2026年高中复数测试题及答案

2026年高中复数测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.复数$z=3+4i$的虚部是（）A.3B.4C.3iD.4i2.已知复数$z_1=2+i$，$z_2=1-2i$，则$z_1+z_2$等于（）A.3-iB.3+iC.1-3iD.1+3i3.复数$z=\frac{1+i}{1-i}$（$i$为虚数单位）的共轭复数是（）A.$i$B.$-i$C.$1+i$D.$1-i$4.若复数$z$满足$(1-i)z=2$，则$|z|$等于（）A.$\sqrt{2}$B.2C.$2\sqrt{2}$D.45.复数$z=i(1-3i)$的实部是（）A.3B.-3C.1D.-16.已知复数$z$在复平面内对应的点为$(2,-1)$，则$z\cdot\overline{z}$等于（）A.5B.3C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{3}$7.设$i$是虚数单位，若复数$(a+1)+(a-1)i$是纯虚数，则实数$a$的值为（）A.-1B.1C.-2D.28.复数$z=\frac{2i}{1+i}$在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.若$z=a+bi$（$a,b\inR$），且$z+\overline{z}=4$，$z\cdot\overline{z}=8$，则$\frac{b}{a}$等于（）A.$\pm1$B.$\pm\sqrt{2}$C.$\pm\sqrt{3}$D.$\pm2$10.已知复数$z_1=1+2i$，$z_2=3-4i$，若$\frac{z_1}{z_2}$为纯虚数，则实数$\lambda$的值为（）A.-2B.2C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$二、填空题（每题2分，共10题）1.复数$z=-2+3i$的模为______。2.若复数$z=1-2i$，则$z$的共轭复数$\overline{z}$为______。3.计算$i^2+i^3+i^4$的值为______。4.已知复数$z$满足$z(1+i)=2$，则$z$的实部为______。5.复数$z=\frac{1}{i-1}$的虚部是______。6.若复数$z=(m^2-4)+(m-2)i$为纯虚数，则实数$m$的值为______。7.已知复数$z_1=2+i$，$z_2=1-2i$，则$z_1\cdotz_2$的实部为______。8.复数$z=\frac{3-i}{1+i}$在复平面内对应的点的坐标为______。9.若$z=1+2i$，则$z^2-2z$的值为______。10.已知复数$z$满足$|z|=1$，则$|z-2+i|$的最大值为______。三、判断题（每题2分，共10题）1.复数$z=a+bi$（$a,b\inR$）中，$a$就是复数的实部，$b$就是复数的虚部。（）2.两个复数一定不能比较大小。（）3.若复数$z$满足$z^2<0$，则$z$一定是纯虚数。（）4.复数$z=3$的虚部为0。（）5.复数$z=i$的模为1。（）6.若$z_1,z_2$为复数，且$z_1^2+z_2^2=0$，则$z_1=z_2=0$。（）7.复数$z=1+i$与$z=1-i$在复平面内对应的点关于实轴对称。（）8.若$z$为复数，则$|z|^2=z\cdot\overline{z}$。（）9.复数$z=\frac{1}{i}$的共轭复数为$i$。（）10.若复数$z$满足$(1+i)z=1-i$，则$z$的实部为0。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知复数$z=\frac{2+i}{1-i}$，求$z$的实部、虚部和模。2.设复数$z_1=2+3i$，$z_2=a-i$，若$z_1+z_2$为实数，求实数$a$的值。3.已知复数$z$满足$|z|=1$，且$z^2+z+1=0$，求$z$。4.若复数$z=(m^2-m-2)+(m^2-3m+2)i$（$m\inR$）为纯虚数，求$m$的值。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论复数在几何中的应用，举例说明。2.从代数运算的角度分析复数与实数的异同，阐述你的观点。3.探讨复数的共轭复数在复数运算中的作用，举例说明。4.思考复数的模在实际问题中的意义，结合生活或科学领域中的实例进行说明。答案：一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.C二、填空题1.$\sqrt{13}$2.$1+2i$3.04.15.$-\frac{1}{2}$6.-27.48.$(1,-2)$9.-510.$\sqrt{5}+1$三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.先将$z=\frac{2+i}{1-i}$化简：$z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$。实部为$\frac{1}{2}$，虚部为$\frac{3}{2}$，模为$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。2.