2027届高考数学一轮总复习7.3空间直线、平面的平行（课件）

第七章立体几何与空间向量7.3空间直线、平面的平行高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质,并会简单应用.202320242025新课标Ⅰ卷T18新课标Ⅰ卷T17全国一卷T9

全国二卷T17必备知识回顾1.直线与平面平行1知识梳理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与________的一条直线平行,那么该直线与此平面平行此平面内

项目文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面____,那么该直线与交线平行相交

2.平面与平面平行项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行,那么这两个平面平行相交直线

项目文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面____,那么两条____平行

相交交线1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.若α∥β,a⊂α,则a∥β.知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(

)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(

)(3)如果两个平面平行,且一条直线平行于其中一个平面,那么该直线平行于另一个平面.(

)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(

)基础检测××××2.(人教A版必修第二册P139练习T3改编)已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,下列四个命题中正确的是

(

)A.若m∥n,n∥α,则m∥αB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若α∥β,m⊂α,则m∥βD.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC解析:对于A,若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故A错误;对于B,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m与n异面,故B错误;对于C,若α∥β,则α与β没有公共点,又因为m⊂α,所以m与β没有公共点,所以m∥β,故C正确;对于D,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交,故D错误.故选C.

B4.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为__________.解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面DCGH=HG,平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.平行四边形关键能力提升考点1

直线与平面平行的判定与性质【例1】

如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点.

(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.【解】l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,因此l∥AM,由AM∥平面BDE,AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,得m∥AM.所以l∥m.1.线面平行的证明方法(1)定义法:一般用反证法.(2)判定定理法:关键是在平面内找(或作)一条与已知直线平行的直线,证明时注意用符号语言叙述证明过程.(3)性质定理法:当两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.注意:应用线面平行的判定定理和性质定理时,一定要注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.规律总结【对点训练1】(人教B版必修第四册P111习题11-3CT3改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点.(1)求证:BC∥平面PAD;证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.(2)已知M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.证明:如图,连接AC,交BD于O,连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所以MO∥PA.因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=HG,所以AP∥HG.考点2

平面与平面平行的判定与性质【例2】

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)求证:平面A1BD∥平面CD1B1;【证明】

由题设知BB1

DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1

B1C1

BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,求证:B1D1∥l.【证明】由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以直线l∥BD.又BD∥B1D1,所以B1D1∥l.1.判定面面平行的方法(1)利用定义,即证两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,那么这两条直线必须是两平行平面与第三个平面的交线.注意:利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.规律总结【对点训练2】如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF.(1)求证:平面ADE∥平面BCF;证明:由四边形ABCD是平行四边形,得BC∥AD,而AD⊂平面AED,BC⊄平面AED,则BC∥平面AED.由DE∥CF,CF⊄平面AED,DE⊂平面AED,得CF∥平面AED.又BC∩CF=C,BC,CF⊂平面BCF,所以平面ADE∥平面BCF.(2)若G是棱BC的中点,求证:AE∥FG.证明:连接AG,延长EF,AG,与DC的延长线分别交于点O1,O2,由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,由BC∥AD,G是棱BC的中点,得CO2=CD,因此点O1,O2重合,记为O,如图所示.由(1)知,平面ADE∥平面BCF,又平面AOE∩平面ADE=AE,平面AOE∩平面BCF=FG,所以AE∥FG.

解决存在性问题一般先假设有关的元素(点、直线、平面)存在,然后从这个元素满足的结论出发,寻找使这个结论成立的充分条件.若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件或出现矛盾,则不存在.而对于探求点的问题,一般先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明即可.规律总结【对点训练3】(人教B版必修第四册P111习题11-3CT2改编)如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,BC=3B1C1,TB=2TC,E,F分别是BB1,CC1的中点,M为AC上一点.(1)若M是AC的中点,求证:ME∥平面AB1C1;解:证明:如图1,取AB的中点N,连接MN,NE,因为M是AC的中点,N是AB的中点,所以MN∥BC.又BC∥B1C1,所以MN∥B1C1.又MN⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,

