,9C.3,9D.3,9

【答案】C

【详解】fxx22xb，由题意得f1122b0，解得b3，

12

fxx3x23x，fxx22x3，

33

令fx0得x1或x3，令fx0得3x1，

故fx在3,1上单调递减，在,3，1,上单调递增，

所以fx在x1处取得极小值，

127127

又f113，令x3x23x，

333333

22

即x33x29x50，变形得到x1x4x50，即x1x50，

7

故x1或x5，即f1f5，

3

a85

要想在区间a8,a上存在最小值，需满足，

a81a

解得a3,9.

故选：C

123

8.已知事件A，B满足PA，PB，PAB，则PAB（）

234

3315

A.B.C.D.

48126

【答案】B

221

【详解】由题意得PB，故PB1，

333

3

PABPAPBPAB，

4

1113531

又PA，故PAB，解得PAB，

22346412

115

所以PABPAPAB，

21212

251

故PABPBPAB，

3124

1

PAB3

由条件概率公式得PAB4.

PB28

3

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于随机变量X的期望与方差，下列说法正确的是（）

A.E2X12EX1

B.若XN1,4，则DX2

EX

C.若XBn,p，则的值与n无关

DX

1

D.若X是两点分布，则当p时，DX最大

2

【答案】ACD

【详解】根据期望的线性运算，E2X12EX1，故A正确；

由XN1,4，DX4，故B错误；

EX1

由XBn,p，Exnp,DXnp1p，则，故C正确；

DX1p

2

211

因为X是两点分布，所以DXp1pppp，

24

1

则当p时，DX最大，故D正确；

2

故选：ACD.

2

10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论

2

中正确的有（）

A.当点E运动时，A1CAE总成立

B.当E向D1运动时，二面角AEFB逐渐变小

C.二面角EABC的最小值为45

D.三棱锥ABEF的体积为定值

【答案】ACD

【详解】对于A，连接A1C1，AD1，AB1，

因为四边形为正方形，故，

A1B1C1D1B1D1A1C1

又⊥平面，平面，

AA1A1B1C1D1B1D1A1B1C1D1

所以B1D1A1A，

又A1C1A1AA1，A1C1,A1A平面A1C1CA，

所以B1D1平面A1C1CA.

因为A1C平面A1C1CA，

所以，同理可证.

B1D1A1CAD1A1C

因为AD1B1D1D1，AD1,B1D1平面AB1D1，

所以A1C平面AB1D1，

因为AE平面AB1D1，

所以A1CAE总成立，故A正确

对于B，平面EFB即平面BDD1B1，平面EFA即平面AB1D1，

所以当E向D1运动时，二面角AEFB的大小不变，故B错误.

对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,1,0)，B(0,1,0)，所以AB(1,0,0)，

2

因为E，F在B1D1上，且EF，

2

131

故可设E(t,1t,1)，Ft,t,1，t1，则AE(t1,t,1)，

222

由题知平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，

设平面ABE的一个法向量为m(x,y,z)，

mABx,y,z1,0,0x0

则，解得x0，

mAEx,y,zt1,t,1t1xtyz0

取y1，则zt，故m(0,1,t)，

设二面角EABC的平面角为，则为锐角，

mn0,1,t0,0,1t1

所以coscosm,n，

mn221

t1t11

t2

12

又t1，所以当t1时，cos取得最大值，

22

取得最小值45，故C正确；

1122

对于D，因为SEFBB1，

BEF21224

2

点A到平面EFB的距离即到平面BDD1B1的距离，为，

2

1221

所以V，为定值，故D正确.

ABEF34212

故选：ACD

11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运

算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷

猜想”）.如取正整数m6，根据上述运算法则得出63105168421，共需经

过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：

a

n当为偶数时

,an,

已知数列an满足：a1m（m为正整数），an12记数列an的前n项和为Sn，

当为奇数时

3an1,an.

