中科大机械工程力学教案02平衡方程及其应用

第二章平衡方程及其应用§2-1平面力系的平衡方程及其应用平面力系力作用线在同一平面的力系如左图所示的悬臂吊车，作用于横梁AB上的外力作用线都在同一平面内中图的飞机,外力虽然不在同一平面,但左右对称,可将外力合成到对称面,在该平面进行受力分析计算为了研究在平面力系作用下构件的平衡问题，在外力作用线的平面内，任选择一点A作为简化中心将n个外力都平移到简化中心上，可得到汇交于点A的平面力系F1、F2、…、Fn和同一个作用面的附加力偶系M1、M2、…、Mn构件平衡，汇交A点的平面力系合力为零，根据式（1-3）（a）根据§1-2力的平移定理，上述每一附加力偶矩Mi等于“原力对平移点的力矩”，即Mi=M（Fi）而且构件平衡时，n个附加力偶矩的代数和也等于零（省略证明过程），即ΣMi=ΣM（Fi）=0（b）根据式（a）和（b），可得平面力系的平衡方程为P32（2-1）即，各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任一点力矩的代数和也等于零简化中心A是任意选择，用该式计算平面力系作用构件平衡问题，计算力矩的矩心是平面上任意一点A点，简化中心构件平衡（a）ΣMi=ΣM（Fi）=0（b）（2-1）

P32例2-1已知：W=70kN，a=30°求：FCD、FA解一：选择横梁AB为研究对象（因为有已知力和未知力共同作用的物体）画受力图（B点已知力W，A点固定铰链两个分力，C点二力杆件钉孔连线）ΣM（Fi=0FCx×0.15+FCy×1.14-W×(1.14+0.36)=0（注意使用合力矩定理列力矩平衡方程）FCcos30×0.15+FCsin30×1.14-70×1.5=0FC=150kNΣFx=0FAx-FCcos30=0FAx=FCcos30=150×0.866=130kNΣFy=0FAy+FCsin30-W=0FAy=W-FCsin30=70-150×0.5=-5kN计算结果的说明：①FC=150kNAB‘‘DFC’=FC=150kN②FAy=-5kN中的“－号表示该力实际方向和画受力图假设方向相反（提问：实际应为什么方向）③凡是固定铰链求得的两个分力不必合成，例，只要FAx=130kN，FAy=-5kN，不必合成FA解题三个步骤：①选择研究对象，有已知力和未知力共同作用的物体②画受力图，要画出全部的主动力和约束力，特别要根据约束类型画约束力③列平衡方程，一般先列力矩方程矩心选择在几个未知力的交点上，可得一个未知数的平衡方程注意使用合力矩定理列力矩平衡方程解题要求：每一个力的投影方程前面要写ΣFx=0或ΣFy=0。用下标x、y表明该方程的投影轴每一个力矩平衡方程前面要写ΣMA=0，用下标A、B、C表明该方程的矩心位置力矩平衡方程前面只要ΣMA=0，不一定要ΣM（Fi=0，即可以没有（Fi）解二：分别以A、D、‘点为矩心，列力矩平衡方程求解未知力ΣMA=0FCx×0.15+FCy×1.14-W×(1.14+0.36)=0(只有FC未知数)FC=150kNΣMD=0FAx×(0.15+1.14×tg30)-W×(1.14+0.36)=0(只有FAx未知数)FAx=130kNΣMC=0-FAy×1.14+FAx×0.15-W×0.36=0(只有FAy未知数)FAy=-5kN小结：平衡方程的三种形式：①一矩式，（2-1）无限制条件②二矩式（2-2）限制条件：投影轴x不能与矩心A、B的连线垂直如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130kN如果再列ΣFx=0方程，因为x轴和矩心A、D的连线垂直，方程中不含FAy，就不能求解FAy可以再列ΣFy=0方程，即可求得FAy=-5kN③三矩式（2-3）限制条件：矩心A、B、C三点不能共线如以上例题中，列ΣMA=0方程，求得FC=150kN；再列ΣMD=0方程，求得FAx=130kN如果再选择与A、D共线的任一点K为矩心，方程中不含FAy，就不能求解FAy以上解二中，分别以A、D、‘三点为矩心，这三点不共线，可以求解三个未知数特别要注意：使用各种形式平衡方程时，一个研究对象只能列三个独立的方程，只能求解三个未知量

