中科大机械工程力学教案01静力分析基础

静力学静力分析是研究构件在平衡状态下的受力“构件”：机器上的零件与部件零件是组成机器的最小单位，例齿轮、轴部件是几个零件装配成的组合体，例如齿轮与轴组成轮轴部件“构件的平衡状态”：物理学过，物体静止或匀速直线运动，就是物体处于平衡状态轮轴部件，静止或匀速转动也是处于平衡状态分析受力，包括外力和内力。什么是外力，什么是内力，这很容易，以后遇到再讲，这样节省时间静力分析基础§1-1力的投影投影用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长短来说明投影的概念杆长l，光线水平，杆墙平行,投影长为l；垂直,影长0；杆和墙夹角α,投影长度等于l·cosα即：杆在墙上投影的长度由杆的两端向墙壁引垂线，两垂足之间的距离就是投影的长度一、力在直角坐标轴上的投影力是矢量，大小用数值表示（F1=1牛顿、F2=1牛顿），方向用力作用线和某基准线的夹角α表示直角坐标轴？一般x轴水平向右为正向，y轴铅直向上为正向，两轴垂直，称为直角坐标轴力在直角坐标轴上的投影，就象铅直光线作用下,杆件在地面的投影，在水平光线下,杆在墙壁的投影若力的大小为F，方向和x轴的夹角为α，现要求该力在x轴的投影即力F矢量的起点a向x轴引垂线,交x轴得垂足a1点；力矢量端点b向x轴引垂线,得垂足b1点力F在x轴的投影Fx=a1b1=·cosα（Fx字母F和下标x表示力F在x轴的投影）同理，要求该力在y轴的投影即力F矢量的起点a向y轴引垂线,交y轴得垂足a2点；力矢量端点b向y轴引垂线,得垂足b2点力F在y轴的投影Fy=a2b2=·sinα（Fy字母F和下标y表示力F在y轴的投影）投影正负规定：从力矢量起点投影足a2到端点投影足b2方向和坐标轴同向，投影值为正，反之，从力矢量起点投影足a1到端点投影足b1方向和坐标轴反向，投影值为负所以，上述力F在x、y轴的投影Fx=-·cosα（1-1）Fy=+·sinα若已知力和x轴的夹角为α，则Fx=±·cosα；Fy=±·sinα，不能死记硬背，不要画垂线sinα？cosα？已知和某轴夹角α，在该轴投影×cosα，在另一轴投影×sinα(若与y轴夹角b,投影？)物理方法对了不算对，因为我要检查力学方法学得如何，不检查物理方法学得如何解：根据合力投影定理FRx=F1x+F2x+F3x=-450+0+300×cos60=-300NFRy=F1y+F2y+F3y=0-140-300×sin60=-400N根据力的投影与该力的关系因为合力在两个坐标轴上的投影FRx、FRy都是负值说明合力平行于两坐标轴方向的分力与坐标轴反向所以，合力FR的方向如图所示，即与x轴夹角53.1，指向左下方小结：①中间计算数据什么是顺逆时针？因逆时针使用实物），有销钉，在杆件上作用一个力就能使杆件转动如果没有销钉，一个力，杆件就不能绕圆孔转动，作用两个等值、反向、平行的力，也能使杆转动力矩和力偶都能使物体转动，但有区别：①力矩转动须有支点,力偶转动的支点可有可无②力矩转动的支点受力,力偶转动的支点不受力力偶实例:汽车司机左右手作用在方向盘上的两个力组成一个力偶电机通过联轴器带动机器时，联轴器凸缘四个螺栓孔的受力组成两个力偶在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、转动螺丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。四、力偶的性质P11性质1．力偶在其作用面上任一轴的投影恒等于零组成力偶的两个力作用线所在的平面称为力偶作用面力偶F和‘两力等值、反向、平行，两力与某一轴夹角a相同，在该轴投影绝对值相等因两力方向相反，在一轴投影正负号相反。所以，两个力在其作用面上任一轴投影的代数和等于零Ｆ和Ｆ‘等值、反向、平行MＡ(Ｆ)+MＡ(Ｆ‘)=-Ｆa-Ｆ‘b=-Ｆ(a+b)=-ＦdＦ和Ｆ‘力偶MB(Ｆ)+MＡ(Ｆ‘)=-Ｆ(a+b+c)+Ｆ‘c=-Ｆ(a+b)=-Ｆd力偶臂d力偶矩正负规定：逆时针为正顺时针为负力偶单位：N.m

