中科大机械工程力学教案10刚体绕定轴转动

第十章刚体绕定轴转动§10-1刚体绕定轴转动的运动分析P160转角f图示刚体轴定轴转动垂直于转轴的平面与物体轮廓外形交线如右图平面与转轴交为转动中心在该平面上选取一条通过转动中心的任一直线OA，将其某一瞬时的位置OA0定为计算转角的基准任一瞬时t,直线OA与基准线OA0的夹角f称为转角，它表明直线OA的位置,也确定了刚体的位置转角f是时间t的连续函数f=f（t），该式称为刚体的转动方程（10-1）其中：转角f的单位为弧度（rad），时间t的单位为秒（s）可用转角的正负号表示转动方向，从转轴z的正向看，逆时针转动的转角为正值，顺时针…为负值二、角速度w和转速n角速度表示刚体某瞬时转动的快慢，用w表示，注意w的写法，“3”顺时针转动90°角速度单位为弧度/秒（rad/s）也可用正负号表示角速度方向,从转轴z正向看，逆时针方向转动的角速度为正值，顺时针…为负值如果刚体匀速转动，速度没有变化，w＝常数。例，如果初瞬时t0＝0的转角f0＝0，有刚体作一般非匀速的转动时，不同时刻的角速度不同，角速度w是时间t的函数w=f‘（t）≠常数*用高等数学的方法计算转角随时间变化率，角速度等于转角对时间的一阶导数（10-2）在机械工程中，常使用转速表示每分钟的转数，用符号n表示其单位为转/分（r/min）转速n和角速度w之间的关系为（10-3）一、转角f二、角速度w和转速n三、角加速度a四、匀速匀变速O点：转动中心w单位：弧度/秒（rad/s）a单位：弧度/秒2（rad/s2）f=f（t）转动方程匀速转动匀速转动a=0f单位弧度（rad）非匀速转动w=‘≠常数匀变速转动t单位秒（s）非匀变速转动a=f‘（t）≠常数逆时针正，顺时针负转速n，单位转/分（r/min）

三、角加速度a角加速度表示某瞬时角速度变化的快慢，用a表示。注意是希腊字母a，不是英文字母“a”角加速度单位为弧度/秒2（rad/s2）也可用正负号表示角加速度方向,从转轴z正向看，逆时针方向转动角加速度为正值，顺时针…为负值如果刚体作匀速转动，角速度没有变化，角加速度a＝0如果刚体作匀变速转动，角速度没有变化，单位时间之内角速度的变化量为常数，其中w0为初瞬时t0＝0时的角速度；w为末瞬时t的角速度刚体作一般的非匀变速转动，角加速度a是时间t的函数a=f‘（t）≠常数*用高等数学方法，角加速度等于角速度对时间一阶导数，或转角对时间二阶导数（10-4）四、匀速转动和匀变速转动1．匀速转动将初始瞬时的刚体位置作为计算转角的基准，刚体作匀速转动的转动方程为f=wt（10-5）2．匀变速转动和物理学过的匀变速运动的计算公式相似，有表10-1右列的计算公式刚体匀速转动物体匀变速运动刚体匀变速转动（10-6）（10-7）（10-8）（10-9）其中：①v0是运动物体的初速度，即时间t=0时的速度，其他符号v？a？s？w0是转动物体的初始角速度，即时间t=0时的角速度，其他符号w？a？f？②上表匀变速曲线运动计算公式中的a称为切向加速度，其意义在本节稍后的内容中介绍匀变速直线运动时，切向加速度a就是物体的加速度a③使用上表的匀变速转动各计算公式时，无论是顺时针转动还是逆时针转动w0正负号：无论是匀加速转动还是匀减速转动，w0均取正值a正负号：匀加速转动，a均取正值；匀减速转动，a取负值

P162例10-1已知：电动机初转速n0＝1450r/min匀减速制动t=5，n5＝0求：角加速度a，转动圈数N初瞬时角速度未瞬时角速度w5=0制动过程的角加速度制动过程的转角转动圈数

