2025~2026学年山东省郯城县第一中学高二下册素养测评（四）数学试题 含答案

/2025-2026学年度高二下学期素养测评（四）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A=xxA. B. C. D.【正确答案】D【详解】，解得，故;，解得，故，．2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【正确答案】A【详解】由题意可得，“”的否定为.3.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（）A.0.036 B.0.040 C.0.042 D.0.048【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果.【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”；所以即任取一个零件是次品的概率为，故选：C.4.已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】由图像可知：，，因为，，所以，.5.随机变量的分布列为123则（）A.1 B.2 C. D.【正确答案】B【详解】由题可知：，解得：，所以.6.我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（）A.21个 B.20个 C.19个 D.18个【正确答案】A【分析】按照首位数字为进行分类，计算每种情况下的“吉祥数”个数，相加得到总数.【详解】当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个；因此，所有的“吉祥数”共有个.故选：A7.从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出百位数字为奇数（事件）的基本事件数及百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数，代入条件概率的计算公式计算即可.【详解】.百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法，十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法，则事件包含的基本事件数为种.百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法，十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法，则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种.因此，.故选：A.8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】把已知函数有两个极值点问题转化为导数有两个不同零点问题，构造函数，求导并分析单调性、极值，作出大致图像，利用图像求实数的取值范围．【详解】函数有两个极值点等价于有两个不同的变号零点，令，即，设，求导得，当时，，单调递增，值域为；当时：当时，，单调递增；当时，，单调递减，在处取得极大值，，即为最大值，故值域为；作出的大致图像如下：由图像可知，当时，与有两个交点，故实数的取值范围为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.若样本数据的方差，则所有的都相等B.在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好C.以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则的值分别是4和0.3D.利用变量的经验回归方程进行预测，当时，，当时，，则【正确答案】ABD【分析】根据方差的公式即可判断选项A，结合残差分析法判断回归模型的拟合效果，即可判断选项B，结合非线性回归方程和线性方程的表达式，即可判断选项C，列方程组求解即可判断D．【详解】对于A，令数据的平均数为，则由，可得，所以，所以，即所有的都相等，A正确；对于B，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，B正确；对于C，，左右两边取对数得，设，求得线性回归方程为，则，，C错误；对于D，8b+a10.已知，且，则下列正确的有（）A.ab的最大值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为2【正确答案】ACD【分析】根据基本不等式逐项判断即可.【详解】对于A，因为，所以，解得，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，故B错误；对于C，因为，当且仅当，即，时取等号，故C正确；对于D，因为，由A可知最大值为，所以的最大值为4，所以的最大值为2，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.的图象关于点对称B.若有三个不同的零点，则的取值范围为C.的极大值点是D.当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条【正确答案】ACD【分析】由题设易得，即可判断A；求导，分析函数的单调性，进而判断BC；根据导数的几何意义求解判断D.【详解】对于A，，所以的图象关于对称，A正确；对于B，由，则，令，得或，令，得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，而，要使函数有三个不同的零点，则，解得，故B错误；对于C，由B知，函数在和上单调递减，在上单调递增，则的极大值点是，故C正确；对于D，当时，，则，设切点坐标为，则，解得，即切点坐标为，切线斜率为，所以过原点且与曲线相切的直线为，只有一条，故D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.“函数是奇函数”的充要条件是实数_____.【正确答案】0【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合正弦函数的奇偶性求出.【详解】函数的定义域为，依题意，，恒成立，即，，因此，所以“函数是奇函数”的充要条件是实数.故013.函数的极值为____________．【正确答案】（极小值为，无极大值）【详解】由，得

.∵，∴，∴恒成立，令，得，得.令，得，得.∴在上单调递减，在上单调递增.∴在处取得极小值，极小值为，无极大值.14.在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的最小值为____________．【正确答案】14【详解】由题意得，．在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得，即，化简得，解得或，则的最小值为14.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限/年24568失效费/万元34567（1）根据上表数据，计算与的样本相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（已知：，则认为与高度线性相关）（的结果精确到0.0001）（2）求关于的经验回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．附：样本xi, yii=1, 2, 【正确答案】（1），与高度线性相关（2）经验回归方程为y^【分析】

（1）先计算变量的均值及乘积和、平方和，再根据相关系数公式求得，判断相关性强弱；（2）利用最小二乘估计公式计算回归系数，得到经验回归方程，代入即可预测失效费.【小问1详解】由题意可得，，

，.

