安徽省蚌埠市2024-2025年高二下学期期末考试 数学

蚌埠市2024—2025学年度第二学期期末学业水平监测

高二数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合AxN|x2,B1,0,1，则集合AB（）

A.1B.0,1C.1,0,1D.

1,0,1,2

【答案】B

【详解】因为AxN|x20,1,2,B1,0,1，所以AB0,1.

故选：B.

1π

2.已知tan，则tan（）

24

1

A2B.1C.3D.

23

【答案】D

1

1

π1tan21

【详解】由题意tan.

1

41tan13

2

故选：D.

3.已知a0，b0，若ab4，则ab的（）

A.最小值为4B.最大值为4C.最小值为8D.最大值

为8

【答案】A

【详解】由于a0，b0，所以ab2ab4，当且仅当ab2时取等号，

故ab的最小值为4.

故选：A

4.在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（）

A.残差图带状区域越宽B.残差和越小

C.决定系数R2越大D.相关系数r越大

【答案】C

【详解】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误；

B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误；

C选项，决定系数R2越大，模型的拟合效果越好，C正确；

D选项，相关系数r越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误.

故选：C

5.下列求导正确的是（）

1

A.xB.exex

2x

2lnx1lnx

C.cosx2sinxcosxD.

xx2

【答案】A

11

11

【详解】对于A，xx2x2，正确；

22x

对于B，exexxex，错误；

对于C，cos2xsinxcosxcosxsinx2sinxcosx，错误；

1

xlnx1

对于D，lnxx1lnx，错误.

xx2x2

故选：A

6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”

行动，得到如下列联表(单位：人)：

“光盘”行动

性别

做不到能做到

女469

男3114

附表：

2

nadbc

2

abcdacbd

α

0.10.050.010.005

x₀2.7063.84166357.879

经计算23.04.则下列结论正确的是（）

A.依据0.005的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”

B.依据0.01的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”

C.依据0.05的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”

D.依据0.1的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”

【答案】B

【详解】由题意得2，

2.706x0.13.04x0.053.841x0.01x0.005

所以依据0.01的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”.

故选：B．

7.已知随机变量X服从正态分布N3,2，则（）

A.PX4PX3B.PX3PX4

C.PX4PX3D.PX3PX4

【答案】D

【详解】由题意3，PX4PX3PX30.5PX4，对比选项

可知，只有D正确.

故选：D.

8.函数fxlgx1x2sin2x4在2025,2025上的最大值和最小值之和为

（）

A.2B.4C.8D.4050

【答案】C

【详解】因为1x2xx，所以fx在关于原点对称的区间2025,2025上恒有

意义，

且fxfxlgx1x2lgx1x2sin2xsin2x8

lg188，

所以fx在2025,2025上的图象关于原点对称，

所以函数fxlgx1x2sin2x4在2025,2025上的最大值和最小值之和

为8.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

7

9.对于12x的展开式，下列结论正确的是（）

A.第2项为14xB.x2的系数为84

C.各项系数和为2D.二项式系数的和为128

【答案】ABD

【详解】对于7，其展开式的通项公式为r7rrrrr

12xTr1C712x2C7x

那么第项，即时，111，A正确；

2r1T22C7x27x14x

27!76

222222

要求的系数，令r2，则T32C7x4x4x84x，所

x2!72!21

以x2的系数为84，B正确；

77

求各项系数和，令x1，则12111，所以各项系数和为1，C错误；

7

根据二项式系数和的性质，二项式12x的二项式系数和为27128，D正确。

故选：ABD.

1

10.已知函数fx3sinxcosxcos2x，则（）

2

A.fx最小正周期为π

π

B.x是该函数的一个极值点

3

5π1

C.当x0,，fx的取值范围是,1

122

π

D.fx图象可由gxsin2x的图象向右平移个单位长度得到

6

【答案】ABC

131π

【详解】对于A，fx3sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin2x，

2226

2π

所以fx最小正周期为π，故A正确；

2

πππππ

对于B，因为fsin2sin1fx，所以x是该函数的一个

3362max3

极值点，故B正确；

5πππ2ππ

对于C，x0,2x,，所以fxsin2x的取值范围是

126636

1

,1，故C正确；

2

π

对于D，gxsin2x的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的解析式为

6

πππ

gxnxsin2x，故D错误.si2

663

故选：ABC.

