§1 函数的单调性与极值说课稿2025学年高中数学北师大版2011选修1-1-北师大版2006

§1函数的单调性与极值说课稿2025学年高中数学北师大版2011选修1-1-北师大版2006设计意图本章节内容为高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》，旨在帮助学生理解函数单调性和极值的概念，掌握判断函数单调性和求函数极值的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生能够更好地理解函数的性质，为后续学习函数图像和极限打下基础。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过分析函数单调性与极值，提高学生运用数学语言描述现实问题的能力；通过探究函数性质，强化学生的逻辑推理能力；通过实际问题建模，增强学生解决实际问题的意识。教学难点与重点1.教学重点：

-函数单调性的定义和判定：重点理解单调递增和单调递减的概念，掌握利用导数判定函数单调性的方法。

-极值点的求法：掌握通过导数为零的点来确定极值点的方法，以及如何判断极值的类型（极大值或极小值）。

-函数单调性与极值的应用：学会如何运用单调性和极值分析函数图像的变化趋势，解决实际问题。

2.教学难点：

-理解导数与函数单调性的关系：学生可能难以理解导数从正变负或从负变正与函数单调递增或递减之间的对应关系。

-极值点判断的准确性：学生在判断极值点时，可能会混淆驻点与极值点的概念，导致误判。

-应用题中的建模与求解：将实际问题转化为数学模型，并运用单调性与极值的知识解决问题，对学生的数学建模能力和应用能力提出了较高要求。教学资源准备1.教材：确保每位学生人手一册《高中数学北师大版2011选修1-1》。

2.辅助材料：准备函数图像的动态演示视频、单调性与极值的相关图表以及实例分析案例。

3.教学工具：准备计算器或电子表格软件，以辅助学生进行函数单调性和极值的计算。

4.教室布置：设置小组讨论区，方便学生进行合作学习，并在黑板上预留足够空间展示解题过程。教学流程1.导入新课

-教师展示一系列函数图像，引导学生观察并描述图像的增减变化趋势。

-提问：如何用数学语言描述函数图像的这种变化？

-引入函数单调性的概念，并简要回顾导数的基本概念。

-用时：5分钟

2.新课讲授

-教学重点一：函数单调性的定义与判定

-详细内容：讲解单调递增和单调递减的定义，通过实例展示如何判断函数的单调性。

-举例：展示函数\(f(x)=x^2\)和\(f(x)=-x^2\)的图像，引导学生分析并得出结论。

-用时：10分钟

-教学重点二：极值点的求法

-详细内容：讲解如何通过导数为零的点来确定极值点，以及如何判断极值的类型。

-举例：展示函数\(f(x)=x^3-3x\)的图像，通过求导数和判断导数符号变化来确定极值点。

-用时：10分钟

-教学重点三：函数单调性与极值的应用

-详细内容：通过实例分析，展示如何运用单调性和极值分析函数图像的变化趋势，解决实际问题。

-举例：分析函数\(f(x)=(x-1)^2+1\)的图像，讨论其在实际应用中的意义。

-用时：10分钟

3.实践活动

-活动一：学生独立完成教材中的例题，巩固单调性和极值点的判定方法。

-活动二：小组合作，分析给定函数的单调性和极值，并绘制函数图像。

-活动三：学生展示自己的分析结果，教师进行点评和总结。

-用时：15分钟

4.学生小组讨论

-方面一：函数单调性与极值的关系

-举例回答：讨论\(f(x)=x^3\)和\(f(x)=-x^3\)的单调性和极值点，分析导数符号变化对函数性质的影响。

-方面二：单调性与实际应用

-举例回答：讨论函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)的单调性，并联系实际生活中的速度变化问题。

-方面三：极值点判断技巧

-举例回答：讨论如何避免在判断极值点时混淆驻点与极值点的概念，给出具体实例进行分析。

-用时：10分钟

5.总结回顾

-内容：回顾本节课学习的函数单调性和极值的相关概念、判定方法和应用技巧。

-举例：通过复习例题，总结函数单调性和极值点判断的步骤，强调导数在分析函数性质中的作用。

-用时：5分钟

总用时：45分钟教师随笔Xx教学资源拓展1.拓展资源：

-函数图像的绘制与应用：介绍如何利用计算机软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制函数图像，并分析图像特征，如拐点、渐近线等。

-数学建模实例：提供一些实际的数学建模案例，如经济学中的供需关系模型、物理学中的运动学模型等，展示如何运用函数的单调性和极值解决实际问题。

-数学竞赛题目：收集一些与函数单调性和极值相关的数学竞赛题目，通过解决这些题目，提高学生的数学思维能力和解题技巧。

-数学史上的贡献：介绍历史上对函数单调性和极值研究有重要贡献的数学家，如牛顿、莱布尼茨等，以及他们的研究方法。

2.拓展建议：

-学生可以通过在线课程或视频教程学习函数图像的绘制方法，加深对函数性质的理解。

-鼓励学生参与数学建模竞赛或项目，将所学知识应用于解决实际问题，提高应用能力。

-建议学生阅读相关的数学竞赛书籍或资料，通过解决高难度的数学问题，挑战自己的极限。

-建议学生阅读数学史书籍，了解数学家们的研究过程和方法，激发学生对数学的兴趣和探索精神。

具体拓展内容如下：

-函数图像的绘制与应用：

-利用Mathematica绘制函数\(f(x)=e^x\)和\(f(x)=\lnx\)的图像，观察图像的变化趋势，分析函数的增减性。

-利用MATLAB绘制函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)的图像，寻找函数的拐点，分析函数的凹凸性。