性质2．力偶对其作用面上任一点的力矩恒等于其力偶矩P11例，力偶的两力F和‘，两力作用线之间的距离为d计算两力对两力中间的A点的力矩，设A点到两力作用线的垂直距离为a和b，有a+b=dMA(F)+MA(F‘)=-Fa-F‘b=-F(a+b)=-Fd“-”号表示顺时针转向再计算两力对两力之外的B点的力矩，设B点到‘力作用线的垂直距离为cMB(F)+MB(F‘)=-F(a+b+c)+F‘c=-F(a+b)=-Fd“-”号,说明也是顺时针转向如果再计算这两力对C、D、……各点力矩代数和都是顺时针，力矩的代数和都是-Fd再如P11图1-15十字形板手MC(F)+MC(F‘)=+Fd，曲杆板手MD(F)+MD(F‘)=+Fd这说明,力偶两力对作用面任点力矩代数和等于其中一力Ｆ和两力作用线间垂直距离乘积，和矩心位置无关组成力偶的两个力作用线之间的垂直距离，称为力偶臂，用符号表示力偶的一个力和力偶臂的乘积，称为力偶矩，用符号M表示，即M=±Fd（所以性质2“…力偶矩”）因力矩和矩心位置无关,不用写下标;因不同力和不同力偶臂乘积的力偶矩可能相同,不用(什么力)正号或负号“±”规定和力矩规定相同：逆时针转向的力偶矩为正值，顺时针转向的力偶矩为负值力偶矩和力矩的单位相同，法定计量单位为牛顿·米（N·m）力偶的图示方法：所以电机联轴器上的力偶表示为力偶三要素:P12力偶矩大小、力偶的转向、力偶作用面三要素不同，作用效果不同但作用面平行移动的力偶，作用效果不变MC(Ｆ)+MC(‘)MD(Ｆ)+MD(‘)Ｆ和Ｆ‘等值、反向、平行=Ｆd/2+‘d/2=-Ｆl+‘(l+d)Ｆ和‘力偶=+Ｆ(d/2+d/2)=Ｆ(-l+l+d)=+Ｆd=+Ｆd力偶臂d力偶矩正负规定：逆时针为正顺时针为负力偶单位：N.m

P12例1-4已知:M1=20m，M2=40m，M3=30m求：SFx、SFy、SMA解：SFx=0，SFy=0SMA=-M1+M2+M3=-20+40-30=-10m小结:①力偶对某一点的力矩就是其力偶矩，无论该力偶距离矩心的位置有多远，都不能将力偶矩乘以力臂②虽然图中各力偶的转向不同，但在已知数据中，力偶矩数据一概正号,代数和计算过程才有正负号③计算结“-号，说明合力矩顺时针方向转动————————————————————————————————————————————五、力的平行移动P12如图所示的轮轴，啮合力Fn作用在齿轮上的A点在分析轴的承载能力时，往往需要将力Fn平行移动到圆轴上，使力作用线通过圆轴中心点O（图b）显然，移动到圆轴中心点的力对转轴没有力矩，与原力的作用效果不同为了使力平行移动后与原力的作用效果相同，必须附加一个力偶M其作用面在O点和原力作用线组成的平面内，或在与该平面平行的平面内（图c）附加力偶的力偶矩等于原力对平移点O的力矩，即M=MO（Fn）=Fnd无论原力是什么方向，无论平移的距离有多远，附加力偶的力偶矩都等于原力对平移点O的力矩所以，力的平移定理：作用在刚体上的力，可以平行移动到刚体上任一点，但必须附加一个力偶其力偶矩等于原力对平移点的力矩P12

