2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析

第1页/共1页2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析南充市二○二六年初中学业水平考试数学试题（满分150分，时间120分钟）注意事项：1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；2．所有解答内容均须涂、写在答题卡上；3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；4、填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1.计算结果是（）A. B. C.0 D.42.如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（）A. B. C. D.3.已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择()运动员甲乙丙丁方差2.15.24.31.1A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（）A. B. C. D.5.如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（）A. B. C. D.6.如图，为直径，弦于E，，则长为（）A.1 B. C.2 D.7.已知，则的值为（）A. B.0 C.1 D.28.反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（）A. B. C. D.10.已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（）A.或 B.或1 C.或 D.或1二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11.若，则x的值为_______．12.现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______．13.如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______．14.如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______．15.抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______．16.如图，点在正方形内，且，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，交于点．下列结论：①；②的最小值为；③，，三点共线；④当为等腰三角形时，的长为．其中正确结论为_________（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应考出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.先化简，再求值：，其中．18.请在横线上添加下列条件中的一个，①，②，③，使结论成立，并完成证明．【条件】如图，在中，点E，F分别在边，上，_______（选填序号；选择一个正确的即可）【结论】．19.为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．20.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．21.如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标．22.如图，在中，为直径，为切线，点D在上，．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．23.在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．背景某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）素材一若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．素材二现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．素材三每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．根据以上信息，完成下列任务：（1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？（2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？（3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．24.在菱形中，对角线相交于点O，．（1）【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长．（2）【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值．25.已知抛物线．（t为常数）．（1）若抛物线过点，，求t的值．（2）抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值．（3）点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围．2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析1.计算结果是（）A. B. C.0 D.4【答案】C【解析】【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可．【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得．∴．2.如图，要把直河道中的水引到灌溉站P处，规划四条渠道中最短的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将河道视为直线，利用垂线段最短的性质即可求解．【详解】解：由图可知，，∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴最短．3.已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择()运动员甲乙丙丁方差2.15.24.31.1A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定，只需比较四名运动员的方差大小即可得到结论．【详解】∵，∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定．4.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程．【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿，∴竹子总数量为，∵每人分七竿竹子时少五竿，∴竹子总数量也可表示为，∵竹子总数量固定不变，∴可列方程为．5.如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可．【详解】解：如图，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．6.如图，为直径，弦于E，，则长为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：为直径，，，，在中，．7.已知，则的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先从已知等式变形得到与的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果．【详解】解：∵，且，∴等式两边同乘得，整理得，对所求式变形得，将代入得，再将代入上式得，∴的值为．8.反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围．【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得，∵点，在反比例函数图象上，∴，∴，∵，∴，解得．9.中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．10.已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（）A.或 B.或1 C.或 D.或1【答案】A【解析】【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可．【详解】解：设过原点的直线为，，联立直线与抛物线，消去y得：，解得：，∴的横坐标为，代入得：，∴，同理联立直线与抛物线得：的坐标为，∴根据两点间距离公式可得：∵，∴，∴，∵，，∴约去公因式得，整理得，解得：，，经检验：，都是方程的解，∴的值为或．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11.若，则x的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据分式值为零的条件，分式值为零时需满足分子为零且分母不为零，据此计算求解即可．【详解】解：∵，∴，即∴．12.现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______．【答案】【解析】【分析】先确定三种物质中化合物的个数，再列举出抽取2张卡片的所有等可能结果，找出2张均为化合物的结果个数，根据概率公式计算概率即可．【详解】解：根据化合物的定义，可知，，是化合物，是单质，共有2种化合物，1种单质．

