2026届普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）网络收集版 含答案

/2026年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）网络收集版一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,3}，集合B={−2,0,1}，A．{−2}B．{−2,2}C．{0,1,2}D．{−2,0,1,2}【正确答案】D【详解】因为U={−2,−1,0,1,2,3},所以∁2．设x∈R，则“x<A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】必要性：当x2−3x充分性：当x故“x<0”是“3．为调查候鸟只数和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=−0.91，根据最小二乘法算得y=−1.17A．y与x呈负相关 B．当x=10时，yC．当x=10时，y一定小于1359 D．两变量无线性回归【正确答案】A【详解】回归方程y=−1.17x+1370.1当x=10时，y=−1.17×10+1370.7=1359，回归方程所求y相关系数r=−0.91，4．函数fx的部分图像如图所示，则fA．x−sinπx B．x+sinπx【正确答案】C【详解】由图象可知fx是奇函数，且f1<0对于A：函数fx=x+sin对于B：函数fx=x−sin对于C：若fx=−x+sin【方法总结】判断函数图像对应的解析式的方法（1）函数性质判断：通过观察图像判断函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，并验证选项中所给函数的性质是否符合，从而选择对应的函数解析式；（2）特殊值代入：选用几个特殊的函数值代入所给的解析式，并将代入结果与图像信息进行比较，从而排除不符合图像的解析式.5．正方体ABCD−A1A．AC//A1C1 C．平面ACD1//平面A1C1B 【正确答案】D【详解】对于A：∵正方体ABCD−A1B∴四边形A1ACC对于B：正方体ABCD−A1AB∩BC=对于C：由A选项知A1C1∥AC，AC⊂面ACD1，A1C1⊄面AC对于D：正方体ABCD−A1B16．己知函数fx=lnxA．a<b<c B．b<a<c【正确答案】A【详解】函数fx易得fx=lnx在[1,+∞)单调递增，因为y=又因为y=3x在R所以1<20.3<37．x+A．10 B．9 C．8 D．6【正确答案】B【详解】x当且仅当x2=48．已知S2n−SA．68 B．56 C．−3 D．−4【正确答案】C【详解】由S2当n=1时，S2当n≥2即S2①−②整理得a2当n=2时，当n=4时，9．已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、A．83 B．2 C．85 【正确答案】D【详解】如图所示，△FPA中，因为FA=FP由余弦定理得AP2即AP由双曲线定义得PF′=PF+2所以△PAF′中由余弦定理得即3a+c整理得3c2−因为e>1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.10．已知i为虚数单位，化简3+i2=【正确答案】8+6i【详解】3+i11．在x+2y4的展开式中，【正确答案】8【详解】x+2y4展开式的通项为Tr+1令4−r=3r=1，12．在△ABC中，BC=4，AC【正确答案】3【详解】因为△ABC中，cos所以sin由正弦定理BCsinA=13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.若有放回地取三次，则三次都未取到黄球的概率为；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率为.【正确答案】8【详解】由于是有放回的抽取，则每次抽取时抽到黄球的概率为13，没抽到黄球的概率为2第一空：三次均未取到黄球的概率为23第二空：设事件A为三次均未取到黄球，PA=在三次都没取到黄球的条件下，只能取到红球或白球，单次取到红球概率14，单次取到白球的概率34，三次都没取到红球的概率为所以在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率为PB14．已知a=a·b=1，b>1.记c=λa+μb.【正确答案】2，1,3【详解】第一空：由c=λa+ub且第二空：设a与b夹角为θ，因为a=a不妨设a=1,0，b=1,1，设C=OC，C点轨迹是以当c=b时，即C′点落在A1,1=λ1,0当c=3,1时，即C点落在B3,13,1=λ+u,u，15．在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A，B，C，D四个点，A，B，C，D的纵坐标分别为yA，yB，yC，①若M与抛物线焦点重合，yA②yA③OMON④y⑤S△【正确答案】②④【详解】设直线l的方程为x=my+n,直线l联立y2=2x,x=my+所以直线l与x轴的交点横坐标为−由该结论知，xM因此yA对于①，若M与抛物线焦点12,0重合，则xM=12,即−yAyC2=1对于③，因为OM则OM若OM⋅ON=2对于④，yyB对于⑤，假设A,BS又PMPN则S=示：由yAyR又因为OM所以S△三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f(1)求fx的(2)若x∈−π(3)α∈0,π2【正确答案】(1)π(2)最大值32，最小值−1【详解】(1)因为f(2)因为x∈−π6,π12，令当t=−π6即2当t=π3即2∴(3)因为α因为sincosfα17．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1(1)求证：BD⊥平面CEF(2)求平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥A−【正确答案】(1)证明见详解(2)155【详解】(1)证明：长方体ABCD−如图建立空间直角坐标系，∵AB=2,AA∴D0,0,0∴BD∴BDBD·∵BD⊥CE，BD⊥CF(2)由(1)知BD是面CE的一个法向量，BD=又∵AE=−3,0,3设n⊥平面AEF∴n·AE令x=1，zcos⟨BD∴面AEF与面CEF夹角余弦值155在D1C1上取点∵又EE1⊄面ACF，AC∴E到面ACF的距离与E1到面∴V∴∵C∵CF=2∴CF=∴S△∴VA故三棱锥A−18．已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率为−3的直线与圆x2+y2=b2相切，且该直线交椭圆于Px1【正确答案】(1)x2【详解】(1)离心率e又c2把x=b代入由①②式联立可得y2=3因为弦长b=3，所以b2=3，a2(2)由(1)知b2=3，设直线l：y=−3所以圆心0,0到直线3x−m32联立y=−3x+m当m=23时，①式整理得当x1=65时，∵y因为A0,所以k1当m=−23时，①式整理得5x当x1=−2时，y1∵y因为A0,3，k1所以k1综上k119．已知数列an是等差数列，bn是等比数列，(1)求数列an(2)记En={x∈R(i)求c3ii求m=1【正确答案】(1)a(2)(i)3n+2【详解】本题考查等差数列、等比数列基本量的计算，及数列求和的技巧，集合概念的证明。(1)由已知an等差数列，bn等比数列，设公差d，a∴∴∴∴b(2)(i)E∴abkak与b∴EE3E满足ak≤3n的满足bk≤3n的∴(ii)设Am=∣x所以集合Am中元素的个数为故m=0+=−=−集合Bm中元素的个数利用分层区间法，划分为1,当m∈3k−1,n=n=2=2=2令T3T两式作差得−2Tn综上，m20．己数fx(1)求曲线y=fx(2)证明：当x∈[−13(3)若f1f12f13f14【正确答案】(1)切线方程为：y=1(2)证明见详解(3)1【详解】本题考查导数的几何意义，利用导数证明不等式，数列中累乘法的思想及不等式恒成立问题。(1)fx=efk∴切线方程：y=(2)由fx≥1+x即证ex当x≥0时，x只需证e即ex令gggx在[0,+∞)g即e当13<x令：hh令lUpp∴px在p=lx在−而h′x在h∴∴hx在h∴h即ex综上：fx(3)(3)【解】第一步：讨论α>1当α>13时，设α=13+则n'x=e2+23sin∴hx在(0,1]上单调递减，hx<h第二步：证明ln设ux=lnx当x∈-1,0时，当x∈0,