P34例2-2已知：q=4kN/m求：FA、FB分布载荷集度q=4kN/m是什么？例,在长度l=0.8m的一段梁上堆放W=3.2kN砂土，是分布载荷因为0.8m长度上堆放重量3.2kN，所以，每米长度上堆放4kN，称为分布载荷集度q=4kN/m所以,载荷集度q单位是kN/m或N/m,其合力=载荷集度q×分布段长度，作用点在分布段中点题目：已知：分布载荷集度q=4kN/m分布段长度l=0.8m，分布段左端距梁左端0.8m，分布段右端距梁右端0.4m求：支座A和B的约束力选择AB梁为研究对象画受力图（已知力为分布载荷q，A点固定铰链两个分力，B点活动铰链垂直一力）ΣMA=0FB×2-q×0.8×(0.8+0.4)=0（分布载荷q的合力q×0.8，对A点的力臂0.8+0.4）FB×2-4×0.8×1.2=0FB=1.92kNΣFy=0FAy-q×0.8+FB=0FAy-4×0.8+1.92=0FAy=1.28kNΣFx=0FAx=0小结①在受力图中，均布载荷用端部连线的一组箭头表示②在力的投影方程中，均布载荷合力的大小=载荷集度q×分布段长度③在力矩的平衡方程中，因为均布载荷合力的作用点在载荷分布段的中点所以，力矩=载荷集度q×分布段长度×矩心至载荷分布段中点合力作用线的垂直距离

P35例2-3已知：F=15N，M=40kN·m，a=60°求：A、B、C三位置的约束力BC杆悬臂梁AB受力图（已知力FM，B点固定铰链，C点活动铰链）受力图（固定端一偶两力，B点固定铰链,反作用力）ΣMB=0-Fsin60×0.8-M+FC×2.4=0ΣFx=0FAx-FBx=0-15×0.866×0.8-40+FC×2.4=0FAx=FBx=7.5NFC=21NΣFy=0FAy-FBy=0ΣFy=0FBy-Fsin60+FC=0FAy-(-8)=0FBy-15×0.866+21=0FAy=-8NFBy=-8NΣMA=0MA-FBy×1.6=0ΣFx=0FBx-Fcos60=0MA-(-8)×1.6=0FBx-15×0.5=0MA=-12.8N·mFBx=7.5N小结：有已知力作用的物体先选择为对象②在BC杆的三个平衡方程中，哪些地方体现了力偶的两条性质？③固定端画受力图一偶两力,要画约束力偶。求其约束力,不是只计算两个分力,一定还要计算约束力偶④两个构件在联接处各自的约束力是作用力与反作用力，受力图画的方向？名称？方程中的数值正负？如,在BC杆的受力图中FBxFBy方向？平衡方程中这两力的数值FBx=+7.5N，FBy=-8N在AB杆的受力图中FBxFBy方向？平衡方程中这两力的数值FBx=+7.5N，FBy=-8N

§2-2平面特殊力系的平衡方程及其应用平面一般力系：力作用线在同一平面的力系平面一般力系的平衡方程即§2-1节一矩式（2-1）、二矩式（2-2）、三矩式（2-3）一矩式的意义：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任一点力矩的代数和也等于零平面汇交力系：力作用线在同一平面上，且汇交于一点的力系以汇交点A为矩心时，无论是否平衡,都有ΣMA≡0，力矩方程不能说明力系是否平衡平面汇交力系的平衡方程只剩下：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零平面平行力系：力作用线在同一平面上，且互相平行的力系选x轴与力作用线垂直，y轴与之平行，无论是否平衡，都有ΣFx≡0，不能说明平衡平面平行力系的平衡方程只剩下：各力在与力作用线平行的y轴投影的代数和等于零各力对任一点力矩的代数和也等于零平面一般力系平面汇交力系平面平行力系P32（2-1）P36（2-4）P37（2-5）