§1-3重心与形心一、重心与形心的概念任何物体可以看作由许多微小块粒组成，每一小块粒都受到地球的引力，称为重力这些重力作用线汇交于地球中心，可以将汇交点视为在无穷远，这些引力视为空间平行力系这些空间平行力系合力的数值大小就是该物体的重量，合力作用点就是该物体的重心画图示矩形物体的受力图时，重力W，桌面支承力Fn，其中重力W的作用点位置就是物体的重心画图示槽形物体的受力图时，就不知道重心在哪里，就要计算重心的位置即使是矩形物体，如果它由不同材料组成，例左半铁右半木，也不知重心位置在哪里，也要计算重心同一种材料组成的物体,称“均质物体,重心一定在其几何中心点,称为物体的形状中心,简称为形心有的物体具有对称面（人体），有的物体具有对称轴线（等腰三角形），有的物体具有对称中心点（球）一、重心与形心的概念均质物体重心=形心具有对称要素的均质物体，重心一定在对称要素上，例矩形平行四边形三角形圆轮球的对称轴或心

二、物体重心位置的坐标公式具有对称要素的物体，不必计算就可以确定其重心位置，如矩形？平行四边形？三角形？圆轮？球？形状不规则的物体，或由不同材料组成的物体，要用计算或实验测定的方法，确定其重心的位置实验测定重心的方法在第二章讲，这是只讲计算重心的方法为了描述物体重心空间位置，建立空间直角坐标系Ｏxyz？三坐标轴相互垂直，Ｏxy平面是水平面设：物体的总重量为W、其重心Ｃ点的位置坐标为xC，yC，zC假想将物体分割成n个微小部分，每一部分重力为W1、W2…Wn，任一Wi位置坐标为xi，yi，zi则,作用在重心的重力W就是各微小部分重力Wi的合力，即W=W1+W2+…=ΣWi(符号Σ意义用法)为计算重力对x轴的力矩，将各力投影到与x轴垂直的Ｏyz平面上，计算合力和分力对Ｏ点的力矩根据合力矩定理，合力对Ｏ点的力矩等于各分力对Ｏ点的力矩的代数和，有同理，通过计算重力对y轴的力矩可以求得把物体连同坐标系绕y轴（或x轴）旋转90°，使重力和z轴垂直，也可以求得得到物体重心位置的坐标公式P14（1-6）其中：一、重心与形心的概念二、物体重心位置的坐标公式W=W1+W2+…=ΣWi

三、平面图形的形心坐标公式图示长度为l的一段角钢，重心一定位于距端部为的中间剖面上要确定这样物体的重心位置，只需要计算剖面图形形心位置的两个坐标，即平面图形的形心坐标对于杆状、柱状和平板状的零件，重心位置都有这样的的特点，只要计算剖面图形的形心位置图示等厚度均质物体，假设厚度为，材料的比重为建立直角坐标系的x轴y轴组成的平面与物体上下底与平行，显然，重心形心均在其厚度一半/2处只要在Ｏxy坐标平面上确定平面图形的形心位置（右图）假想将总面积为A分成n部分，任一部分面积为Ai，总面积A=A1+A2+…=ΣAi小块重量Wi＝Ai，总重量W＝A。代入重心的计算公式所以，平面图形形心的坐标公式是P15（1-7）一、重心与形心的概念等到厚度的均质物体二、物体重心位置的坐标公式厚度为、比重为三、平面图形的形心坐标公式Ａ=Ａ1+Ａ2+…=ΣＡIi小块重量Ｗi＝ＡI，重量Ｗ＝Ａ

