2025~2026学年广西南宁市第三十三中学下册高一6月月考数学试题 含答案

/南宁市第三十三中学2026年春季学期6月月考高一数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知向量，满足，且，则的值为（）A.4 B.2 C.8 D.【正确答案】A【分析】由两边平方可得，，由此可求结论,【详解】由，所以，所以，，所以，又，所以．2.在中，，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算将用表示，再利用平面向量的基本定理求得正确答案.【详解】由，得，则，又，则，，所以.3.有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据每种调查方式、抽样方法的适用条件及定义逐个判断.【详解】对于①，小区全体住户燃气、水电设施安全检查的调查范围有限，且涉及住户安全，需覆盖所有住户，适用全面调查，故①正确；对于②，检测袋装牛奶的细菌数需要拆封包装，对产品进行损坏，对全部产品进行破坏性检测不现实，适用抽样调查，故②正确；对于③，简单随机抽样要求总体内每个个体被抽取的概率相等，本题指定个子最高的5名同学参与活动，其余个体无被抽取的可能，不符合简单随机抽样的定义，故③错误；对于④，根据分层抽样的计算方法，可得，解得，故④正确；综上，①②④这3个正确.4.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积.【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为，由解得：，所以圆锥的表面积为.5.已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，，则【正确答案】D【分析】根据线线、线面、面面位置关系的相关性质逐项分析即可判断正确答案．【详解】对于A，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行，所以若，，则，故A错误；对于B，若，，则与的位置关系可能是平行、相交或异面，故B错误；对于C，若，，则与的位置关系可能是或，故C错误；对于D，根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，所以已知，，且，可得，故D正确．故选：D．6.根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（）A.53度 B.54度 C.55度 D.56度【正确答案】C【分析】由频率分布直方图计算各组频率，确定75%分位数所在区间，利用频率比例关系计算.【详解】由频率分布直方图可知，组距为10，第一组[20，30）的频率为0.00510=0.05；第二组[30，40）的频率为0.01010=0.10；第三组[40，50）的频率为0.05010=0.50；第四组[50，60）的频率为0.02010=0.20；因为前三组的频率之和为0.05+0.10+0.50=0.65<0.75，前四组频率之和为0.65+0.20=0.85>0.75，所以75%分位数位于第四组[50，60）内.设75%分位数为，则，即，解得.7.在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】以为基底，表示向量和，利用向量的数量积求异面直线夹角的余弦.【详解】如图，以为空间向量的基底.不妨设，则，则，.因为，，，.又，所以.即直线与所成角的余弦值是.故选：C8.在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案.【详解】在中，由余弦定理可得，即，因此满足，可得是以的直角三角形，以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示，则，，，，，则，，易知即为向量，的夹角，所以．二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共计18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数z满足，则下列说法正确的是（）A.B.C.复数z的虚部为D.在复平面内，复数z对应的点位于第四象限【正确答案】AD【分析】计算出复数，然后计算复数判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数的基本概念判断C，由复数的几何意义判断D即可.【详解】由，得，所以，故A正确；，故B错误；复数z的虚部为，故C错误；在复平面内，复数z对应的点为是第四象限的点，故D正确.故选：AD10.下列说法中正确的是（）A.样本的方差，则这组样本数据总和等于60B.若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32C.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【正确答案】AD【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可.【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确；对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64，所以数据的方差为，标准差为，故错误；对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数，所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误；对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，不妨记原始数据为，则，，即，现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为，样本方差为，所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确.11.如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（）A.若，则点的轨迹长度为B.若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为C.若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为D.若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为【正确答案】ABD【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D.【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以，因为，则，则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图，所以点的轨迹长度为，故A正确；对于B选项，如下图所示：延长分别交直线、于点、，连接交于点，连接交于点，连接、，所以五边形为所求截面，因为为的中点，所以，因为，所以，又因为，故，所以，因为，所以，所以，由勾股定理可得，，，同理可得，，，故截面周长为，故B正确；对于C选项，如图所示，，取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上，所以外接圆半径，依题意易知，，根据正弦定理可知，，则，过点作底面的垂线，由于底面，设为三棱锥的外接球的球心，则，而，则，又，则三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误；对于D选项，因为平面，所以与的夹角为，故，则，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于，在中，，则，故，如图在平面中，过点作于点，则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________【正确答案】【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解.【详解】复数是纯虚数，故，解得，故.13.如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形（上底为2，下底为4，高为2），则原平面图形的面积为________．【正确答案】【分析】求出直观图面积，根据原图形面积与直观图面积关系求解.【详解】因为，所以.故答案为.14.在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______．【正确答案】##【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积.【详解】在Rt中，，则，，由是的中点，得，为正三角形，，令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接，则，是二面角的平面角，，，在中，由正弦定理得，是正三角形，，在中，由余弦定理得，令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面，则，同理，而平面，于是平面，而平面，则平面与平面重合，即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得，，三棱锥外接球半径，所以三棱锥外接球表面积.故四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知平面向量，且，（1）求在方向的投影向量的坐标；（2）若，且，求向量的坐标；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可；（2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可；（3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围.【小问1详解】，，故，所以所以在上的投影向量为所以在上的投影向量为.【小问2详解】设，，，又，或，或【小问3详解】因为，所以，，因为与的夹角为锐角，所以且与不共线即解得且即k的取值范围是16.某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；（3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数．【正确答案】（1）（2），（3）众数：75分；平均数：76.5分；人【分析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积和为1即可求解；（2）由频率分布直方图确定成绩落在，的频率，再由频率估计人数即可；（3）由样本数据的数字特征求法依次求解即可.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，由题意得，设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，.【小问3详解】由题意得众数为75分；由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15，落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1，则平均数为，设为78分以上的频率，为78分以上的人数，则，故78分以上的人数为47人.17.已知分别为内角的对边，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）若是锐角三角形，且，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；（2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解（3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解.【小问1详解】根据正弦定理有即展开化简得,，，，，,,，.【小问2详解】由（1）可知，，由余弦定理：得，又，，即，联立解得，所以.【小问3详解】由正弦定理，∴.∴

.∵为锐角三角形，，可得，解得：，∴，∴∴，∴，∴的范围是.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.（1）求证：平面（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得；（2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得；（3）取中点为，连接，利用等体积法可得.【小问1详解】证明：连接交于，连接，是三角形中边上的中位线，，又平面，平面，平面.【小问2详解】证明平面，平面，，又四边形是矩形，，，，平面，平面，平面，，又是的中点，，，，，平面，平面.【小问3详解】如图，取中点