2025~2026学年湖南衡阳市衡阳县第四中学下册高二6月检测数学试题 含答案

/衡阳县四中2025-2026年下学期高二6月检测卷数学分值：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.1.在等差数列中，为其前项的和，若，，则（）A.36 B.48 C.72 D.108【正确答案】C【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解.【详解】在等差数列中，，依题意，，即，，两式相减解得，代入得，因此.故选：C.2.随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（）012A. B. C.1 D.【正确答案】A【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解.【详解】由题意，故，而，从而.故选：A.3.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】令，求导可得在上为减函数，可得结论.【详解】.设，则，当时，，所以在上为减函数，又，所以，即.故选：D.4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A.1600 B.1800 C.2100 D.2700【正确答案】D【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解.【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而，所以，故参加本次联考的总人数约为．故选:D．5.某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解.【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，，所以，所以．故选：A．6.已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（）A.1 B.-1 C. D.【正确答案】D【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可．【详解】由题可得，设切点坐标为，则，所以，，，故D正确.故选：D.7.已知在数列中，，，，则中的最大项是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为.【详解】记，由题意得，整理可得，得，即，又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，即，当时，，即，所以，故中的最大项为.故选：B8.函数在区间的值域为，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由函数单调性得函数值域，从而转化为有两个不等的实根，再由导数确定新函数的单调性确定函数的性质得结论．【详解】易知在上是增函数，所以数在区间的值域为，又值域为，所以，有两个不等的实根，记（），则，设，则，所以是增函数，又，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，而时，，时，，所以，故选：B．二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（）A.经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中B.对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位C.残差平方和越小，模型的拟合效果越差D.若相关系数，则与的相关程度很强【正确答案】AB【分析】根据回归直线的相关性质判断AB选项，根据残差平方和的性质判断C选项，根据回归直线的性质判断D选项.【详解】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确；B选项，由及回归直线的性质，增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确；C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误；D选项，相关系数的绝对值接近时，才可以说与的相关程度很强，但很明显和的偏差很大，因此与的相关程度不强，D选项错误.故选：AB10.已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.在上单调递减【正确答案】ABD【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可.【详解】由题意得．由图可知有3个零点，则，令，得或或．当时，，若，则，不符合题意．当时，，则或时，，当或时，符合题意，A，B正确．由图可知，，得，C错误．因为当时，，所以在上单调递减，D正确．故选：ABD11.已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】对于A，只需要依次赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得.【详解】对于A，由，因，可得，，故A正确；对于B，当，时，（*），因，则，故由（*）可得，则，即数列为公差为1的等差数列，则有，可得，故B正确；对于C，由，可得，上面两式相减可得，可得，故C错误；对于D，由，，可得：，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列满足，，则通项公式为_____.【正确答案】【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，解得，所以.故13.设随机变量服从正态分布，且，若，则__________.【正确答案】0.5##【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值.【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称.

因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称.

已知3.5与关于对称，所以，可得：，移项可得.

故0.5.14.已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______.【正确答案】【分析】不等式同构变形为，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围．【详解】因为，，所以等价于.若，则，，显然恒成立.若，令，则在上恒成立，则在上单调递增，由，得，则，则在上恒成立.令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为.故方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）由即可求解的通项公式，又根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式；（2）由，从而根据裂项相消求和法及分组求和法即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，当时，，由于满足，所以的通项公式为，因为数列是公差为的等差数列，，所以，所以；【小问2详解】解：因为，所以.16.已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解；（2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解.【小问1详解】，则有，解得，即；【小问2详解】由，，由在区间上单调递增，故当时，，令，解得或，故或，对，该不等式组无解，对，解得，综上所述，.17.某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：喜欢不喜欢合计男45550女351550合计8020100（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.附.0.050.0250.010.0053.8415.0246.6357.879【正确答案】（1）有关（2）【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可.【小问1详解】零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.【小问2详解】由题意得抽取的8人中，男性人数为，女性人数为.当3人中有2名女性和1名男性时，，当3人全部为女性时，，则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.18.某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分；方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分；已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立.（1）求甲得分不低于分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望：（3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由.【正确答案】（1）；（2）分布列见解析，期望；（3）甲获胜的可能性更大，理由见解析.【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得；（2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望；（3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解.【小问1详解】设甲选择方式一参加比赛的得分为，，，设甲得分不低于分为事件，则；【小问2详解】设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为，，，，，所以的分布列为：所以；【小问3详解】甲胜出的可能性更大，理由如下：甲获胜的情况有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的情况有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分，所以乙获胜的概率为，因为，所以甲获胜的可能性更大.19.定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．（2）（i）证明：是上的“好函数”．（ii）设，证明：．【正确答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可.（2）（i）