3.2图形的旋转（中心对称）-【导学练评】北师大版数学八年级下册

3.2图形的旋转（中心对称）-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形的相互联系与变化规律，激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.学习重点：能判断一个图形是否为中心对称图形，并利用中心对称的性质进行作图.学习难点：中心对称与中心对称图形的联系与区别，运用中心对称的性质作图的方法.1.轴对称图形和轴对称的概念是什么？（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2.轴对称的性质是什么？（1）任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段关于对称轴对称。1.观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是（填写序号2.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．一、探究中心对称定义1、观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？2、观察图形旋转过程，发现什么？旋转180°与原图完全重合中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。如图3-20，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。中心对称是一种特殊的旋转，其特殊之处就在于其旋转角是180度。二、探究中心对称性质1、观察图形，发现什么？2、中心对称性质（1）：OA=OA',OB=OB',OC=OC',即对称中心平分对称点所连的线段。（2）中心对称的两个图形是全等图形．3、欣赏中心对称图形中心对称与轴对称的区别与联系轴对称中心对称有一条对称轴——直线有一个对称中心——点图形沿对称轴对折后重合图形绕对称中心旋转180°后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分例11．如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.例22．如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形一、基础达标1：3．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（)A． B． C． D．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．角 B．等边三角形 C．线段 D．平行四边形5．下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7．判断下列说法是否正确。（1）轴对称图形也是中心对称图形。（）（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（）（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。（）（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（）（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。（）二、能力提升1：8．在方格纸中选择标有序号的一个小正方形涂上颜色，与图中阴影部分构成中心对称图形，应选。三、拓展迁移1：9．正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。10．如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1)、B（4，2)、C（3，4)．（1）请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2中，点C2的坐标是；（3）当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，求点C所经过的路径长．11．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，（1）猜想线段DE与AC的位置关系是，并加以证明；（2）设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为2，则S1与S2的数量关系是，并加以证明．1、中心对称把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，这个点是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。2、中心对称图形的性质①对称中心平分对称点所连的线段。②中心对称的两个图形是全等图形．3、作中心对称图形四、基础达标2：12．下图是几种名车标志，其中是轴对称图形的有（填序号)，是中心对称图形的有（填序号).13．观察图形，并回答下面的问题：（1）哪些只是轴对称图形？（2）哪些只是中心对称图形？（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？14．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（）A．2 B．4 C．6 D．815．以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有.五、能力提升2：16．如图，已知△ABC与△A'B'C'中心对称，找出它们的对称中心O.17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．六、拓展迁移2：18．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为.19．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为。20．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.（1）求∠BCD的度数；（2）将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC'D'，当点D'恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C'C并延长交AB于点E.①求∠C'CB的度数；②求证：△C'BD'≌△CAE.

答案解析部分1．【答案】解：作法：1.连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；2.同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；3.顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.2．【答案】解：作法：1.连接BO并延长到B'，使OB'=OB，连接DO并延长到D'，使OD'=OD，连接CO并延长到C'，使OC'=OC，2.顺次连接E，B'，C'，D'，A则四边形AB'C'D'E就是五边形ABCDE成中心对称图形.【解析】【分析】作出点B、C、D关于点O的对称点，然后依次连接即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形.共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，

故答案为：C.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念“在平面内，如果一个图形绕某个点旋转1804．【答案】C【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误.

故答案为：C.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念“在平面内，如果一个图形绕某个点旋转1805．【答案】A【解析】【解答】解：由中心对称图形的概念知：平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形由轴对称图形的概念知：矩形、菱形、正方形都是中心对称图形因此平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形

故答案为：A.【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的相关概念“如果一个图形绕某个点旋转1806．【答案】C【解析】【解答】解：根据中心对称的概念，知(1)、(2)、(3)都是中心对称；(4)是轴对称.故答案为：C.【分析】根据中心对称的定义“把一个图形绕一个点旋转1807．【答案】（1）错误（2）错误（3）正确（4）错误（5）正确【解析】【解答】解：（1）轴对称图形不一定是中心对称图形，故原说法错误；

（2）旋转对称图形不一定是中心对称图形，故原说法错误；

（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心，说法正确；

（4）角是轴对称图形，不是中心对称图形，原说法错误；

（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，说法正确；

故答案为：错误；错误；正确；错误；正确.

【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可；

（2）根据旋转和中心对称图形的定义解答即可；

（3）根据平行四边形、正方形、长方形的对称性解答；

（4）根据角的对称性解答即可；

（5）根据中心对称图形的性质解答即可.8．【答案】④【解析】【解答】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕O正方形的中心旋转180故答案为：④.【分析】根据中心对称图形的意义，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.据此解答即可.9．【答案】解：正方形、正六边形是中心对称图形，规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。【解析】【分析】判断正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为中心对称图形，再通过分析这些图形的边数，总结出一般规律.10．【答案】（1）解：如图，△AB1C1为所作；

（2）解：如图，△A2B2C2为所作；

(−3，−4)（3）解：AC=所以点C所经过的路径长=【解析】【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点即可；

(2)利用关于原点对称的点的坐标特征得到A2、B2、C11．【答案】（1）解：DE∥AC；理由如下：∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；

故答案为：DE∥AC；（2）解：S1=S2∴CD=AC=∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S故答案为：S1【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60∘，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

(2)根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形3012．【答案】①②③；①④⑤【解析】【解答】解：①②③是轴对称图形；①④⑤是中心对称图形；

故答案为：①②③；①④⑤.

【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”判断解答即可.13．【答案】（1）解：（1）（3），（4）、（6）（2）解：（2）（1）（3）解：（3）（2），（5）【解析】【分析】(1)根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进而判断；

(2)根据把一个图形绕某一点旋转180(3)利用(1)(2)的分析得出答案.14．【答案】B【解析】【解答】解：∵△AOB与△DOC成中心对称，

∴△AOB≌△DOC，

∴△COD的面积为6，CD=AB=3，

设CD边上的高为h，

∴12×3h=6，故答案为：B.【分析】根据旋转可得△COD的面积为6，CD=AB=3，然后根据三角形的面积公式计算即可.15．【答案】①②③；①③【解析】【解答】解：图中的三个图形都能找到对称轴，故都是轴对称图形；图②中的图形旋转180∘无法与原图形重合，故不是中心对称图形，图故答案为：①②③；①③.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“在平面内，如果一个图形绕某个点旋转18016．【答案】解：如图所示，连接BB'，CC'，交于点O，点O即为对称中心.【解析】【分析】根据两个图形成中心对称图形，那么它们对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分解答即可.17．【答案】3【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE.则BE=AE=6，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE=6，∴CE=BE=AE=6，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，在△QBC和△PBE中，QB=PB∴△QBC≌△PBE(SAS)，∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=6，∠A=30°，∴PE=∴CQ的最小值为3，故答案为：3.【分析】取AB的中点E，连接CE，PE，证三角形BCE为等边三角形，再证△BCQ≌△BEP，PE=CQ当EP垂直AC时，EP值最小，即CQ最小，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可.18．【答案】8【解析】【解答】解：依题意