2025~2026学年江西九江市匡庐星瀚高级中学高一下册5月月考数学试题 含答案

/江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年度下学期5月月考高一数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知，，则的周期为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案.【详解】的最小正周期为.故选：D.2.如图，在中，是上一点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解.【详解】解：由图形可知.故选：C.3.将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心.【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，可得，令，，解得，，即对称中心为，，当时，对称中心为，令得k均为整数解.故选：D.4.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角．【详解】解：，，，，，设与的夹角为，．，，．故选：D．5.已知抛物线的准线经过，则抛物线的焦点坐标为（）．A. B. C. D.【正确答案】B【详解】∵抛物线的准线经过点，即准线方程为，∴，∴该抛物线焦点坐标为．6.在等腰直角中，，，为内一点，，则直线与直线的夹角的余弦值为（）.A. B. C. D.【正确答案】D【分析】以为原点，建立直角坐标系，求得，由题意得到，推得，，进而求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】因为，以为原点，以分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，且为等腰直角三角形，可得，又因为，可得，所以，所以，，所以，所以，，，所以点，所以，则，所以直线与直线的夹角的余弦值为.故选：D.7.已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据导数判断在和上各有1个零点，转化为当时，有2个零点，利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可.【详解】当时，，当时，单调递增；当时，单调递减．又，，，所以在和上各有1个零点．又因为有4个根，所以当时，有2个零点，因为，所以，即，解得．故选：B．8.在中，角所对的边分别为，已知,，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以，由知，所以，当且仅当即时等号成立，所以线段长度的最小值为.故选：D二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.9.若角的终边经过点，则下列结论正确的是（

）A.是钝角 B.是第二象限角C. D.点在第四象限【正确答案】BC【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确，A错误；，C正确；由，，则点在第二象限，D错误.故选：BC.10.已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（）．A.的一个对称中心B.的对称轴方程为C.在上的值域为D.的单调递减区间为【正确答案】BCD【分析】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可．【详解】由题图可得，，解得．又，可得，解得．因为，所以，所以．所以．对于A，当，，所以不是的一个对称中心，故A错误；对于B，令，可得，故的对称轴方程为，故B正确；对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C正确；对于D，令，解得，所以的单调递减区间为，故D正确．故选：BCD．11.对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（）A.存在单位向量，使得B.对任意、，恒成立C.若，则的最大值为D.，则【正确答案】BCD【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B;根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D.【详解】设单位向量，则，，而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误;已知，，则，又，，计算，所以恒成立，B选项正确;由，则，，，，，，设，的夹角为，对平方得，即当时，取得的最大值为，C选项正确;已知，则，即，设，则，所以，所以，D选项正确故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.若函数的一个零点为，则A=______；=______.【正确答案】①.②.【分析】根据是函数的零点，代入即可求出的值，然后再将代入即可求解.【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得：，所以函数，则有，故；.13.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形，其中为正八边形的中心，边长，则__________．【正确答案】【分析】连接，，根据正八边形可知，，以，为基底表示，，在中，由余弦定理可得，求数量积即可.【详解】如图所示，连接，，由为正八边形可知，且，则，所以，即，且，所以，则，在中，由余弦定理，解得，所以，故答案为.14.已知向量的夹角为120°，且，则为_______．【正确答案】10【分析】直接利用平面向量数量积的运算律求解即可.【详解】因为向量的夹角为120°，且，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.化简求值：（1）；（2）.（为自然对数的底数）【正确答案】（1）（2）2【分析】（1）根据诱导公式即可结合特殊角的三角函数值即可求解，（2）根据对数的运算法则即可求解.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.16.在边长为1的正三角形中，设，，点满足.（1）试用表示；（2）若（，且），求的最大值.【正确答案】(1);(2).【详解】试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得即可得结果；（2），换元后，利用基本不等式即可得结果.试题解析：（1）.（2）.17.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记.（1）若，求三角形的周长（结果精确到0.01）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【正确答案】（1）22.45米．（2）米时，活动室面积最大，最大面积为．【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长；（2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值．【小问1详解】由正弦定理，即，，，由得，三角形周长为（米）．所以三角形周长约为22.45米．【小问2详解】由得，又，得，所以，，因为，所以，即时，，此时，此时三角形取得最大面积．18.如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.（1）用向量，表示；（2）求，夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的线性运算求解；（2）由题意可得，结合数量积的定义以及运算律运算求解.【小问1详解】由题意可得.【小问2详解】因为，由题意可得：，可得，，，即，所以，故，夹角的余弦值为.19.定义：对函数对于给定的正整数，若在定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”（1）若函数为“2性质函数”，求；（2）判断函数是否是“性质函数”？若是，请求出；若不是，请说明理由.（3）若函数为“1性质函数”，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）不是，理由见解析；（3）【分析】（1）解方程可得；（2