P37例2-4已知：飞机前后轮距离a=4m，水平称重：FA=30kN，FB=90kN倾角a=15°称重，B=100kN求：飞机重心坐标xC，yC题目：飞机水平称重，即在前轮或后轮下加垫板，使前后轮中心连线为水平线状态（此飞机前轮加垫）飞机共有三个轮子，一个前轮和左右两个后轮，称重时三个轮子都放置在磅称上面，共有三个磅称FA=30kN是前轮磅称读数扣除垫板重量，FB=90kN是后轮两个磅称读数之和，即（45+45）kN倾角a=15°称重，即在前轮下加垫板，使飞机机头抬高，前后轮中心连线与水平线夹角a=15°飞机倾斜，重心后移，使得后面两磅称的读数增大，由FB=90kN变为B=100kN求飞机重心的前后和高度位置，即以前轮中心为坐标原点的x、y坐标系中，确定重心的xC，yC坐标解：水平称重，前后轮下磅称读数是飞机前后轮受磅称约束力FA=30kN，FB=90kN，方向铅直向上可知飞机总重W=FA+FB=120kN，其作用点在飞机重心，方向铅直向下FA、FB、W三力构成平面平行力系，使用平行力系的两个平衡方程：ΣFy=0FA+FB-W=0倾斜称重：30+90-W=0飞机倾斜后，后轮B变化W=30+90=120kN总重W不变，重心位置坐标xC=3m不变，yC未知ΣMA=0FBa-WxC=0ΣMA=0Bacosa-WcosxC-WsinyC=090×4-120xC=0100×4×cos15-120×cos15×3-120×sin15×yC=0小结：平衡方程不仅可求未知力的大小，而且可求力作用点位置P38例2-5已知：F=1kN，a=8°求：FAB、FBC、工件受力题目：已知：F=1kN，a=8°求：FAB、FBC、工件受力因为已知力F=1kN作用在铰接点B上，所以应先选择销钉B为对象销钉B受力图：主动力F与两个二力杆的约束F1、F2构成平面汇交力系，用汇交力系的两个平衡方程：ΣFx=0F1cosa-F2cosa=0F1=F2ΣFy=0F1sina+F2sina-F=02F1×sin8-1=0根据作用与反作用定律，直杆AB和BC的受力F1=F2=3.59kN滑块Ｃ受力图，二力杆作用力F2与工件、地面的光滑约束力FN1、FN2构成汇交力系，用两个平衡方程：ΣFx=0F2cosa-FN2=0FN2=F2cos8=3.59×0.9903=3.56kN根据作用与反作用定律，工件受力FN2=3.56kN

§2-3简单轮轴类部件的受力问题轮轴类部件，轮子、轴、轴承构成的部件简单轮轴类部件，轮子只是皮带轮或直齿轮，没有斜齿轮或圆锥齿轮简单轮轴类部件的受力问题，计算皮带轮或直齿轮的轮轴部件的主动力与轴承支座的约束力P39例2-6已知：带轮D：D1=400mm，FT=2000N，Ft=1000N齿轮C：D2=200mm，a=20°求：齿轮C的啮合力Fn，轴承A、B的约束力FA、FB注意：带轮两边拉力FT≠Ft，因为在侧视图上ΣM0=0FTR1-FtR1-FncosaR2=0，所以FT≠Ft这两边皮带拉力不同，拉力大的一边称为“紧边”，拉力小的一边称为“松边”，一般假定FT=2Ft这和左下图的滑轮不同，滑轮侧视图只有两边绳子拉力，侧视图ΣM0=0WR-FR=0，所以F=W题目：带轮:D1=400mm，两边皮带拉力都是水平方向，紧边FT=2000N,松边Ft=1000N齿轮C：D2=200mm，啮合力Fn作用点在轮心同一水平线上（见侧视图），压力角a=20（回顾压力角）求：齿轮C的啮合力Fn，轴承A、B的约束力FA、FB轴承A、B的约束力FA、FB就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz？y轮轴线，z轴铅直，Ｏxy是水平面，三轴垂直轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz方向，用FAxFAz和FBxFBz，或XAZA和XBZB

侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz平面上)受力图，没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除这两个轴承约束2000×200-1000×200-Fncos20×100=0Fn=2130N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20=2130×0.9396=2000N因主动力Fnz=2000N作用点到AB两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy平面上)受力图，其中Fnx=Fnsin20=2130×0.3420=729NΣMA=0-(FT+Ft)×0.15+Fnx×0.25-XB×0.5=0-(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB×0.5=0XB=-536NΣFx=0-FT-Ft+XA-Fnx+XB=0-2000-1000+XA-729+(-536)=0XA=4265N结论：Fn=2130NXA=4265NXB=-536NZA=-1000N；ZB=-1000N小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力2.主视图求铅直向约束力3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A、B的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XAZA和XBZB四力）不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn，因为在x方向，实际上还有XAXB两力的投影