四、定轴转动刚体上点的速度和加速度P162在定轴转动刚体与转轴垂直的平面上,任意点M作圆周运动,轨迹圆心即转动中心O,轨迹半径R＝OM在一段时间间隔内，当刚体转过f角，该点M运动的圆弧轨迹是弧线长度为s(图)根据圆心角f与圆周上的弧线长度s的几何关系，M点运动的路程为s＝Ｒf如果刚体的角速度为w，M点运动速度的大小为v＝Rw（无论匀速转动或变速转动，都如此）（10-10）任一点速度等于该点轨迹半径与角速度乘积,方向沿轨迹切线,即垂直轨迹半径∴转动刚体各点线速度与其到转轴距离正比,在通过转动中心一直线上,各点线速度分布规律如图10-4如果刚体变速转动，角加速度a，M点也变速运动，有加速度a＝Ra（匀速转动a＝0）（10-11）它表示速度大小随时间变化率，其方向和速度一样，都是圆周轨迹的切线方向，所以称为切向加速度∴任一点切向加速度等于该点轨迹半径与角加速度乘积方向也垂直轨迹半径指向和角加速度转向一致动点圆周运动速度方向不断变化，有向心加速度（无论匀速或变速转动）（10-12）向心加速度的方向是沿着圆周轨迹的法线方向，所以又称为法向加速度∴任一点的法向加速度，等于该点圆周运动的轨迹半径与角速度平方的乘积，其方向永远指向转动中心切向加速度a和法向加速度an是M点加速度的两个分量该点的加速度应是这两个分量的合成，称为全加速度全加速度方向与轨迹半径的夹角凡是作曲线运动的动点，一般都具有上述的切向加速度和法向加速度如果作匀速曲线运动，切向加速度等于零，但一定还有法向加速度如果是直线运动，法向加速度等于零，但不一定有切向加速度注意：速度和加速度方向和轨迹相切，不一定和物体外形轮廓线相切，是和该点到转动中心的连线垂直轮绕圆心转动,vA与中心连线垂直就是和轮廓线相切；绕边缘转动,vA与中心连线垂直和轮廓线不相切转动的曲杆,vA与杆的轮廓线垂直，vB与杆的轴轮廓线不垂直。都与该点到转动中心的连线垂直v、w方向一致，w逆v也逆，w顺v也顺a、a方向也一致，a逆a也逆，a顺a也顺但an总是向心,无论w、a什么方向,都指向心P164例10-2已知：AB＝CD＝0.25m，BC＝AD＝0.4m直杆AB转速n=40r/min求：vM、aM，画出方向题目：因对边相等成平行四边形，AD永远平行BC，搅拌杆ADM平动构件，其上各点运动规律相同搅拌杆ADM和定轴转动构件AB杆在A点用铰链相连，两构件在铰链中心点A的运动规律相同只要在定轴转动构件AB杆上求得A点的速度加速度，就是平动构件ADM上M点的速度加速度AB杆的角速度M点的速度M点的加速度M点的速度vM和加速度aM方向如图所示思考：①请画出M点的运动轨迹②搅拌机停机过程是减速转动，请画出AB杆的角加速度a方向和M点切向加速度a的方向③搅拌机在加速启动、匀速转动、减速停机的三个过程中，M点法向加速度an各是什么方向？

P165例10-3已知：主动轮n1=120r/min，R1=100mm从动轮R2=170mm，卷筒R3=85mm求：vW题目：忽略皮带的弹性变形，认为皮带与轮子边缘没有相互滑动，两者的接触点的线速度相同皮带与主动轮及从动轮边缘的相切点A和B的速度分别为vA＝Ｒ1w1vB＝Ｒ2w2忽略皮带的弹性变形，认为皮带上各点运动速度相同，有vA＝vB两相互传动的带轮,两角速度与各半径成反比。因此,已知两轮半径和其一轮角速度,可求另一轮角速度主动轮的角速度从动轮的角速度卷筒的角速度w3＝w2＝7.39rad/s（卷筒与从动轮为一整体，两者角速度相同）重物的速度vW＝Ｒ3w3＝0.085×7.39＝0.628m/s（重物绳索和卷筒边缘点的线速度相同）小结：两相互传动带轮，忽略皮带变形与滑动，皮带与轮接触点速度相同，两轮角速度与各半径成反比两个相啮合传动齿轮,两啮合点速度相同,两角速度也和各半径成反比。但带轮转向相同,齿轮转向相反角速度w和转速n成正比，半径R和直径D成正比，半径直径还和齿轮的齿数z成正比。所以有：(10-14)