11.小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，

2

当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路

3

33

线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（）

45

A.“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件

1

B.小明与父母一起选择乙路线登山的概率为

5

C.小明选择甲路线登山的概率为1

2

1

D.已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为

4

【答案】BC

【详解】设A“小明与父母一起爬山”，B“选择甲路线”，

则A“小明不与父母一起爬山”，B“选择乙路线”，

233

PBA，PBA，PA，

345

312

PBA1PBA1，PA，

445

PAB232

对于A选项，PBA，PABPBAPA，

PA355

32211

根据全概率公式可得，PBPAPBAPAPBA，

53542

313

PAPBPAB，

5210

“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误；

对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为AB，

21

PBA，PBA1PBA，

33

311

PABPAPBA，

535

1

即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确；

5

对于C选项，由A选项的解析可知

32211

PBPAPBAPAPBA，

53542

即小明选择甲路线登山的概率为1，故C正确；

2

对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求PAB，

11

PB，PB1PB，

22

311

根据条件概率公式可得，PABPAPBA，

535

1

PAB2

再根据贝叶斯公式可得，PAB5，故D错误.

PB15

2

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a2,1,b1,，若aba，则________

【答案】3

【详解】已知向量a2,1,b1,，则ab1,1，

若aba，则210，解得3.

故答案为：3.

13.不等式x2lnx10的解集为________

【答案】1,02,

【详解】由题意x2lnx10，首先x1，

当x20，即x2时，由lnx10x0，此时x2，

当1x2时，由lnx10x0，此时1x0，

所以不等式x2lnx10的解集为1,02,.

故答案为：1,02,.

14.某外卖电商平台把A，B，C，D四个订单分派给小王、小李、小刘三位骑手，每位骑手

至少接到1单，且每个订单都要有骑手接单．订单分派系统通过地址定位发现A订单派送

位置距离小王太远，因此不会将A订单分派给小王，则满足条件的订单分派方案种数为

________．

【答案】24

【详解】分两种情况：

①把A订单单独分派给小李或小刘：

先分派A订单，有1种方法，

C2

再分派B，C，D订单，三个订单分两组有1种方法，把这两组分派给其余两位骑手有2种

C3A2

方法，

所以有112种方法；

C2C3A212

②把A订单不单独分派给小李或小刘：

先分派A订单，有1种方法，

C2

再分派B，C，D订单，三个订单分派给三位骑手有3种方法，

A3

所以有13种方法，

C2A312

故满足条件的订单分派方案种数为121224．

故答案为：24．

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字、证明过程或演

算步骤.

2x2x

15.已知函数fx.

2x2x

（1）判断该函数的奇偶性；

（2）判断fx在定义域内的单调性.

【答案】（1）奇函数，理由见解析

（2）单调递增，理由见解析

【小问1详解】

奇函数，理由如下：

2x2x

fx的定义域为R，

2x2x

2x2x2x2x

且fxfx，

2x2x2x2x

2x2x

故fx为奇函数；

2x2x

【小问2详解】

单调递增，理由如下：

2x2x4x14x122

fx1，

2x2x4x14x14x1

取任意的x1,x2R,x1x2，

xx

222224142

则，

fx1fx21x1xxx

4114214214114x214x11

xx1x2

因为x1x2，y4在R上单调递增，所以4-4<0，

又4x110,4x210，

24x14x2

故fx1fx20，fx1fx2，

4x214x11

所以fx在R上单调递增.

πbsinB

16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a10,A,9.

2csinC

（1）求sinB;

（2）若AE为BAC的平分线，点E在BC上，求AE的长.