P15例1-5确定图示槽形剖面的形心位置题目：这是槽钢（画右图所示一段槽钢）的剖面图形，左右对称，形心位置一定在其对称轴线上如果坐标原点在左下角,形心的横坐标为xC＝50mm，现建立中图所示直角坐标系Ｏxy，显然xC＝0不要计算只要xC＝？，只要计算yC＝？解一将平面图形假想分割成中图所示的三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为：解二将图形分割成另外三个矩形，每个矩形的面积Ai和形心坐标yi为？yC计算结果一定相同解三将图形视为由面积A1＝50×100矩形切除A2＝40×80后剩余的图形。两矩形Ai和yi分别为：Ａ1＝50×100＝5000mm2，y1＝25mmＡ2＝-40×80＝-3200mm2，y2＝30mm；注意：①使用公式计算形心时，切除的面积为应为负值，形心坐标也可能是负值，例左矩形x1=-45mm90)，另一坐标一定不算③计算式子中间不要写单位，最后要写。今后题目示图，凡没有单位的尺寸一律为毫米，考试不要问P16例1-6已知：起重机机架重量W1＝500kN最大吊重W2＝250kN求：平衡配W3＝？题目：塔式起重机机架重W1＝500kN不包括起重载W2和配W3形状Ｔ形,空架重心在两轮之外空架W1重心在两轮之外会倾倒，右边吊起重载荷W2更会倾倒，为了平衡不倾倒，要加平衡配重W3配重W3既不能太小又不能太大，太小仍右倾倒，太大左倾倒。求：平衡配重W3=？大小,在以左轨Ａ为坐标原点建立的Ｏxy坐标系中满载时，整体重心最右，应保证重心坐标xC≤3m；空载时，重心最左，应保证重心坐标xC≥0解各部分的重量Ｗi及其重心坐标xi数据机架：W1＝500kN，x1＝3＋1.5＝4.5m吊重:W2＝250kN，x2＝3＋10＝13m配重：W3未知，x3＝-6m满载时,上述三部分重量都存在。重心位置不得超出轨道Ｂ以右，整体重心坐标xC≤3m解得W3≥361kN空载时，没有吊重W2，只有机架W1和配重W3，两部分合力的重心不得超出轨道Ａ以左，即xC≥0解得W3≤375kN所以，配重W3的数值应为361kN≤W3≤375kN例W3=370kN

§1-4约束与约束力讲述“约束与约束力”的目的，是为了画机械构件的受力图物理课程画过受力图，例,平面上物体的受力图？斜面上物体的受力图？三绳挂物体,结点的受力图？机械中的一个构件与周围其他构件联接关系是多种多样的，平面，曲面，孔、槽……怎样画受力图？为什么要画物体的受力图？因为力是矢量，不是代数量像尺寸面积温度质量等物理量是标量，同一类型的几个标量间可用加减乘除方法进行代数运算力是矢量，不同方向，不同作用点的几个力不能简单代数运算，必须画受力图才能对矢量进行运算传力sinα？cosα？已知和某轴夹角α”的说明：计算力的投影时，有不少学生就是搞不清楚到底要将力乘以sinα还是cosα。为此，上课时交待：已知和某轴夹角α，在该轴投影×cosα，在另一轴投影×sinα。例，F力与y轴的夹角为b则，Fy=F×cosbFx=F×sinb物理方法对了不算对”的说明：刚开始学力学的学生，往往使用在物理课程学过的平行四边形合成的方法解题。如果任其这样不给予纠正，他们就掌握不了力的投影方法，这将给第二章平面力系的学习带来很大的困难。所以，在刚开始学习力学的时候，就要给学生强调：虽然物理学过的平行四边形合成方法也可以解题，但如今学习力学课程，不是检查物理学过的方法，要检查有没有掌握力学的解题方法。所以，即使使用物理平行四边形合成方法解题正确，仍视为还没有掌握力学的解题方法。什么是顺逆时针？”的说明：有一部分学生日常生活很少用到“顺时针、逆时针”的字句，不懂其意思，要略加解释。画出时钟，说明时针自6→7→8→9→…走动为顺时针，9→8→7→6→…走动为逆时针。如果齿形是直线形状的”的说明：因为学生还没有学过机械原理的课程，不懂得“压力角”的概念。先画右图直线齿形的齿轮，其力矩=啮合力×半径。但这样的齿轮传动不平稳。为了传动平稳，齿形是曲线形状，啮合F和啮合点所在的圆周切线的夹角称为压力角a使用实物”的说明：图e这里的“使用实物”，是图e所示铰链支座的教具实物。符号Σ意义用法”的说明：许多学生没有见过“Σ”字母。在此要解释其读音、写法及所表示的意思。另一坐标一定不算”的说明：如右图所示有对称性的图形，学生往往也要计算、传力”的说明:在讲述每一类型约束的约束力画法时，还要接着讲述被约束物体与约束本身之间的作用力与反作用力的画法，这样就同时讲清楚了机械中装配在一起的两个构件的受力图画法。因为一个受力构件，通过接触位置的作用反作用关系，引起其他构件也受力，就是力的传递，所以称为“传力”。这一节教材受篇幅限制，只讲述被约束物体约束力的画法，没有讲述约束物体本身的受力问题。只有在受力图一节，通过几个有限的实例，讲述两物体之间的作用力与反作用力，这样做不够。在讲述每一种类型的约束时，必须紧接着讲述两物体间的作用力与反作用力的画法，再在受力图一节，通过几个实例讲述这个问题，使之得到巩固。\l"传力:重物"返回原文原页面