所以MN∥平面AB1C1.因为

N,E分别是AB,BB1的中点,所以NE∥AB1.又NE⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以NE∥平面AB1C1.又MN∩NE=N,MN,NE⊂平面MNE,所以平面MNE∥平面AB1C1.又ME⊂平面MNE,所以ME∥平面AB1C1.(2)若AB1∥平面TMF,求点M的位置.解:如图2,在等腰梯形BCC1B1中,BC=3B1C1,在BC上取一点P,使BC=3BP,连接C1P,则B1C1=BP,又B1C1∥BP,所以四边形BB1C1P是平行四边形,所以BB1∥C1P.因为TB=2TC,P为TB的中点,所以TC=TP,即T是PC的中点.又F是CC1的中点,所以FT∥C1P,所以FT∥B1B.又B1B⊄平面TMF,FT⊂平面TMF,所以B1B∥平面TMF.因为AB1∥平面TMF,AB1∩B1B=B1,B1B,AB1⊂平面AB1B,所以平面AB1B∥平面TMF.因为平面AB1B∩平面ABC=AB,平面TMF∩平面ABC=MT,所以AB∥MT.在△ABC中,TB=2TC,所以MA=2MC,即M为AC上靠近点C的三等分点.高考真题教材典题

(人教A版必修第二册P143习题8.5

T5)如图,在四面体D-ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:

考教衔接高考真题教材典题(1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.

考教衔接证明:因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点,所以BC∥MD,BC=MD,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又因为BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE.课时作业501.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与平面AA1B1B平行的直线为(

)A.ABB.CC1C.BCD.AC解析:由题意得AB⊂平面AA1B1B,BC,AC与平面AA1B1B都相交,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B,所以CC1∥平面AA1B1B.故选B.基础巩固B2.(5分)已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是(

)A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有无数条直线与平面β平行D.平面α内有两条相交直线与平面β平行解析:对于A,平面α内有一条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故A错误;对于B,平面α内有两条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故B错误;对于C,平面α内有无数条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故C错误;对于D,平面α内有两条相交直线与平面β平行,由面面平行的判定定理可知α∥β,故D正确.故选D.D3.(5分)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则

(

)A.BD∥平面EFGH,四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,四边形EFGH是梯形B

4.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH,分别交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,则四边形EFGH为

(

)A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形A解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.故选A.5.(5分)(人教B版必修第四册P108练习BT2改编)如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=(

)A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25D

D

7.(6分,多选)已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是(

)A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a,b是异面直线,a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,则α∥βC.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βD.若a⊄α,a∥b,b⊂α,则a∥αBD解析:对于A,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A错误;对于B,因为a⊂α,a∥β,所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l⊄α,且l∥a,进而可得l∥α,因为a,b是异面直线,b⊂β,所以l与b相交,又b∥α,所以由面面平行的判定定理得α∥β,故B正确;对于C,平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β可能相交,故C错误;对于D,若a⊄α,a∥b,b⊂α,则a∥α,故D正确.故选BD.8.(6分,多选)如图,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则直线AB与平面MNQ平行的是

(

)BCD解析:对于A,如图1,连接BC,交MN于点E,连接EQ,则EQ,AB⊂平面ABC,且直线EQ与直线AB显然不平行,所以直线AB与平面MNQ相交,故A错误;对于B,如图2,连接CD,因为AB∥CD∥MQ,MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故B正确;对于C,如图3,取AC的中点F,连接FN,FM,FQ,易证M,N,Q,F四点共面,AB∥QF,又QF⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故C正确;对于D,如图4,连接CD,因为MN∥CD∥AB,MN⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故D正确.故选BCD.9.(5分)如图,空间图形ABC-A1B1C1是三棱台,在点A1,B1,C1,A,B,C中取3个点确定平面α,α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是____________________.A,B,C1(答案不唯一)解析:由空间图形ABC-A1B1C1是三棱台,可得平面ABC∥平面A1B1C1,当平面ABC1为平面α,平面α∩平面A1B1C1=m时,因为平面α∩平面ABC=AB,所以由面面平行的性质定理可知m∥AB,所取的这3个点可以是A,B,C1.10.(5分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E为AD的中点,F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF,则λ的值为__.3

11.(19分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点.(1)求证:MN∥平面ABC.解:证明:如图,连接A1C,则N也为A1C的中点.因为M为A1B的中点,所以MN为△A1BC的中位线,所以MN∥BC.又MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC.(2)在线段BC1上是否存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC?若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由.解:存在,当P为BC1的中点时,平面MNP∥平面ABC.证明如