*§10-2刚体定轴转动的动力分析P166一、刚体定轴转动的动力学方程设刚体在外力F1、F2、…Fn的作用下，绕固定轴转动，其角速度为w，角加速度为a刚体内的任一质点i，质量为mi，到转动中心的距离为ri，受力Fi，加速度为ai根据牛顿第二定律有将上式投影在该质点运动轨迹的切线方向得Fi=miai=miria(并代入P163的式10-11)将上式两边同乘以该质点圆周运动的轨迹半径ri得Firi=miairi=miri2a将刚体上所有质点的上式代数和叠加得ΣFiri=Σmiri2a=(Σmiri2)a(各质点a相同)左边,每点力Fzri是质点受力对转轴的力矩MOi，内力矩叠加抵消，只得刚体外力矩代数和ΣMO(Fi)右边,定义:JO=(Σmiri2)各质点质量与该点到转轴距离平方乘积的总和，称为刚体对转轴的转动惯量得ΣMO(Fi)=JOa（10-15）这就是刚体绕定轴转动的动力学方程它表明定轴转动刚体的角加速度与外力对转轴力矩的代数和成正比与刚体对转轴的转动惯量成反比上式各项单位：外力矩ΣMO(Ｆi)-N·m，和角加速同方向的外力矩为正值反方向的外力矩为负值转动惯量JO-kg·m2角加速度a-rad/s2刚体定轴转动动力学方程ΣMi=JOa与运动物体动力学方程ΣFi=ma的比较：①形式相似ΣFi=ma意义是外力的合力=质量×加速度ΣMi=JOa意义是外力矩的合力矩=转动惯量×角加速度②质量m和转动惯量JO的作用相似质量是物体运动惯性大小的度量(m增大,导致a减小,不易改变物体的运动状态)，可用天平称得质量转动质量是物体转动惯性大小的度量(JO增大,导减小,不易改变物体转动状态)不能用天平称得惯量③特例运动物体平衡时，加速度a=0，ΣFi=0，可以使用力的投影平衡方程求解未知力转动物体平衡时，角加速度a=0，ΣMi=0，可以使用力矩平衡方程求解未知力

二、转动惯量对刚体转动的影响P166定义：JO=Σmiri2各质点质量与该点到转轴距离平方乘积的总和，称为刚体对转轴的转动惯量例：左下图的物体分为许多小质点m1m2m3…mi，各质点到转轴距离ri，则乘积总和JO=Σmiri2P167表10-2介绍几种均质刚体对转轴O-O转动惯量计算公式。其中：刚体的质量m的单位为千克（kg）半径R、内径r和长度l单位为米（m）由定义JO=Σmiri2可知转动惯量不但和物体质量Σmi有关，还和质点到转轴距离ri有关，即和转轴位置及物体形状有关所以，对转动惯量有特殊要求的机械零部件，常设计成特殊的形状如果要为使机器平稳运转，不致于外界干扰而使轮轴产生显著的忽快忽慢转动，往往在机器上安装飞轮飞轮形状如图10-11a、b、c所示，中间的腹板较薄，甚至只有几根辐条材料多分布在轮子的边缘，离转轴较远，耗费较少的材料获得较大的转动惯量相反，仪表的指针要求灵敏度高，被测量物理量变化时能够迅速偏转，到达指示位置上往复摆动惯性小一方面，是采用重量较轻的材料另一方面，材料分布离转轴远的地方，尺寸尽可能小（图10-11d）对比ΣFi=maFi=miai=miriaΣMi=JOaFiri=miairi=miri2a①形式相似ΣFiri=Σmiri2a=(Σmiri2)a②质量与转动惯量ΣMO(Fi)JO=(Σmiri2)③特例转动惯量ΣMO(Fi)=JOa

P167例10-4已知：均质圆轮m=250kg，R=0.4m，n0=600r/minFP=75N，m=0.6，匀减速制动求：圆轮的角加速度a①制动杆画受力图，其中摩擦力‘方向应根据与鼓轮摩擦反作用关系确定（而鼓轮摩擦方向与转速n0相反）平衡方程ΣMA=0‘×0.6-‘×0.3-FP×(0.6+0.8)=0‘×0.6-m‘×0.3-FP×1.4=0（制动时,轮缘和闸瓦有相对滑动,‘=m‘）‘×0.6-0.6ב×0.3-75×1.4=0‘=250N动摩擦力‘=m‘=0.6×250=150N②鼓轮画受力图，其中F=‘=150N，FN=‘=250N。角加速度a方向和摩擦力对转动中心力矩方向相同动力学方程ΣMO(Fi)=JOaFR=JOa（力矩正负值：和角加速同向为正反向为负。与顺逆时针无关）鼓轮的转动惯量角加速度注意求得角加速度为正值既不是匀加速转动也不是逆时针转向只表示角加速度和外力矩方向相同如果要再计算制动过程的转角和时间等问题，应以a=-3rad/s2代入式（10-6）~（10-9）各式计算