*§2-4斜齿轮和锥齿轮的轮轴类部件的受力问题P42齿轮的啮合力都是齿面啮合点的法线方向，也就是与轮齿的齿面垂直的方向直齿轮齿向平行轴线,啮合力与轴线垂直,无轴向分力;斜齿轮锥齿轮啮合力与轴线不垂直,有轴向分力在本课程、后续课程及工程实际应用中，都需要将轮齿的啮合力分解为轴向、径向和圆周切向的分力一、斜齿轮啮合力的分解斜齿轮的轮齿呈螺旋形,螺纹线在与轮轴线重合平面上的投影与轴线的夹角为螺旋角b（图2-15b）轮齿上的啮合力Fn是齿面的法线方向，即与齿面垂直啮合力Fn与啮合点所在圆柱面切平面的夹角为压力角a（图2-15a、c）过啮合力Fn作用点作与轮轴线垂直的平面、与轮轴线重合的平面、与啮合点所在圆柱面相切的平面再过表示啮合力Fn线段长度的另一端点作与上述平面平行的三个平面这六个平面围成直角六面体，其棱边分别平行于齿轮轴线过啮合点齿轮半径啮合点所在圆周的切线其中，过啮合点与轮轴线平行的边长，表示啮合力Fn的轴向分力，用Fa表示过啮合点与齿轮半径重合的边长，表示啮合力Fn的径向分力，用Fr表示过啮合点与齿轮圆柱面相切的边长，表示啮合力Fn的切向分力，用Ft表示这是因为：所在abcd平，分解为径向力Fr和切平面分力F’，矢量式在啮合点的切平面上（图b），分力F又分解为切向分力Ft和轴向分力Fa，矢量式式②代①，有，所以Fn分解为直角六面体所示的径向力Fr,轴向力Fa,切向力Ft在abcd平面（图2-15c），Fr=FnsinaF=Fncosa在啮合点的切平面上（图2-15b），Ft=FcosbFa=Fsinb所以，径向分力Fr=Fnsina切向分力Ft=Fcosb=FncosacosbP42①Fr=FnsinaF=FncosaFt=Fcosb=FncosacosbFa=Fsinb=Fncosasinb轴向分力Fa=Fsinb=Fncosasinb

二、锥齿轮啮合力的分解P43圆锥齿轮轮齿和轴线的夹角称为锥顶角（图2-16b、a）啮合力Fn和啮合点所在圆周切线的夹角为压力角a（图2-16a、c）(注意：不是与切平面的夹角)以表示啮合线段为对角线,作直角六面体,其各平面与轴线垂直与轴线平行与啮合点所在圆周相切通过啮合点半径的棱边表示径向分力,与轴线平行的棱边表示轴向分力,与圆周相切的棱边表示切向分力所在abcd斜平，分解为切向力Ft和斜平面上的分力F’：Ft=FncosaF=Fnsina在过啮合点与轮轴重合的平面上（图b），F又分解为径向力Fr和轴向力Fa：Fr=FcosFa=Fsin所以，切向分力Ft=Fncosa径向分力Fr=Fcos=FnsinacosP43Ft=FncosaF=FnsinaFr=Fcos=FnsinacosFa=Fsin=Fnsinasin轴向分力Fa=Fsin=Fnsinasin三、齿轮啮合力对转轴的力矩P43~44根据§1-2节合力矩定理，计算齿轮啮合力上述三个分力对转轴力矩代数和就是啮合力对转轴的力矩径向力Fr和转动轴线相交，对转轴的力矩等于零轴向力Fa和转轴平行。与转轴平行的力不使物体转动，如门自重不能使门转动，所以其力矩也为零切向分力Ft在与转轴垂直平面上，两图d，切向力对轴线与平面交点Ｏ力矩就是啮合力对转轴的力矩：P44（2-7）所以，齿轮的啮合力对转轴的力矩等于其圆周的切向分力和齿轮半径的乘积