，，.所以相关系数

.由于，因此认为与高度线性相关.【小问2详解】根据最小二乘估计公式，得

b^

a^

故关于的经验回归方程为y^=0.7x当时，，即该机械设备使用10年的失效费估算为8.5万元.16.已知函数，奇函数的定义域为，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据奇函数的性质，结合分段函数，可得答案；（2）根据复合函数的单调性，结合对数函数以及二次函数的性质，建立不等式，可得答案；（3）根据不等式，明确所求函数的最值，利用对数函数的性质，化简不等式，利用换元法，结合基本不等式，可得答案.【小问1详解】因为为奇函数，所以当时，；当时，，所以【小问2详解】令，因为外层函数为减函数，且在上单调递减，所以内层函数在上单调递增，且，所以即，解得，所以实数的取值范围是.【小问3详解】当时，，对任意，存在，使得，等价于对任意，即当时，，所以，整理得.令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围是.17.为了有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75的居民用电量在第一阶梯内，约20的居民用电量在第二阶梯内，约5的居民用电量在第三阶梯内．现从该市抽取了200户居民的月用电量（单位：kW·h）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图．根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点，并且每户的用电单价与每户的月用电量的关系如表所示．分档每户月用电量（单位：kW·h）用电单价（单位：元/kW·h）第一阶梯（含）0.5第二阶梯（含）0.55第三阶梯0.8（1）求的值，并计算月用电量为350kW·h的家庭需缴纳的电费．（2）对这200户居民的月用电量和每户人口情况进一步整理，得到如表2的“22”列联表．

人口不少于5人人口少于5人合计月用电量在第一阶梯60

月用电量高于第一阶梯40

合计100100200①记人口不少于5人的家庭中月用电量高于第一阶梯的概率为，求的估计值；②完成“22”列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为每户人口是否少于5人与户月用电量是否在第一阶梯有关联？附：，其中．0.0500.0100.0053.8416.6357.879【正确答案】（1），，（2）①②列联表

人口不少于5人人口少于5人合计月用电量在第一阶梯6090150月用电量高于第一阶梯401050合计100100200依据小概率值的独立性检验认为每户人口是否少于5人与户用电量是否在第一阶梯有关．【小问1详解】由题意知分别为这组数据的第分位数、第分位数．，解得，，解得；当用电量为350kW·h时，电费为元；【小问2详解】①事件发生的概率可估计为；②

人口不少于5人人口少于5人合计月用电量在第一阶梯6090150月用电量高于第一阶梯401050合计100100200，因为，所以依据小概率值的独立性检验认为每户人口是否少于5人与户月用电量是否在第一阶梯有关．18.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛．决赛设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题．类题答对一道得10分，类题答对一道得20分．已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立．（1）求甲恰好答对一道题的概率；（2）设为甲的总得分，求的分布列和数学期望；（3）若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小．【正确答案】（1）（2）X的分布列为：，，，，；（3）【分析】（1）甲恰好答对一题分为“答对一道A类题且B类题答错”和“两道A类题都答错且B类题答对”两种情况.（2）分别求出答对A类题的道数和答对B类题的情况，按总分合并同分事件.（3）利用数学期望的线性性质分别计算E(X)和E(Y)并比较.【小问1详解】甲恰好答对一道题，分为答对道类题且答错类题，或答错道类题且答对类题.所以所求概率为.【小问2详解】设甲答对类题的道数为，答对类题的道数为，则，，且.于是的可能取值为所以的分布列为：.【小问3详解】由期望的线性性质，甲的数学期望为.易知乙答对A、B两类题的题数分别服从二项分布，由期望的线性性质可得乙的数学期望为.所以.19.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若函数有两个零点