P167例10-4已知：绞车轮子R=0.25m，JO=8kg·m2重物W=300N，a=0.8m/s2，向上求：作用在轮子上的力偶矩MO题目：重物作加速运动，不是处于平衡状态，绳索拉力FT不等于重物的重量W轮子作加速转动，也不是处于平衡状态，绳索拉力F‘对轮心的力矩不等于外力偶矩MO已知：轮子R，JO，重物W，a。求MO①重物画受力图，并画出向上的加速度a方向牛顿二定律动力学方程ΣFi=ma（外力正负：和加速a同向为正反向为负。不能只考虑力的方向）②轮子画受力图，根据重物加速度a向上的方向，轮子角加速度a应画顺时针的方向角加速度的大小转动动力学方程ΣMO(Fi)=JOaMO-F‘R=JOa（力矩正负：和角加速同向为正反向为负。与顺逆时针无关）MO-324×0.25=8×3.2MO=107N·m提问：求得力偶矩MO为正值，这表示该力偶矩为逆时针方向吗？

*§10-3轴承的动约束力和定轴转动刚体的动应力P169一、惯性力的概念图示质量为m的物体，在外力F1、F2、…、Fn的作用下运动，重心C点的加速度为aC根据牛顿第二定律，将所有外力投影到与加速度aC平行的x轴上，有：ΣFix=maC将maC移到式子左边，得ΣFix-maC=0假想在物体上作用一个外力FI，其大小为FI=maC（10-17）方向：和物体重心的加速度方向相反作用点：在物体的重心上这个假想的外力FI称为惯性力以该惯性力代入前式，有ΣFix-FI=0平面力系可以两个投影轴，也可以任意选择投影轴方向，投影轴可以与加速C方向不平行，有Fix+FIx=0Fiy=FIy=0这样，在物体上加上假想的惯性力之后原先处于不平衡状态的物体，所有外力和假想惯性力在任一轴上投影的代数和等于零不平衡的动力学问题，可以用静力学平衡的方法来解决，这个方法称为动静法

二、轴承的动约束力P170图10-15a的轮轴，轮子重心在转动轴线上，而且轮子两端平面和轴线垂直匀速转动时，重心没有加速度，两轴承的约束力和静止时的约束力FA、FB相同这个约束力称为静约束力P170图10-15b的轮轴，轮子重心偏离了轴线，偏心距为e匀速转动时，重心有向心加速度aC=an=ew2，在重心上的惯性力为FI=maC=mew2（10-18）这惯性力方向和向心加速度相反，称为离心惯性力或离心力，引起轴承约束力FdAFdB称为动约束力轮轴高速转动时，这个惯性力的数值很大。例，轮子质量m=10kg，轮子重量W=mg=10×9.8=98N若偏心距e=2mm，转速n=1200r/min，离心力FI是W的3倍多,Fd也是静止的3倍多。n更高,FI和Fd正比n2,如n大到2倍,FI和Fd大到4倍再如P171图10-16a所示的曲轴，即使曲轴整体的重位于转动轴线上，但是左右两段曲轴是偏心的左右两段离心惯性力构成力偶，轴承动约束力也要构成力偶与之平衡。虽然整体没偏心，仍有动约束力P171图10-16b所示的轮子端面与转动轴线不垂直时，也会出现这种情况由于制造和安装的误差，或者构件特殊的工作要求，使转动零部件的整体或局部重心偏离了轴线这样的轮轴高速转动时，离心惯性力的方向不断变化，动约束力的方向也要不断变化当离心惯性力和轮轴的重力或载荷的方向相同时，轴承的约束力最大；两者的方向相反时，约束力最小约束力大小方向随时不断变化，引起机器振动,加快轴承磨损，既影响机器工作性能,又缩短零部件寿命而且，离心惯性力的方向和转轴的轴线垂直，还加剧了轴的弯曲变形，增大弯曲应力，影响轴的强度所以，高速旋转的轮轴，要尽可能减小重心位置偏心误差和垂直度偏差，不能超出技术条件规定的数值

P171~172例10-6已知：实心圆轴d=50mmn=600r/min[]＝120MPa偏心锤m=10kge=0.3m求：校核圆轴的强度①计算外力偏心锤的重力W=mg=10×9.8=98N离心惯性力轴承约束力（包括静约束力和动约束力，且离心惯性力向下和重力同向时，约束力最大）②分析内力圆轴中点截面弯矩值M=FA×0.2=5950×0.2=1190N·m（并画圆轴的弯矩图）③校核强度圆轴抗弯截面系数最大应力强度足够提问：从离心力FI和偏心锤重量W的比值，可以求得本题圆轴转动时的最大应力是静止时的多少倍？