小学三年级上册“归总问题”（先求总量）解题思路知识点试卷

小学三年级上册“归总问题”（先求总量）解题思路知识点试卷一、核心知识点梳理（一）归总问题的定义归总问题是小学数学中常见的一类应用题，其核心特征是先通过已知条件求出一个“总量”，再根据这个总量和新的条件求出最终结果。这里的“总量”可以是总钱数、总工作量、总路程、总物品数量等。例如：“小明买3支钢笔花了18元，照这样计算，买5支同样的钢笔需要多少钱？”在这个问题中，先求出“每支钢笔的价格”其实是一个中间量，而更本质的是先通过“3支18元”算出买钢笔的“单价”，再用单价去求5支的总价，不过严格来说，归总问题更强调先求出一个固定的总量，比如“如果小明带的钱可以买3支18元的钢笔，那么用这些钱买单价10元的钢笔，可以买几支？”这里的总量就是小明带的总钱数，即3×18=54元，这就是典型的归总问题。（二）归总问题的解题关键找准“总量”：这是解决归总问题的第一步，也是最关键的一步。总量是指在题目中保持不变的那个量，它可能是隐藏的，需要通过已知条件计算得出。比如“工厂加工零件，每天加工20个，15天可以完成任务。如果每天加工30个，几天可以完成？”这里的总量就是零件的总个数，即20×15=300个，这个总量是固定不变的，不管每天加工多少个，零件总数不会改变。分析数量关系：在找到总量后，需要明确新条件与总量之间的关系，从而确定用除法还是乘法进行后续计算。如果是求新的单一量，通常用总量除以新的数量；如果是求新的数量，通常用总量除以新的单一量。例如上述例子中，求出总量300个后，新的条件是每天加工30个，求几天完成，就是用总量300除以每天加工的30个，即300÷30=10天。注意单位统一：在解题过程中，要注意题目中各个量的单位是否统一，如果不统一，需要先进行单位换算。比如“一辆汽车每小时行驶60千米，4小时可以到达目的地。如果每小时行驶80千米，需要几小时到达？”这里的单位都是千米和小时，是统一的，但如果题目中出现“一辆汽车每分钟行驶1千米，4小时可以到达目的地。如果每小时行驶80千米，需要几小时到达？”就需要先把4小时换算成240分钟，算出总路程240千米，再进行后续计算。（三）归总问题的常见题型分类购物类归总问题：这类问题通常涉及到商品的单价、数量和总价。例如：“妈妈买4千克苹果花了20元，照这样计算，买7千克同样的苹果需要多少钱？”先求出苹果的单价20÷4=5元/千克，这其实是先求单一量，不过如果是“妈妈带的钱可以买4千克20元的苹果，那么用这些钱买单价6元的梨，可以买几千克？”这里的总量就是妈妈带的总钱数4×20=80元，然后用80÷6≈13.33千克，这就是典型的购物类归总问题。工程类归总问题：主要涉及到工作效率、工作时间和工作总量。比如“一项工程，甲队每天施工100平方米，12天可以完成。如果乙队每天施工150平方米，几天可以完成这项工程？”总量就是工程的总面积100×12=1200平方米，然后用1200÷150=8天。行程类归总问题：与路程、速度和时间相关。例如“一辆火车以每小时120千米的速度行驶，8小时可以到达终点。如果要提前2小时到达，火车每小时需要行驶多少千米？”先求出总路程120×8=960千米，提前2小时到达，即需要8-2=6小时，那么速度就是960÷6=160千米/小时。分配类归总问题：通常是关于物品的分配，比如“学校给三年级的同学分发笔记本，每个同学发5本，刚好可以发给40个同学。如果每个同学发4本，可以发给多少个同学？”总量就是笔记本的总数5×40=200本，然后用200÷4=50个同学。二、解题思路分步讲解（一）审题：提取关键信息拿到一道归总问题的题目，首先要仔细审题，把题目中的关键信息提取出来，包括已知的数量、单一量以及问题所问的内容。例如：“某养殖场养了一批鸡，每天喂15千克饲料，可以喂20天。如果每天喂10千克饲料，可以喂多少天？”在这个题目中，关键信息有：每天喂15千克，可喂20天；问题是每天喂10千克时可以喂多少天。我们需要明确这里的总量是饲料的总千克数，即15×20=300千克。（二）找总量：计算固定不变的量根据提取的关键信息，计算出题目中的总量。这一步是解题的核心，需要准确运用乘法运算。比如上述例子中，总量=每天喂的饲料量×可以喂的天数，即15×20=300千克。