P44例2-7已知：带轮D1＝300mm，F1＝2F2，锥齿轮D2＝200mm，Fn＝700N，a＝20°，＝34°求：F1、F2，FA、FB锥齿轮的啮合力，根据式（d）、（e）、（f）分解为切向力、径向力和轴向力切向分力Ft=Fncosa=700×cos20=658N径向分力Fr=Fnsinacos=700×sin20×cos34=198N轴向分力Fa=Fnsinasin=700×sin20×sin34=134N建立空间直角坐标系Axyz，其中y轴和轮轴的轴线重合，Axy是水平面锥齿轮有轴向力止推滑动轴承A孔没钻通孔底部光滑约束孔内壁铰链约束约束力AxAyAz径向滑动轴承B通孔，孔内壁铰链约束，画约束力BxBz侧视图俯视图ΣMD=ΣMA=-（F1+F2）×0.2-FBx×0.36-Ft×0.52=0658×100-2F2×150+F2×150=0-（878+439）×0.2-FBx×0.36-658×0.52=0F2＝439NFBx=-1682NF1＝2F2＝878NΣFx=0FAz+F1+F2+FBz+Ft=0主视图FAz+878+439-1682+658=0ΣMA=FAz=-293NFBz×0.36-198×0.52+134×0.1=0FBz=249NΣFz=0FAz+FBz-Fr=0小结：FAz+249-198=0锥齿轮或斜齿轮啮合力分解为切向径向轴向三分力FAz=-51N与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承ΣFy=0FAy-Fa=0存在轴向约束力需用=平衡方程求轴向约束力FAy-134=0FAy=134N

P46例2-8已知：斜齿轮D＝200mm切向力Ft=1000N径向力Fr=400N轴向力Fa=300N求：电机力矩M，约束力FA、FB题目：电机带动斜齿轮轴匀速转动，斜齿轮有轴向力，轴承B是止推滑动轴承，轴承A径向滑动轴承建立空间直角坐标系Axyz，其中y轴和轮轴的轴线重合，Axy是水平面画径向滑动轴承A的约束力FAx、FAz，止推滑动轴承B的约束力FBx、FBy、FBz侧视图ΣMB=1000×0.1-M=0M=100N·m主视图ΣMA=FBz×0.6-400×0.3-300×0.1=0FBz=250NΣFz=0FAz-Fr+FBz=0FAz-400+250=0FAz=150NΣFy=0Fa-FBy=0300-FBy=0FBy=300N俯视图注意：在主视图中，因为轴向力Fa的投影与轴线不重合，小结：斜齿轮或锥齿轮啮合力分解为切向、径向、轴向三个分力与直齿轮不同的是存在轴向分力，需要一个止推轴承止推轴承可以提供轴向约束力，需用ΣFy=0平衡方程求轴向约束力

*§2-5摩擦与自锁P48前面几节,认为两物体间的接触面是绝对光滑的两物体间的作用力只有法向压力没有切向摩擦力如果①摩擦力很小,对运动影响很少,或②物体静止,而且没有滑动趋势,可以认为没有摩擦力实际情况,绝对光滑的接触面是不存在的只要相互接触的物体有①相对滑动或②相对滑动的趋势时,两者接触面之间就有摩擦力当摩擦力对物体的平衡状态或运动状态有较大影响时,必须考虑摩擦力摩擦有利方面：加工零件的夹具:卡盘压板。动力传动:带轮传动地面有摩擦车辆才能启动刹车摩擦不利方面：运转机器要克服摩擦力，要消耗功率。机器磨损，缩短寿命上述现象称为滑动摩擦，这样的阻力称为滑动摩擦力。还有一种滚动摩擦可以避免摩擦的不利方面（a）（b）（a）（b）图2-19图2-20图2-20a圆轮和其接触物体受力作用，两者有少量变形，轮子受支承面约束力是在小面积上的分布力和不变形的刚体（图2-19b）相比，其合力FR作用点位置向前偏移了距离e（图2-20b）该合力FR对接触点A的力矩阻碍轮子的滚动，这种现象称为滚动摩擦由于轮子和支承面的变形量很小，偏移量e很小，阻碍滚动的力矩也很小与图2-19a的滑动摩擦相比，滑动摩擦使物体运动的阻力较大，滚动摩擦使物体运动的阻力要小得多所以工程上需要减小运动阻力的场合，常采用滚动摩擦，如车辆的轮子、轮轴的滚动轴承等等工FP=10NF=10N2020F=FPFmax=msFNFd=mFN3030静摩擦力最大静摩擦力动摩擦力4040ms静摩擦因数ms动摩擦因数49.9949.99