-数学建模实例：

-分析经济学中的供需关系模型，利用函数的单调性和极值分析市场均衡点的变化。

-研究物理学中的运动学模型，利用函数的单调性和极值分析物体的运动轨迹。

-数学竞赛题目：

-解决一道与函数单调性和极值相关的数学竞赛题目，如“给定函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，求函数的极值点和拐点”。

-参与数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克竞赛（IMO），挑战自我。

-数学史上的贡献：

-了解牛顿在微积分领域的贡献，特别是他对函数单调性和极值的研究。

-学习莱布尼茨的研究方法，了解他如何利用导数分析函数的性质。教师随笔重点题型整理1.题型一：判断函数的单调性

-题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)，判断函数的单调性。

-解答：求导数\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。分析导数的符号变化，当\(x<\frac{2}{3}\)或\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减。

2.题型二：求函数的极值点

-题目：已知函数\(f(x)=x^2-4x+3\)，求函数的极值点。

-解答：求导数\(f'(x)=2x-4\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=2\)。由于\(f''(x)=2>0\)，所以\(x=2\)是极小值点，极小值为\(f(2)=-1\)。

3.题型三：分析函数图像的变化趋势

-题目：已知函数\(f(x)=(x-1)^2-3\)，分析函数图像的增减性和凹凸性。

-解答：函数的导数\(f'(x)=2(x-1)\)，导数为零的点为\(x=1\)。当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。函数的二阶导数\(f''(x)=2\)，所以函数在整个定义域内是凹的。

4.题型四：函数在实际问题中的应用

-题目：某工厂生产一种产品，其成本函数为\(C(x)=2x^2+100x+500\)，其中\(x\)为生产数量。求工厂生产1000个产品时的平均成本。

-解答：平均成本函数为\(A(x)=\frac{C(x)}{x}=2x+100+\frac{500}{x}\)。求导数\(A'(x)=2-\frac{500}{x^2}\)，令\(A'(x)=0\)解得\(x=10\)。因此，生产1000个产品时的平均成本为\(A(1000)=2\times1000+100+\frac{500}{1000}=210+0.5=210.5\)。

5.题型五：函数单调性与极值在实际生活中的应用

-题目：某城市进行道路改造，道路长度为\(x\)公里，道路改造成本函数为\(C(x)=0.1x^3-0.3x^2+2x\)。求最小的平均成本。

-解答：平均成本函数为\(A(x)=\frac{C(x)}{x}=0.1x^2-0.3x+2\)。求导数\(A'(x)=0.2x-0.3\)，令\(A'(x)=0\)解得\(x=1.5\)。因此，道路长度为1.5公里时，平均成本最小。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了函数的单调性与极值，重点掌握了判断函数单调性和求函数极值的方法。通过实例分析，我们了解到导数在判断函数性质中的重要作用，以及如何运用单调性和极值分析函数图像的变化趋势。以下是对本节课内容的简要总结：

1.函数的单调性可以通过导数的符号变化来判断，当导数恒正时，函数单调递增；当导数恒负时，函数单调递减。

2.极值点是导数为零的点，可以通过判断导数符号的变化来确定极值的类型，极大值和极小值。

3.函数的单调性和极值在实际问题中有着广泛的应用，如成本分析、优化问题等。

当堂检测：

1.已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，判断函数的单调性，并求出函数的极值点。

2.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，分析函数的单调性和极值。

3.某商品的成本函数为\(C(x)=0.5x^2+10x+100\)，求该商品的平均成本函数，并求出最小平均成本。

4.分析函数\(f(x)=-x^4+4x^3-6x^2\)的单调性和极值，并绘制函数图像。

5.一个工厂的生产函数为\(F(x)=10x^2-20x+100\)，其中\(x\)为生产量。求工厂生产100个单位时的平均成本，并分析生产量的增加对平均成本的影响。板书设计①函数的单调性

-定义：函数在某一区间内，若对于任意\(x_1,x_2\in(a,b)\)，当\(x_1<x_2\)时，总有\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），则称函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

-判定：利用导数\(f'(x)\)的符号变化来判断函数的单调性。

-应用：分析函数图像的增减变化趋势。

②函数的极值

-极值点：导数为零的点，记为\(x_0\)。

-极大值/极小值：在\(x_0\)处，若\(f'(x)\)从正变负，则\(f(x_0)\)为极大值；若\(f'(x)\)从负变正，则\(f(x_0)\)为极小值。

-判别：通过二阶导数\(f''(x)\)或导数符号变化来判断极值的类型。

③函数的单调性与极值的应用

-图像分析：利用单调性和极值分析函数图像的凹凸性和拐点。

-实际问题：解决实际问题，如成本分析、优化问题等，运用函数的单调性和极值进行求解。教学反思与改进这节课下来，我觉得收获还是蛮大的，但也发现了一些可以改进的地方。首先，我觉得在导入新课的时候，可以更生动一些，比如通过一些实际的物理现象或者生活实例来引入函数的单调性和极值的概念，这样可能更能激发学生的兴趣。

然后，在讲授新课的过程中，我发现有些学生对于导数的理解还不够深入，所以在讲解导数与函数单调性的