再比如“小明看一本书，每天看12页，10天可以看完。如果每天看15页，几天可以看完？”总量就是这本书的总页数，即12×10=120页。（三）分析新条件：确定计算方法在求出总量后，分析题目中的新条件，确定是用总量除以新的单一量得到新的数量，还是用总量除以新的数量得到新的单一量。例如“某工厂生产一批玩具，每天生产50个，18天可以完成。如果要提前3天完成，每天需要生产多少个？”首先求出总量50×18=900个，新的条件是提前3天完成，即需要18-3=15天完成，那么每天需要生产的数量就是900÷15=60个。这里就是用总量除以新的时间得到新的工作效率。（四）列式计算：规范书写过程在明确计算方法后，进行列式计算，书写过程要规范，先写出计算总量的式子，再写出后续计算的式子。例如：计算总量：15×20=300（千克）计算新的天数：300÷10=30（天）答：可以喂30天。再比如“商店里有一种笔记本，买5本需要25元，照这样计算，买12本需要多少钱？”这里虽然看起来像是先求单价的归一问题，但如果从归总的角度理解，我们可以先求出“买1本笔记本的价格”这个中间量，其实也可以看作是先求出“5本笔记本的总价25元”这个总量，然后看12本里面有几个5本，不过这种理解比较牵强，更准确的是归一问题，但如果题目是“小明带的钱可以买5本25元的笔记本，那么用这些钱买单价8元的笔记本，可以买几本？”就属于归总问题，计算过程如下：计算总量（总钱数）：5×25=125（元）计算可以买的本数：125÷8=15.625，因为笔记本的数量必须是整数，所以这里可以买15本（在实际问题中，通常采用去尾法）。答：可以买15本。（五）检验答案：确保结果正确计算完成后，需要对答案进行检验，确保结果符合题意。检验的方法通常是把计算结果代入题目中，看是否满足所有条件。例如上述“养殖场喂鸡”的问题，答案是30天，我们可以检验：每天喂10千克，30天需要的饲料量是10×30=300千克，而原来每天喂15千克，20天的饲料量也是15×20=300千克，两者相等，说明答案是正确的。再比如“工厂生产玩具”的问题，答案是每天生产60个，15天生产的玩具数量是60×15=900个，和原来每天生产50个，18天生产的50×18=900个相等，说明答案正确。三、典型例题详解（一）基础题型例题1：题目：学校买了4个篮球，一共花了280元，照这样计算，买9个同样的篮球需要多少钱？解题思路：首先，这道题虽然看起来是先求单价的归一问题，但我们也可以从归总的角度思考，先求出“4个篮球的总价280元”这个总量，不过更准确的是先求出篮球的单价，即280÷4=70元/个，然后再计算9个篮球的总价，70×9=630元。不过如果题目改成“学校带的钱可以买4个280元的篮球，那么用这些钱买单价80元的篮球，可以买几个？”就属于归总问题，这里我们按照归总问题的思路来理解基础题型，先求出总钱数280元（其实这里4个篮球280元，总钱数就是280元），然后看9个篮球的总价，不过这种理解不太准确，我们换一个典型的归总问题基础题：例题2：题目：一辆卡车每次运货6吨，8次可以运完一批货物。如果每次运8吨，几次可以运完？解题思路：找总量：货物的总吨数是固定不变的，总量=每次运货量×运货次数，即6×8=48吨。分析新条件：新的每次运货量是8吨，求运货次数，用总量除以新的每次运货量，即48÷8=6次。列式计算：6×8=48（吨）48÷8=6（次）答：6次可以运完。检验：每次运8吨，6次运的货物总量是8×6=48吨，和原来每次运6吨，8次运的6×8=48吨相等，答案正确。（二）进阶题型例题3：题目：某工程队修一条公路，原计划每天修120米，30天可以修完。实际每天多修30米，实际多少天可以修完？解题思路：找总量：公路的总长度是固定的，总量=原计划每天修的长度×原计划天数，即120×30=3600米。分析新条件：实际每天多修30米，所以实际每天修的长度是120+30=150米，求实际修完的天数，用总量除以实际每天修的长度，即3600÷150=24天。列式计算：120×30=3600（米）120+30=150（米）3600÷150=24（天）答：实际24天可以修完。