则下列说法正确的是（）

A.当m2时，a20252

B.当m34时，使得an1要13步“雹程”

C.当m512时，S111027

D.若a72，则m的取值有6个

【答案】BCD

【详解】m2时，a12,a21,a34,a42,a51,，

所以此时数列an的周期为3，又20253375，所以a2025a34，故A错误；

m34时，a134,a217,a352,a426,a513,a640,a720,a810,a95

a1016,a118,a124,a132,a141，所以使得an1经过了13步“雹程”故B正确；

98

m512，则a15122，所以a22,,a101,a114，

1210

则S29281441027，故C正确；

1112

对于D，

所以m的取值有6个，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.根据成对样本数据建立变量y关于x的成对数据如下表所示：

x12345

y4a7910

若由该数据得到的线性回归方程为yˆ1.6x2.2，则a的值为_____.

【答案】5

4a791030a

【详解】根据题意x3,y，

55

30a

所以1.632.2，解得a5.

5

故答案为：5.

2

13.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3

3

粒种子发芽的概率是_____.

32

【答案】

81

2

【详解】根据题意，种子发芽的粒数X，X~B4,，

3

3

32132，

PX3C4

3381

32

所以恰有3粒种子发芽的概率是.

81

32

故答案为：.

81

14.已知函数fx是定义在R上的偶函数，fx是fx的导函数，且fxfx4ex1.若

x

kfx2e1x在R上恒成立，则实数k的取值范围为_____.

1

【答案】,

2e

【详解】因fx为偶函数，则fxfx①，

对两边求导得，fxfx②，

在fxfx4ex1③中，用x代替x得fxfx4ex1④，

由①②④可得，fxfx4ex1⑤，

联立③⑤得，fx2ex2ex1，

x

xxe

则kfx2e1x可化简为：k，

2

xexx1ex

令gx，则gx，

22

则gx0得x1；gx0得x1，

则gx在,1上单调递减，在1,上单调递增，

11

则gx的最小值为g1，故k.

2e2e

1

则实数k的取值范围是,.

2e

1

故答案为：,.

2e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知626.

2-xa0a1xa2xa6xxR

（1）求该二项展开式中二项式系数最大的项；

（2）求a1a2a6的值.

【答案】（1）160x3

（2）665

【小问1详解】

由二项式通项公式可得：k6kkk6kkk，

Tk1C6·2·xC6·2·1·x

n

因为n6为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第14项，

2

所以33333，

T4C6·2·1·x160x

综上：二项式系数最大项为160x3.

【小问2详解】

6

由题可得令x0，则a0264，

令，则6，

x121a0a1a2a3a4a5a6a0a1a2a6

6

所以a1a2a636472964665.

2

16.已知单调递增数列的前项和为，且an1.

annSnS

n4

（1）求数列an的通项公式；

3-a

（2）若数列b满足bn，求数列b的前n项和T.

nn2n1nn

【答案】（1）an2n1

n

（2）T

n2n

【小问1详解】

2

an1，即2，

S4Snan2an1

n4

2

当n1时，4S14a1a12a11，解得a11，

2222

当n2时，4Sn4Sn14anan2an1an12an11anan12an2an1，

22

即anan12anan1anan1anan120，

又数列an单调递增，所以anan10，即anan120，

则anan12，an2n1，n1时也符合，

所以an2n1.

【小问2详解】

3-a32n12n

bn，

n2n12n12n

1012n

Tbbbb，

n123n222232n

11012n

T，

2n2223242n1

11

1

1111112n142n12nn

T,

n234nn11n1n1

22222222122

2

n

解得T.

n2n

17.2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比

赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节

是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有A，B，C三位同学参加比赛，A同学通过前两

212

个环节的概率分别为和，B同学和C同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为.

323

（1）求恰有两位同学仅．通过第一个环节的概率；

（2）设进入决赛的同学人数为X，求X的分布列与数学期望.