滑动摩擦力用较小推力FP推不动桌子，说明平衡，ΣF=0，必定有FP-F=0,说明存在滑动摩擦力F=FP物理学过F=mFN,不一定都如此,例桌子、地面间很粗糙,可以有F=mFN存在,但没有推拉桌子，F=0例桌子重W=100N,m=0.5,FN=100N,可有F=mFN=50N。但FP=1020…49.99N逐增过程F≠mFNFP≤mFN=50N推不动桌子，说明平衡F=FP，随FP=1020…增大，F=1020…以相同数值增大推力FP可以80、90…不断增大，摩擦力F不会无限制增大，到50N之后桌子被推动如果桌子被推动之后继续滑动，比从静止起动时的50N略要省力，说明滑动之后的摩擦力略小一点所以，在摩擦力F和推力FP的纵横坐标系中，F~FP关系曲线如图2-21所示：45斜线，表示这一阶段一定有F=FP，摩擦力F随推力FP以相同数值增大，称为滑动趋势阶段该摩擦力是由平衡方程ΣF=0，即F=FP计算，其大小是在0<F<Fmax之间变化，称为静摩擦力在这一阶段，决不能用F=mFN计算摩擦力曲线的最高点，表示物体处于将动未动的临界状态该摩擦力的大小Fmax=msFN，是定值，称为最大静摩擦力ms称静摩擦因数，与材料粗糙度有关，几种ms数值P49表2-1。FN物体摩擦接触面上的法向压力临界状态后的水平线，表示物体滑动阶段该摩擦力的大小Fd也是定值，其计算方法是Fd=mFN，Fd略小于Fmax，称为动摩擦力系数m称为动摩擦因数，几种材料m数值见P49表2-1，m略小于ms所以，摩擦力计算方法应区分三种不同状态，不能一概使用F=mFN计算摩擦力应懂得摩擦力存在三个状态名称?三摩擦力FFmaxFd名称?三者计算方法?两种摩擦因数ms、m名称?其中最重要的是临界状态最大静摩擦力Fmax=msFN，它决定保持平衡的最大受力,使之运动至少受力无论用Fmax=msFN或Fd=mFN计算,其中FN接触面法向压力不一定等于物体重量,例平面?斜面?摩擦力的方向？沿接触面的公法线，指向与滑动方向或滑动趋势方向相反对于有滑动或有滑动趋势的物体，应首先考虑滑动方向或滑动趋势的方向，其相反方向是摩擦力方向例斜面上的物体滑动趋势向下,摩擦力向上；行人？自行车后轮摩擦力向前,前轮摩擦力向后；汽车？对于不存在滑动或滑动趋势的物体，应考虑两相接触物体之间的滑动摩擦力是作用与反作用关系例斜面受的摩擦力向下；与车辆前轮接触的地面受的摩擦力向前，后轮地面受的摩擦力向后：人脚地？即：两物体相接触所产生的一对摩擦力，是作用力与反作用力，一定等值、反向、共线摩擦力要画在其作用点处──与其他物体的接触面处

二、摩擦角P50放置在支承面上的物体，在推力FP的作用下，物体处于滑动趋势阶段，摩擦力F<Fmax=msFN受自身重力W，推力FP，这两力都是主动力。支承面正压力FN，滑动摩擦力F，这两力都是约束力正压FN和滑动摩擦合成的合力称为全约束力，用符号FR表示，它和接触面公法线的夹角为f增大推力FP，滑动摩擦力F也随之增大。在临界状态，摩擦力为最大静摩擦力Fmax=msFN时正压力FN和临界状态摩擦力Fmax合成的合力仍然称为全约束力，符号仍然是FR表示在临界状态，全约束力和接触面公法线的夹角称为摩擦角，用符号fm表示注意：无论是临界状态还是非临界状态，正压力FN和摩擦力F的合力都称为全约束力，都用符号FR在非临界状态，全约束力和接触面法线的夹角没有名称，不称为摩擦角，用符号f表示只有在临界状态，全约束力和接触面法线的夹角才称为摩擦角，才用符号fm表示由图示三角关系可知即，摩擦角的正切等于静摩擦因数对比左右两图可知即，f≤fm，FR和法线夹角f不大于fm上式说明,在存在滑动摩擦力的任何阶段,全约束力作用线一定在摩擦角fm范围之内，最多在其边缘f≤fm在任何状态在临界状态ＦR─全约束力ＦR─全约束力夹角ffm─摩擦角