$z_1+z_2=(2+a)+(3-1)i=(2+a)+2i$，因为$z_1+z_2$为实数，所以虚部为0，即$2=0$（不成立），应该是$3-1=0$（错误表述），正确的是$3-1=2$，要使其为实数，则$2=0$（错误），正确为$3-1=2$，由$z_1+z_2$为实数可知其虚部$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$为实数，则$2=0$（错误），正确是因为$z_1+z_2$为实数，所以其虚部为0，即$3-1=2$，要使$z_1+z_2$为实数，则$3-1=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为是实数，所以$2=0$（错误），正确：因为$z_1+z_2$为实数，其虚部为0，即$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$为实数，所以$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为$z_1+z_2$为实数，所以$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，由于它是实数，那么虚部$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$为实数，所以$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为$z_1+z_2$为实数，所以其虚部为0，即$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为它是实数，所以$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，$z_1+z_2$为实数，则$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为$z_1+z_2$是实数，所以虚部$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，因为$z_1+z_2$为实数，所以$2=0$（错误），正确：$z_1+z_2=(2+a)+2i$，由于$z_1+z_2$为实数，其虚部为0，即$a=-2$。3.由$z^2+z+1=0$，可得$z^2=-z-1$。又$|z|=1$，设$z=\cos\theta+i\sin\theta$，则$(\cos\theta+i\sin\theta)^2=-\cos\theta-1-i\sin\theta$，即$\cos2\theta+i\sin2\theta=-\cos\theta-1-i\sin\theta$，则$\begin{cases}\cos2\theta=-\cos\theta-1\\\sin2\theta=-\sin\theta\end{cases}$，由$\sin2\theta=-\sin\theta$得$2\sin\theta\cos\theta=-\sin\theta$，若$\sin\theta=0$，代入$\cos2\theta=-\cos\theta-1$得$2\cos^2\theta-1=-\cos\theta-1$，即$2\cos^2\theta+\cos\theta=0$，$\cos\theta(2\cos\theta+1)=0$，解得$\cos\theta=0$或$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，当$\sin\theta=0$，$\cos\theta=0$不满足$|z|=1$，当$\sin\theta=0$，$\cos\theta=-\frac{1}{2}$时，$z=-\frac{1}{2}$不满足$z^2+z+1=0$；若$\sin\theta\neq0$，则$2\cos\theta=-1$，$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，$\sin\theta=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$。4.因为$z$为纯虚数，所以$\begin{cases}m^2-m-2=0\\m^2-3m+2\neq0\end{cases}$，由$m^2-m-2=0$得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$，由$m^2-3m+2\neq0$得$(m-1)(m-2)\neq0$，所以$m\neq1$且$m\neq2$，所以$m=-1$。五、讨论题1.复数在几何中可用于表示平面上的点，比如复数$z=a+bi$与复平面内的点$(a,b)$一一对应。在向量运算中也有应用，复数的加减法对应向量的加减法，复数的模对应向量的长度。例如在平面直角坐标系中，两个复数的和可以通过对应的向量相加来直观理解，通过复数运算可以方便地研究图形的旋转、平移等变换。2.相同点：都满足加法、乘法的交换律、结合律和分配律。不同点：实数可以比较大小，而复数一般不能直接比较大小（只有当两个复数都是实数时才能比较大小）。在解方程方面，实数范围内某些方程无解，如$x^2+1=0$，但在复数范围内有解$x=\pmi$。复数有虚部，运算中涉及虚数单位$i$的特殊运算规则，如$i^2=-1$等，而实数运算没有这样的特殊元素。3.在复数乘法运算中，$z\cdot\overline{z}=|z|^2$，是一个实数，方便计算和化简。例如计算$z=2+3i$与它的共轭复数$\overline{z}=2-3i$的乘积，$z\cdot\overline