检验：实际每天修150米，24天修的长度是150×24=3600米，和原计划30天修的120×30=3600米相等，答案正确。例题4：题目：小明从家到学校，每分钟走60米，15分钟可以到达。如果他想提前3分钟到达，每分钟需要走多少米？解题思路：找总量：小明家到学校的路程是固定的，总量=速度×时间，即60×15=900米。分析新条件：想提前3分钟到达，那么新的时间是15-3=12分钟，求新的速度，用总量除以新的时间，即900÷12=75米/分钟。列式计算：60×15=900（米）15-3=12（分钟）900÷12=75（米）答：每分钟需要走75米。检验：每分钟走75米，12分钟走的路程是75×12=900米，和原来每分钟走60米，15分钟走的60×15=900米相等，答案正确。（三）拓展题型例题5：题目：某农场收割小麦，原计划每天收割80公顷，15天可以完成任务。实际每天收割的公顷数是原计划的1.2倍，实际需要多少天完成任务？解题思路：找总量：小麦的总公顷数是固定的，总量=原计划每天收割的公顷数×原计划天数，即80×15=1200公顷。分析新条件：实际每天收割的公顷数是原计划的1.2倍，所以实际每天收割的公顷数是80×1.2=96公顷，求实际需要的天数，用总量除以实际每天收割的公顷数，即1200÷96=12.5天。列式计算：80×15=1200（公顷）80×1.2=96（公顷）1200÷96=12.5（天）答：实际需要12.5天完成任务。检验：实际每天收割96公顷，12.5天收割的公顷数是96×12.5=1200公顷，和原计划15天收割的80×15=1200公顷相等，答案正确。例题6：题目：商店里有一批服装，原价每件卖120元，每天可以卖出8件，这样6天可以卖完。现在降价促销，每件卖90元，预计每天可以卖出12件，几天可以卖完这批服装？解题思路：找总量：这批服装的总件数是固定的，总量=每天卖出的件数×卖的天数，即8×6=48件。分析新条件：现在每天卖出12件，求卖完的天数，用总量除以现在每天卖出的件数，即48÷12=4天。这里需要注意，虽然题目中提到了原价和现价，但总价的变化不影响服装的总件数，我们只需要关注总件数这个总量。列式计算：8×6=48（件）48÷12=4（天）答：4天可以卖完这批服装。检验：现在每天卖出12件，4天卖出的件数是12×4=48件，和原来每天卖出8件，6天卖出的8×6=48件相等，答案正确。四、易错点分析与规避方法（一）易错点1：混淆归总问题和归一问题归总问题和归一问题是小学三年级数学中容易混淆的两类应用题，归一问题是先求出单一量，再求总量；而归总问题是先求出总量，再求新的单一量或数量。例如：“买3支铅笔花了9元，买5支同样的铅笔需要多少钱？”这是归一问题，先求出每支铅笔的价格9÷3=3元，再求5支的总价3×5=15元；而“小明带的钱可以买3支9元的铅笔，用这些钱买单价4元的钢笔，可以买几支？”这是归总问题，先求出总钱数3×9=27元，再求可以买的钢笔数量27÷4=6.75支，即6支（去尾法）。规避方法：仔细审题，明确题目中是先求单一量还是先求总量。如果题目中给出的是“几个几”的条件，求“另几个几”，通常是归一问题；如果题目中给出的是“几个几”的条件，求“用这个总量可以做什么”，通常是归总问题。可以通过画线段图的方式帮助理解，归一问题的线段图通常是先画一段表示单一量，再画几段表示总量；归总问题的线段图通常是先画几段表示总量，再把总量分成新的几段。（二）易错点2：计算总量时出错在计算总量时，容易出现乘法运算错误，尤其是当数字较大或涉及到进位时。例如“某工厂每天生产125个零件，24天可以完成任务，总量是多少？”计算125×24时，容易算成125×20+125×4=2500+500=3000，这是正确的，但如果算成125×24=125×20+4=2500+4=2504，就错误了。规避方法：加强乘法运算的练习，尤其是多位数乘法。在计算时，可以采用分步计算的方法，先计算出部分乘积，再相加。也可以使用验算的方法，用除法来检验乘法的结果是否正确，比如计算出总量3000后，用3000÷24=125，和题目中的每天生产125个零件一致，说明计算正确。（三）易错点3：忽略单位换算在一些题目中，会出现单位不统一的情况，如果忽略单位换算，就会导致结果错误。