4

【答案】（1）（2）答案见解析

27

【小问1详解】

A,B,C三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：

211222222

P(1)，P(1)，P(1)，

132323393339

所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：

1221221224

P(1)(1)(1)；

39939939927

【小问2详解】

记A,B,C三位同学进入决赛分别为事件A1,A2,A3，则，

211224224

P(A)，P(A2)，P(A)，

随机变量X可能的取值为：0,1,2,3，

25550

P(X0)，

399243

P(X1)，

39939939981

1451542448

P(X2)，

39939939927

14416

P(X3)，

399243

所以随机变量X的分布列为：

X0123

5035816

P

2438127243

503581629711

所以随机变量X的数学期望为E(X)0123.

24381272432439

x2y233

18.已知椭圆过点T,，其中一个焦点在直线上，A为

G:221ab0x2y20

ab22

椭圆的上顶点，直线l:ykxm与椭圆G相交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆G的方程；

（2）若k1，O为坐标原点，求OMN的面积最大时实数m的值；

22

（3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆2bb

AMANk1k2k1k22AMANC:xy

24

分别交于点P，Q.证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标.

x2

【答案】（1）y21

3

（2）2

1

（3）,0

2

【小问1详解】

由焦点在直线x2y20上，令y0，解得xc2，

22

33

2

33a3

由过点T,，则22，解得，

12

22a2b2b1

222

abc2

x2

所以椭圆G的方程为y21

3

【小问2详解】

当k1时，直线l:ykxmm0，设Mx1,y1，Nx2,y2，

x2

y21

联立3，消去y可得4x26mx3m20，

yxm

由12m2480，则m2,00,2，

3m3m23

可得xx，xx，

122124

m

点O到直线l的距离d，

2

2

23m

弦长MN11xx4xx23，

12124

11m3m2

则OMN的面积SdMN23

2224

2222

123m13m213m4m3

m34m，

24242222

当且仅当m24m2，即m2时，等号成立，所以m的值为2.

【小问3详解】

22

由（1）可知b1，所以圆C:xyy0，又k1k22，所以kAPkAQ2，

（i）若直线PQ垂直于x轴，A0,1，设PQ的方程：xs，Ps,yP，Qs,yQ，

xs

则，消去x可得22，

22yys0

xyy0

2

则14s0（*），且yPyQ1，

y1y11

可得kkPQ2，解得s，不满足（*），不合题意；

APAQss2

（ii）若直线PQ不垂直于x轴，

则设PQ的方程：ytxn，Px3,y3，Qx4,y4，

ytxn

则，消去y可得222，

221tx2ntxnn0

xyy0

2tntn2n

由，则，，

x3x42x3x42

2221t1t

Δ=2𝑡−�−41+��−�>0

2

y1y12txxn1xx2tnnn1t2tn

可得343434.

kAPkAQ22

x3x4x3x4nn

t

因为n1，则2tnt2tn2n，即n，

2

,∴

2t0

222��

�=�+�−41+�4−2=2�>0

所以直线PQ方程为：，

11

�=𝑡+2�=��+2(�>0)

1

所以直线PQ过定点,0.

2

ax2-xlnx-a

19.已知函数fx.

x

（1）当a2时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；

（2）讨论fx的单调性；

11

（3）若函数fx有两个极值点x1，x2，x1x2，证明：fx1-fx2-.

x1x2

【答案】（1）3xy30（2）答案见解析（3）答案见解析

【小问1详解】

由题意可知fx的定义域为x0，

212

当a2时，fx2xlnx，则fx2，

xxx2

12

所以f10，f123，

11

所以函数fx在x1处的切线方程为：y03x1，即3xy30.

【小问2详解】

ax2xa

fxx0，

x2

1当a0，因为x0，fx0恒成立，所以fx在0,上单调递减；

2当a0，令fx0，即ax2xa0，因为14a2，

1