关于“\l"关于重物与天花板之间的作用力与反作用力"根据作用与反作用定律二力平衡条件”的说明:关于重物与天花板之间的作用力与反作用力，教案中的这一行文字为：“传力：重物FA→FＴA→FB→FＴB\l"关于重物与天花板之间的作用力与反作用力"根据作用与反作用定律二力平衡条件有FＴ→FＴ”讲述柔索约束力时，已经画图a的重物受力FA和天花板受力FＴB，以及图b的绳索两端受力FＴA和FB。讲述传力关系时，按照下列步骤解释重物与天花板之间的作用力与反作用力关系：根据作用反作用定律，重物与绳子下端之间、绳索上端与天花板之间的两对受力有图a图b图cFA=FＴAFB=FＴB根据二力平衡条件，绳索两端受力有FＴA=FB所以这四个力的大小都相等FA=FＴA=FB=FＴB再回到图a考虑重物受力FA与天花板受力FＴB，这两个力的大小相等，方向相反，作用在同一条直线，分别作用在重物和天花板两个物体上，这样的受力关系和作用力与反作用力的关系很相似。所以，尽管图a中的FA和FＴB两个力并不是作用力与反作用力，今后，如果只要求画重物和天花板的受力图，没有要求画绳索的受力图，FA和FＴB可以认为是一对作用力与反作用力，省略下标A和B，重物受力为F天花板受力为FＴ，可以画图c所示的受力图。\l"根据作用与反作用定律"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“\l"轮子与皮带之间的作用力与反作用力"根据作用与反作用定律二力平衡条件”的说明:图a图b带轮传动过程中，轮子与皮带之间的作用力与反作用力，如图a所示两轮和下段皮带之间力F2与力F2，力F3与力F3的作用与反作用关系，变成图b所示两轮之间的力F2与力F2的作用与反作用关系，力F1与力F1也是如此。其道理和本文前一页“关于重物与天花板之间的作用力与反作用力”的解释完全相同。\l"根据作用与反作用定律"返回原文原页面————————————————————————————————————————————关于“\l"没有滑动趋势亦"没有滑动趋势亦”的说明：教案中的这一行文字为：“光滑不仅是摩擦力小，即使很粗糙，没有滑动趋势亦”要解释以下两种情况都可以视为光滑面约束：1．接触面很光滑，在两物体有相对滑动时，摩擦力很小，可以略去不计。2．接触面很粗糙，但两物体没有相对滑动趋势，不存在滑动摩擦力。例如，讲台与地板的接触面都很粗糙，但没有人推、拉讲台，地板对讲台可以视为光滑面约束。\l"没有滑动趋势亦"返回原文原页面————————————————————————————————————————————关于“\l"要给学生解释什么是公法线。"只有公法线（?）”的说明：要给学生解释什么是公法线。学生往往懂得公切线，但公法线用得较少，不一定记得。为了不给他们留下疑点而影响继续听课，要解释公法线的概念。先解释什么是接触面的公切线，再解释通过接触点与公切线垂直的直线称为公法线。\l"只有公法线"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“\l"斜线实质是法线"斜线实质是法线”的说明：意思是：虽然齿轮啮合力作用线是倾斜的，但实质是齿面的法线方向。要先画一对啮合轮齿的齿廓形状，说明接触点公切线和公法线的位置。再画只用分度圆表示的齿轮，啮合力与圆周切线夹角为压力角，是锐角，但实质上，啮合力仍然是齿面的法线方向。\l"斜线实质是法线"返回原文原页面————————————————————————————————————————————关于“\l"固定铰链（支座）约束"支座”的说明：标题为“固定铰链（支座）约束”，这里“支座”带括号，因为铰链结构有的有支座，有的没有支座。\l"门、窗活页就是铰链"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“\l"铰链支座的教具"出示教具”的说明讲述铰链约束时，最好要有铰链支座的教具。如果没有，可以自己动手做下图所示的教具。剪切计算也需要这样的模型。材料为木材。图中尺寸均为参考数据，其余尺寸可酌情确定。每个耳片下端面先涂胶水(例302胶)，再用木螺钉与底座联接。其中杆件圆孔的一端与支座联接，两者不能相对移动，是固定铰链支座约束。如果将开槽的一端与支座联接，两者可以相对移动，可视为活动铰链支座的一种形式。\l"出示教具"返回原文原页面\l"出示教具"返回原文原页面