例如“一辆汽车每小时行驶60千米，30分钟可以行驶多少千米？如果用这些路程，以每分钟行驶1.2千米的速度行驶，需要多少分钟？”这里30分钟等于0.5小时，首先计算路程60×0.5=30千米，然后计算时间30÷1.2=25分钟。如果忽略单位换算，直接用60×30=1800千米，就会导致结果完全错误。规避方法：在审题时，注意观察题目中各个量的单位，如果单位不统一，先进行单位换算，将所有量的单位统一后再进行计算。可以把单位换算的过程写在草稿纸上，避免遗漏。（四）易错点4：对“提前”“推迟”等条件理解错误在一些题目中，会出现“提前几天完成”“推迟几天完成”等条件，容易理解错误，导致计算新的时间时出错。例如“某工程队原计划20天完成一项工程，实际提前5天完成，实际用了多少天？”这里实际用的天数应该是20-5=15天，但如果理解成20+5=25天，就完全错误了。规避方法：仔细分析题目中的“提前”“推迟”等词汇的含义，“提前”表示比原计划时间少，“推迟”表示比原计划时间多。可以用画图的方式帮助理解，画一条线段表示原计划时间，然后根据“提前”或“推迟”的天数，在线段上标出实际时间的位置。五、专项练习题（一）基础练习题食堂买了5袋大米，一共重250千克，照这样计算，买8袋同样的大米重多少千克？一辆汽车每小时行驶75千米，4小时可以到达目的地。如果每小时行驶100千米，几小时可以到达？小明做数学题，每天做15道，8天可以完成作业。如果每天做20道，几天可以完成？商店里有一种练习本，买4本需要12元，照这样计算，买10本需要多少钱？某工厂生产一批零件，每天生产80个，12天可以完成。如果要提前2天完成，每天需要生产多少个？（二）进阶练习题某修路队修一条公路，原计划每天修150米，24天可以修完。实际每天多修30米，实际多少天可以修完？一辆货车从甲地到乙地，每小时行驶60千米，6小时可以到达。如果要提前1小时到达，每小时需要行驶多少千米？学校图书馆买了一批新书，每个书架可以放120本书，放满8个书架后还剩60本书。如果每个书架放150本书，需要几个书架？某养殖场养了一批兔子，每天喂20千克饲料，可以喂15天。如果每天喂的饲料量减少5千克，可以喂多少天？小明看一本故事书，每天看18页，12天可以看完。如果每天看24页，提前几天可以看完？（三）拓展练习题某工厂生产一批玩具，原计划每天生产120个，15天可以完成。实际每天生产的数量是原计划的1.5倍，实际需要多少天完成？商店里有一批鞋子，原价每双卖180元，每天可以卖出5双，这样12天可以卖完。现在降价促销，每双卖120元，预计每天可以卖出8双，几天可以卖完？某工程队修一条水渠，原计划每天修200米，30天可以修完。实际每天修的米数比原计划多20%，实际需要多少天修完？一辆汽车从A地到B地，前3小时每小时行驶80千米，后2小时每小时行驶90千米，正好到达B地。如果这辆汽车从B地返回A地，每小时行驶75千米，需要多少小时？某农场收割水稻，原计划每天收割100公顷，18天可以完成。实际每天收割的公顷数比原计划多20公顷，实际完成任务需要多少天？六、练习题答案与解析（一）基础练习题答案与解析答案：400千克解析：首先求出每袋大米的重量250÷5=50千克，然后计算8袋大米的重量50×8=400千克。答案：3小时解析：先求出总路程75×4=300千米，再计算新的时间300÷100=3小时。答案：6天解析：先求出作业的总题数15×8=120道，再计算新的天数120÷20=6天。答案：30元解析：先求出每本练习本的价格12÷4=3元，再计算10本的总价3×10=30元。答案：96个解析：先求出零件的总个数80×12=960个，提前2天完成，即需要12-2=10天完成，那么每天需要生产960÷10=96个。（二）进阶练习题答案与解析答案：20天解析：先求出公路的总长度150×24=3600米，实际每天修的长度是150+30=180米，实际需要的天数是3600÷180=20天。答案：72千米/小时解析：先求出总路程60×6=360千米，提前1小时到达，即需要6-1=5小时到达，那么每小时需要行驶360÷5=72千米。答案：7个解析：先求出新书的总本数120×8+60=960+60=1020本，每