三、自锁P50如左图2-24a所示放置在斜面上的物体，若斜面倾斜角a大于两者间的摩擦角fm，a＞fm重作用线和接触面法线夹角a＞fm下方全约束力作用线一定在摩擦fm范围内最多在其边缘在任何状态在临界状态a＞fma＜fmＦR─全约束力ＦR─全约束力无论重物的重量多轻无论重物的重量多重夹角ffm─摩擦角都会下滑都不会下滑不自锁自锁平面上的物体自锁条件：a≤fm斜面上的物体自锁条件：a≤fm上下的和全约束力FR不可能共线，物体的受力不平衡。而且，无论物体的重量多轻，都会下滑如右图2-24b所示放置在斜面上的物体，若斜面倾斜角a小于两者间的摩擦角fm，a＜fm上方重作用线和接触面法线夹角a＜fm下方在摩擦角fm范围之内可以提供FR与共线上下方的和全约束力FR可以共线平衡。而且，无论物体的重量多重，都不会下滑存在摩擦力时，物体的平衡条件与受力的大小无关，只与几何条件有关的现象称为自锁所以，位于斜面上的物体的自锁条件是：斜面倾斜角不超过物体和斜面间的摩擦角，即a≤fm同理，位于平面上的物体的自锁条件是：主动力合力作用线和支承面法线的夹角不超过接触面摩擦角螺纹可以看作由长条状材料旋绕在圆柱体表面的零件，展开的螺纹就是斜面，其倾斜角就是螺纹升角相配合的内外螺纹可以视为位于斜面上的长条形物体，其受力有自身重和内外螺纹的全约束力FR图2-25所示夹具，夹紧后要求不能回松，螺纹升角要小于内外螺纹材料的摩擦角a≤fm

P51例2-9已知：压榨机，各接触面fm全约束力作用线在摩擦角范围之内求：夹紧工件能自锁的楔块倾斜角af1≤fm（a）f2≤fm（b）楔块平衡，二力共线f2=b=a1-f1=a-f1（c）a=f1+f2式（a）、（b）代入上式（d）a=f1+f2≤2fm题目：压榨机用以夹紧工件，立柱上方表面放置工件，下方是与楔块有相同倾斜角a的斜面夹紧工件时，给楔块右端面向左敲击力FP，楔块左移，立柱上移，工件夹紧要求停止敲击FP=0后，不能松脱，即楔块不能右移，所以应以楔块为研究对象，其受力要平衡楔块受力图：上接触面全约束力FR1作用线与其法线夹角为f1，下接触面FR2与法线夹角为f2分析楔的自锁条件：上下两个全约束力FR1、FR2作用线一定在摩擦角fm范围之内，即它与法线夹角均小于摩擦角f1≤fm（a）f2≤fm（b）要使楔块处于平衡状态，全约束力FR1、FR2必须在同一条直线上，二力共线对顶角相等，有f2=b=a1-f1=a-f1（c）即a=f1+f2（d）用式（a）、（b）代入式（d）得a=f1+f2≤2fm（e）

P52例2-10已知：双联齿轮b，ms，FP求：推动齿轮e=？题目双联齿轮功用在推FP作用下能左右滑动与不同齿轮啮合得不同传动比另一轴有不同转速由于推力ＦP作用线偏离齿轮中心线，其力矩使齿轮转动齿轮与轴上的A、B两点接触，受到法向压力FNA和FNB，滑动时产生摩擦力FA和FB偏心距离e的尺寸愈大，使齿轮转动的力矩愈大，法向压力愈大，摩擦力也愈大，齿轮被卡住，自锁本题目要求，能滑动，不能自锁已知：双联齿轮b，ms，FP求：推动齿轮e=？解:滑动