【答案】（1）310

10

35

（2）AE

2

【小问1详解】

π

因为BC，所以sinCcosB，

2

bsinB

因为9，所以sin2B9sin2C9cos2B91sin2B，

csinC

310

解得sinB；

10

【小问2详解】

由题意b310,c10,BAECAE45，

111

由等面积法有，ABAEsinBAEACAEsinCAEABAC，

222

12121

即10AE310AE10310，

22222

35

所以45AE30，解得AE.

2

17.袋子里有除颜色外完全相同的6个小球，其中3个白球，2个黑球，1个红球.

（1）若不放回的抽取3个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率；

（2）若有放回的抽取3次小球，每抽到一次红球得2分，抽到白球或黑球不得分.求积分X

的分布列，以及X的期望和方差.

3

【答案】（1）

4

5

（2）分布列见解析；EX1；DX

3

【小问1详解】

C1C2C2C1C1C1C13

既抽到白球也抽到黑球的概率3232321；

P3

C64

【小问2详解】

1

记抽到红球的次数为Y,YB3,，

6

k3k

k15，

PYkC3,k0,1,2,3

66

由题知，X2Y,X0,2,4,6，PX2kPYk,k0,1,2,3，

X的分布列为

X0246

12575151

P

216216216216

1

EXE2Y2EY231，

6

155

DXD2Y4DY43.

663

18.已知函数fxx3ax2a，aR．

（1）若a2，求函数fx的图象在点1,f1处的切线方程；

（2）求函数fx的单调区间；

4a

（3）若函数fx在区间0,存在两个不同零点x，x，证明：xx．

12123

【答案】（1）yx2

（2）答案见详解（3）证明见详解

【小问1详解】

由a2，即fxx32x22，得f11，

则fx3x24x，得f11，

所以点1,f1处的切线方程为y1x1，即yx2．

【小问2详解】

依题意可得fx3x22axx3x2a，

2a

令fx0，得x0或x，

3

当a0时，若x,0时，fx0，则fx在,0上单调递增，

2a2a

若x0,时，fx0，则fx在0,上单调递减，

33

2a2a

若x,时，fx0，则fx在,上单调递增；

33

当a0时，fx0，则fx在,上单调递增；

2a2a

当a0时，若x,时，fx0，则fx在,上单调递增，

33

2a2a

若x,0时，fx0，则fx在,0上单调递减，

33

若x0,时，fx0，则fx在0,上单调递增．

2a

综上，当a0时，fx的单调递增区间为,0和,，单调递减区间为

3

2a

0,；

3

当a0时，fx的单调递增区间为,，无单调递减区间；

2a2a

当a0时，fx的单调递增区间为,和0,，单调递减区间为,0．

33

【小问3详解】

证明：不妨设x1x2，

根据（2），若存在x1、x2是函数fx在区间0,的两个不同零点，

2a2a

则fx1fx2，且a0，得x10,，x2,，

33

4a2a4a

则x1,，

333

2a

又fx在,上单调递增，

3

4a4a4a

则x1x2x2x1fx2fx1，

333

4a

又fx1fx2，所以只要证明fx1fx1即可．

3

4a2a

设gxfxfx，x0,

33

4a222a

则gxx3x2ax3x2a3x2a0，x0,

333

2a

所以gx在0,上单调递增，

3

2a2a2a

所以gxgff0，

333

2a

所以当x0,时，gx0成立，

3

2a4a

即当x0,时，fxfx成立，

33

4a

即fx1fx1成立，

3

4a

即xx成立．

123

19.在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为n次赢m次输.为深入挖掘球队潜

力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是

指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连

续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为R.假设校篮球队比

，

赛的输赢序列具有r个赢的游程，xi1ir表示第i个赢的游程长度，其中xi0且

，

x1x2xrn则记向量Xx1,x2,,xr;yi表示第i个赢的游程以前连续输的次

，

数，yr1表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中yi0且y1y2yr1m，

记向量