将三张卡片，，依次记为A，B，C，随机抽取2张，所有等可能的结果为：，，，共3种．

其中2张卡片对应的物质都是化合物的结果有1种．

根据概率公式得．13.如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此．【详解】解：在中，，由题意可知，是的垂直平分线，∴，，∴，∴，∴，∴．14.如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______．【答案】【解析】【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开，∴；如图，将长方体的前面和上面展开，∴，如图，将长方体的下面和右面展开，∴，∵，∴，∴，∴蚂蚁爬行的最短距离为．15.抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______．【答案】或【解析】2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值．【详解】解：设，，令，得，由根与系数的关系得，，，∵，∴，两边平方得，整理得，因式分解得，解得或．16.如图，点在正方形内，且，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，交于点．下列结论：①；②的最小值为；③，，三点共线；④当为等腰三角形时，的长为．其中正确结论为_________（填写序号）【答案】①③【解析】【分析】对于①，容易证明，则；对于②，由可得，当、、三点共线时，取得最小值；对于③，利用等腰三角形的性质可得，进而得到，因此，，三点共线；对于④，设，容易证明，则，，在中，利用勾股定理构造方程，解得，进而得到．容易证明是等边三角形，在，进而计算出，在中，利用三角函数计算出即可．【详解】解：对于①，∵四边形是正方形，∴，，由旋转的性质可得，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；对于②，如图，连接，在中，，∵，∴当、、三点共线时，取得最小值，故②错误；对于③，如图，连接，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，三点共线，故③正确；对于④，如图，设，∵，又∵为等腰三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，在中，，∴，整理，得，解得（负值舍去），∴，，在中，，∴，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，，故④错误；综上，正确的结论为①③．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应考出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先按照单项式乘以单项式，完全平方公式，平方差公式，计算各部分，再合并同类项，对原式进行化简，最后将代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．18.请在横线上添加下列条件中的一个，①，②，③，使结论成立，并完成证明．【条件】如图，在中，点E，F分别在边，上，_______（选填序号；选择一个正确的即可）【结论】．【答案】条件①和条件③均能使结论成立，选择其一即可；选择条件①：．证明：四边形是平行四边形，，，，，．选择条件③：．证明：四边形是平行四边形，，，，，又，，，在中，，在中，，，，．【解析】【分析】若添加，则可由判定全等，从而对应角相等．若添加仅说明为等腰三角形，无法证明与之间的等量关系．若添加由可得同位角，再由得内错角，从而，结合，由三角形内角和定理即可证得．【详解】选择条件②，现有条件不能证明结论成立．19.为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的m名队员的成绩，分成以下五组A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_______；m名队员比赛成绩的中位数能在_______组（选填组名）．（2）从E组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率．【答案】（1）；C（2）【解析】2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析【分析】（1）用C组人数除以C组占比就可以求出总人数；根据中位数定义，该次比赛共20人，中位数是第位和第位队员的平均成绩，找出该两名的分组位置即可判断出中位数在哪一组；（2）列表统计出所有可能的结果计算即可．【小问1详解】解：，参赛队员人数是20人，所以比赛成绩的中位数是第10位和第11位队员的平均成绩，由直方图可知，成绩排名第10位和第11位队员均在C组，所以m名队员比赛成绩的中位数能在C组．【小问2详解】解：根据题意，列表如下：

甲乙丙丁甲

甲乙甲丙甲丁乙甲乙

乙丙乙丁丙甲丙乙丙

丙丁丁甲丁乙丁丙丁

由上表可知，共有12种可能的结果，其中甲、乙两名队员恰好被选中的结果有2种，所以甲、乙两名队员恰好被选中的概率：．20.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值．【答案】（1）证明：∵原方程为，∴，∴方程有两个不相等的实数根．（2）的值为或【解析】【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值．【小问1详解】略【小问2详解】解：∵方程的两个实数根为，

∴，，

∵，∴，∴，∴，

代入得：，整理得，解得或．21.如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为（2）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式；（2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解．【小问1详解】解：设一次函数解析式为，将、代入，得，解得，∴一次函数解析式为，∵点在一次函数图象上，∴，解得，∵点在反比例函数图象上，∴反比例函数解析式为，即；【小问2详解】解：如图，过点P作轴于点D，∵、，∴，，∵点P在反比例函数第一象限图象上，∴设，，，在和中，，，∴，∴，即，解得或（舍），∴点P的坐标为．22.如图，在中，为直径，为切线，点D在上，．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．【答案】（1）证明：连接，与分别是弧所对的圆心角和圆周角，，又，，在四边形中，，，，为的切线，为直径，，即，，即，又为的半径，是的切线．（2）10【解析】2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析【分析】（1）连接，由同弧所对圆心角是圆周角的倍，得，结合已知，推出，再利用四边形的内角和为，得到，而为切线，，于是，从而为切线．（2）连接，，交于点，作于点，利用余弦的定义求，进而求出和，利用面积法求出，再证明，可得等于直径．【小问1详解】略【小问2详解】解：连接，，交于点，由（1）知、是的两条切线，，且平分，，即，且，作于点，在中，，，，∴，，，，在中，，，又，，，为的直径，，，，，，∵，∴，，，．23.在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息．背景某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋）素材一若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚．素材二现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．素材三每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理．根据以上信息，完成下列任务：（1）【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？（2）【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？（3）【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．【答案】（1）每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚（2）共有种安排加工线的方案（3）安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元【解析】【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可；（2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可；（3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解．【小问1详解】解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得：，解得：；答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚．【小问2详解】解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得：，解得：，∵m为正整数，∴m的取值为，答：共有种安排加工线的方案．【小问3详解】解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得：，由（2）可知：，∵，∴W随m的增大而减小，∴当时，W有最大值，最大值为，此时；答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元．24.在菱形中，对角线相交于点O，．（1）【初步感知】如图1，点P在线段上，若，，求的长．（2）【深入探究】如图2，点P在线段上，若，设长为x，长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）【拓展运用】如图3，点P在线段上，将沿直线折叠，若点D落在边上，求的值．2026年四川省南充市中考数学试卷真题及答案解析【答案】（1）5（2）（3）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，再结合题意得出，即可求解；（2）过点P作于点E，根据菱形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，然后利用勾股定理建立方程整理即可得出y与x之间的函数关系式；（3）设交于点F.将沿直线折叠，使点D落在边上