关于“\l"解释固定铰链约束力的表示方法"①”的说明：解释固定铰链约束力的表示方法为了不遗漏需要解释的三方面内容，特写①、②、③三个小标题号。并不需要在黑板上写出①、②、③，更不需要学生死记硬背这三个问题。\l"为什么通过铰链中心？"返回原文原页面————————————————————————————————————————————关于“\l"钉孔间隙小，接触点未知"若++若+-…”的说明：教案中的这一行文字为：“钉孔间隙小，接触点未知，力方向未知。两分力，后面计算其数值和±号，若++若+-…”这里的“±”表示两分力正负号，“++、+-…”表示两分力都是正值、一正值一负值……。讲课时，应按照下面方法，一边画图，一边解释：先画图a所示销钉比圆孔小的铰链结构，能够看到两者接触点的位置，就能确定约束力的图示方向。然而，实际铰链结构钉孔间隙非常小，看不到两者的接触点，不能确定约束力的方向。再画图b所示互相垂直的两个分力。因为在第二章之后的章节，将要计算这两个分力的数值大小和符号正负。如果两者均为正数，且数值Fx>Fy，其合力如图c所示；如果Fy为负值，说明实际方向与图b所画的相反，其合力如图d所示；如果两者均为负值，说明约束力指向第三象限……。这样，学生才能理解：互相垂直的两个分力，可以表示通过铰链中心任何方向的约束力。图a图b图c图d讲课时，不必分别画四个图，只需先画a图，解释相关问题时，再擦除钉孔约束力，先后改画成b、c、d其他各图。\l"若++若+-"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“\l"圆规，没有支座"圆规，没有支座”的说明：图b图a图c常用图a所示的圆规在黑板画圆轮或圆球，以该教具为例说明没有支座的铰链约束的如下几个问题：①用销钉、圆孔联接两杆件组成的结构，可以相对转动，不能移动，也是铰链。②这种结构常画成图b或图c所示的简图。③虽然这样的铰链没有支座，每一圆孔处的约束力也要画互相垂直的两个分力。\l"圆规，没有支座"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“\l"传力：支座"传力：”的说明：教案中的这一行文字为：“\l"传力：支座"传力：支座FN1→FN1→FN2→FN2，FN→FN两分力FxFy→FxFy中间铰链FAxFAy→FAxFAy”讲课时，先画图a所示的杆端受力FN1，销钉受力和FN2，支座受力。图a图b图c根据作用反作用定律有FN1=FN1FN2=FN2根据销钉受力的二力平衡条件有=FN2所以这四个力的大小都相等FN1=FN1=FN2=FN2考虑杆端受力FN1和支座受FN2，这两个力大小相等，方向相反，在同一条直线，分别作用在两个物体上，可以视为一对作用力与反作用力，只要画FN和N，如图b所示。杆端约束力画两个分力FxFy，支座上画图c所示的，可以视为两对作用力与反作用力。用销钉、圆孔联接的两杆件，如果两个分力FAxFAy与一个杆件轴线重合或垂直，另一杆件的两个分力要画相反的方向，与其轴线可能既不垂直，又不重合，如图d、e所示。图d图e\l"传力：支座"返回原文原页面————————————————————————————————————————————

关于“B\l"B点多个力合成一力"点多个力合成一力”的说明：图a图b图c图e图d讲课时，先画图b所示的三角架，结点B受主动力FP，学生不能理解为什么AB、BC都是二力杆件。为了不给他们留有疑问而影响继续听课，要作如下解释：先假定主动力FP作用在水平杆BC上（图c）。斜杆AB上没有主动力